【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第二章 第3讲 二次函数与幂函数作业
第3讲 二次函数与幂函数
[基础题组练]
1．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．c
f(b)，则( )
A．a2>b2 B．a2b
解析：选A.函数f(x)＝x＝(x2)，令t＝x2，易知y＝t，在第一象限为增函数．
又f(a)>f(b)，所以a2>b2.故选A.
3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A．在(－∞，2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的
B．在(－∞，3)上是增加的
C．在[1，3]上是增加的
D．单调性不能确定
解析：选A.由已知可得该函数图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的．
4．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．ab＝，因为y＝是减函数，所以a＝2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以所以
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则g(x)在区间[－1，1]上是减少的，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[综合题组练]
1．(2020·陕西西安一模)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1f(x2)
C．f(x1)1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上是减少的，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上是减少的，在[a，a＋1]上是增加的，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.
