2020-2021学年河南省焦作十八中九年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021学年河南省焦作十八中九年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021 学年河南省焦作十八中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．用配方法将二次三项式 x2+4x﹣96 变形，结果正确的是（ ） A．（x+2）2﹣100 B．（x﹣2）2﹣100 C．（x+2）2﹣92 D．（x﹣2）2﹣92 3．如图是大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置上小 正方体的数量，数字“2”的位置上的小正方体向标数字“1”位置上平移一个，下列说 法正确的是（ ） A．主视图与俯视图不变 B．左视图与俯视图不变 C．主视图与左视图改变 D．三种视图都不变 4．如图，在△ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（﹣1，0）．以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B'C′，并把△ABC 的边长放大到原 来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ） A．﹣ B． C． D． 5．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x＝0 的 根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．如图，幼儿园计划用 30m 的围栏靠墙围成一个面积为 100m2 的矩形小花园（墙长为 15m）， 则与墙垂直的边 x 为（ ） A．10m 或 5m B．5m 或 8m C．10m D．5m 7．已知点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数 y＝ （k＜0）的图象上， 且 x1＜x2＜0＜x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 8．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点 E 作 EF∥BC， 交 AD 于点 F，过点 E 作 EG∥AB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 9．如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0），B（2，2），若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒 旋转 45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为（ ） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（ ，0） D．（0，﹣ ） 10．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE， CD 与 BE、AE 分别交于点 P、M．对于下列结论： ① △BAE∽△CAD； ② MP•MD＝MA •ME； ③ 2CB2＝CP•CM； ④ ∠CPB＝45°．其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，连接 AD，将△ABC 沿 AD 平移到△A′B′C′ 的位置，A′B′和 A′C′分别交 BC 边于点 E、F．已知△ABC 的面积为 30，阴影部分 的面积为 20．若 AD＝6，那么△ABC 平移的距离 AA′的长为（ ） A．2 B．6﹣2 C．2 D．4 12．如图所示，把多块大小不同的 30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角 板 AOB 的一条直角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角 板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1，第三块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 y 轴于点 B2，第四块三角板斜边 B2B3 与第三块三角 板的斜边 B1B2 垂直且交 x 轴于点 B3．按此规律继续下去，则线段 OB2020 的长为（ ） A．2×（ ）2020 B．2×（ ）2021 C．（ ）2020 D．（ ）2021 二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．已知实数 a、b、c，满足 ＝k，则 k＝ ． 14．一元二次方程 x2﹣3x﹣1＝0 与 x2﹣x+3＝0 的所有实数根的和等于 ． 15．如图，电路图上有编号为 ①②③④⑤ 共 5 个开关和一个小灯泡，闭合开关 ① 或同时 闭合开关 ②③ 或同时闭合开关 ④⑤ 都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开 关，小灯泡发光的概率为 ． 16．如图，△ABC 的三个顶点分别为 A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则 k 的取值范围是 ． 17．如图所示，Rt△ABC 在第一象限，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点 A 在直线 y＝x 上， 其中点 A 的横坐标为 1，且 AB∥x 轴，AC∥y 轴，若双曲线 （k≠0）与△ABC 有交 点，则 k 的取值范围是 ． 18．如图，已知 AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将△ ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B′处，过点 B′作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M， N．当点 B′为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为 ． 19．如图，在边长为 2 个单位长度的正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，点 P 从点 D 出发沿 射线 DC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PF⊥DE 于点 F，当运动时间为 秒时，以 P、F、E 为顶点的三角形与△AED 相似． 三、解答题（8 小题，共 75 分） 20．（8 分）解方程： （1）7x（3﹣x）＝4（x﹣3）； （2）2（t﹣1）2+t＝3． 21．（9 分）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE＝BF，连接 AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接 AF，CE．当 BD 平分∠ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理 由． 22．（9 分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批 次派出 20 人组成的专家组，分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，其人员分布情 况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家人数，并将条形统计图补充完整． （2）根据需要，从赴 A 国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所 抽取的两名专家恰好是一男一女的概率． 23．（9 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的 价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克） 与每千克降价 x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 24．（9 分）如图，已知直线 y＝﹣x+4 与反比例函数 y＝ 的图象相交于点 A（﹣2，a），并 且与 x 轴相交于点 B． （1）求 a 的值；求反比例函数的表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）求不等式﹣x+4﹣ ＜0 的解集（直接写出答案）． 25．（10 分）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB＝1.125m，蹲下来，则身影 AC ＝0.5m，已知小明的身高 AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的 高度 PH． 26．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且∠APD ＝∠B． （1）求证：AC•CD＝CP•BP； （2）若 AB＝10，BC＝12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长． 27．如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AE＝AD．EC 与 BD 相交 于点 G，与 AD 相交于点 F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若 AB＝1，求 AE 的长； （3）如图 2，连接 AG，求证：EG﹣DG＝ AG． 28．（11 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动时间（0≤t≤6）． （1）当 t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？ （2）当 t 为何值时，以 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （3）设△QCP 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出当 t 为何值时，△QCP 的面积有最小值？最小值是多少？ 29．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， ＝ ，CD⊥AB 于点 D，点 E 是直线 AC 上 一动点，连接 DE，过点 D 作 FD⊥ED，交直线 BC 于点 F． （1）探究发现： 如图 1，若 m＝n，点 E 在线段 AC 上，则 ＝ ； （2）数学思考： ① 如图 2，若点 E 在线段 AC 上，则 ＝ （用含 m，n 的代数式表示）； ② 当点 E 在直线 AC 上运动时， ① 中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明； （3）拓展应用：若 AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出 CE 的长． 2020-2021 学年河南省焦作十八中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】A、根据矩形的定义作出判断； B、根据菱形的性质作出判断； C、根据平行四边形的判定定理作出判断； D、根据正方形的判定定理作出判断． 【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误； 故选：C． 2．用配方法将二次三项式 x2+4x﹣96 变形，结果正确的是（ ） A．（x+2）2﹣100 B．（x﹣2）2﹣100 C．（x+2）2﹣92 D．（x﹣2）2﹣92 【分析】若二次项的系数为 1，则常数项为一次项系数的一半的平方，若二次项系数不是 1，则可先提取二次项系数，将其化为 1 即可． 【解答】解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100， 故选：A． 3．如图是大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形内的数字表示该位置上小 正方体的数量，数字“2”的位置上的小正方体向标数字“1”位置上平移一个，下列说 法正确的是（ ） A．主视图与俯视图不变 B．左视图与俯视图不变 C．主视图与左视图改变 D．三种视图都不变 【分析】直接利用俯视图上小立方体的个数进而可以判断三视图，再利用移动一个小立 方体得出三视图的变化情况． 【解答】解：∵小正方形内的数字表示该位置上小正方体的数量，数字“2”的位置上的 小正方体向标数字“1”位置上平移一个， ∴俯视图不变，由于最左边最高的是 3 个小正方体，故其后面的小正方体移动不会影响 主视图，则主视图也不变，左视图第 2 行高度改变，其左视图改变． 故选：A． 4．如图，在△ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（﹣1，0）．以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B'C′，并把△ABC 的边长放大到原 来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ） A．﹣ B． C． D． 【分析】以点 C 为坐标原点建立新的坐标系，表示出点 B′的横坐标，根据位似变换的 性质计算，得到答案． 【解答】解：以点 C 为坐标原点建立新的坐标系， ∵点 C 的坐标是（﹣1，0）， ∴点 B′的横坐标为：a+1， 以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B'C′， 则点 B 在以 C 为坐标原点的坐标系中的横坐标为：﹣ ， ∴点 B 在原坐标系中的横坐标为：﹣ ﹣1＝﹣ ， 故选：D． 5．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x＝0 的 根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0， ∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴有两个不相等的实数根 故选：A． 6．如图，幼儿园计划用 30m 的围栏靠墙围成一个面积为 100m2 的矩形小花园（墙长为 15m）， 则与墙垂直的边 x 为（ ） A．10m 或 5m B．5m 或 8m C．10m D．5m 【分析】设与墙垂直的边长 x 米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积 公式结合矩形小花园的面积为 100m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大 值即可得出结论． 【解答】解：设与墙垂直的边长 x 米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米， 根据题意得：（30﹣2x）x＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10． 当 x＝5 时，30﹣2x＝20＞15， ∴x＝5 舍去． 故选：C． 7．已知点 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数 y＝ （k＜0）的图象上， 且 x1＜x2＜0＜x3，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数 y＝ （k＜0）的图象分布在第二、四象限， 则 y3 最小，y2 最大． 【解答】解：∵反比例函数 y＝ （k＜0）的图象分布在第二、四象限， 在每一象限 y 随 x 的增大而增大， 而 x1＜x2＜0＜x3， ∴y3＜0＜y1＜y2． 即 y2＞y1＞y3． 故选：A． 8．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 E 在 AC 边上，过点 E 作 EF∥BC， 交 AD 于点 F，过点 E 作 EG∥AB，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝ 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴ ， ∵EG∥AB， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 9．如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0），B（2，2），若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒 旋转 45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为（ ） A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（ ，0） D．（0，﹣ ） 【分析】根据菱形的性质，可得 D 点坐标，根据旋转的性质，可得 D 点的坐标． 【解答】解：菱形 OABC 的顶点 O（0，0），B（2，2），得 D 点坐标为（1，1）． 每秒旋转 45°，则第 60 秒时，得 45°×60＝2700°， 2700°÷360＝7.5 周， OD 旋转了 7 周半，菱形的对角线交点 D 的坐标为（﹣1，﹣1）， 故选：B． 10．如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE， CD 与 BE、AE 分别交于点 P、M．对于下列结论： ① △BAE∽△CAD； ② MP•MD＝MA •ME； ③ 2CB2＝CP•CM； ④ ∠CPB＝45°．其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】 ① 由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证； ② 通过等积式倒推可 知，证明△PME∽△AMD 即可； ③ 2CB2 转化为 AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证； ④ 根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：由已知：AC＝ AB，AD＝ AE， ∴ ＝ ， ∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAE＝∠CAD， ∴△BAE∽△CAD， 所以 ① 正确； ∵△BAE∽△CAD， ∴∠BEA＝∠CDA， ∵∠PME＝∠AMD， ∴△PME∽△AMD， ∴ ＝ ， ∴MP•MD＝MA•ME， 所以 ② 正确； 由 ② MP•MD＝MA•ME， ∠PMA＝∠DME， ∴△PMA∽△EMD， ∴∠APD＝∠AED＝90°， ∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°， ∴△CAP∽△CMA， ∴AC2＝CP•CM， ∵AC＝ BC， ∴2CB2＝CP•CM， 所以 ③ 正确； 设 BE 与 AC 相交于 O， 则∠AOB＝∠POC， ∵△BAE∽△CAD， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠BPC＝∠BAC＝45°， 所以 ④ 正确， 故选：D． 11．如图，D 为△ABC 中 BC 边上的一点，连接 AD，将△ABC 沿 AD 平移到△A′B′C′ 的位置，A′B′和 A′C′分别交 BC 边于点 E、F．已知△ABC 的面积为 30，阴影部分 的面积为 20．若 AD＝6，那么△ABC 平移的距离 AA′的长为（ ） A．2 B．6﹣2 C．2 D．4 【分析】证明△A′EF∽△ABC，再利用相似三角形的性质求得 A'D，进而即可求得 AA′ 的长． 【解答】解：∵△ABC 的面积为 30，阴影部分的面积为 20． ∴S△A′EF＝10， ∵将△ABC 沿 AD 平移得到△A′B′C′， ∴∠BAC＝∠B′A′C′，A′E∥AB，AF′∥AC， ∴△DA′E∽△DAB， ∴ ＝ ， 同理： ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△A′EF∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2 即 ＝（ ）2 解得 A′D＝2 或 A′D＝﹣2 （舍）， ∴AA′＝AD﹣A′D＝6﹣2 故选：B． 12．如图所示，把多块大小不同的 30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角 板 AOB 的一条直角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角 板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1，第三块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 y 轴于点 B2，第四块三角板斜边 B2B3 与第三块三角 板的斜边 B1B2 垂直且交 x 轴于点 B3．按此规律继续下去，则线段 OB2020 的长为（ ） A．2×（ ）2020 B．2×（ ）2021 C．（ ）2020 D．（ ）2021 【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律：OB＝2× ，OB1＝2×（ ）2， OB2＝2×（ ）3，……，从而可以推算出 OB2020 的长． 【解答】解：由题意可得， ∵OB＝OA•tan60°＝2× ＝2 ， ∴B（0，2 ）， ∵OB1＝OB•tan60°＝2 × ＝2×（ ）2， ∴B1（﹣2×（ ）2，0）， ∵OB2＝OB1•tan60°＝2×（ ）3， ∴B2（0，﹣2×（ ）3）， ∵OB3＝OB2•tan60°＝2×（ ）4， ∴B3（2×（ ）4，0）， …… ∴线段 OB2020 的长为 2×（ ）2021． 故选：B． 二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．已知实数 a、b、c，满足 ＝k，则 k＝ ﹣1 或 2 ． 【分析】根据等比性质： ＝ ＝k ⇒ ＝k，可得答案． 【解答】解：由等比性质，得 当 a+b+c＝0 时，k＝ ＝﹣1． 当 a+b+c≠0 时，k＝ ＝ ＝2． 故答案为：﹣1 或 2． 14．一元二次方程 x2﹣3x﹣1＝0 与 x2﹣x+3＝0 的所有实数根的和等于 3 ． 【分析】首先需要通过判别式来判定这两根方程是否有实数根，再根据根与系数的关系 即可求得答案． 【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0， a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； 设这两个实数根分别为 x1 与 x2， 则 x1+x2＝3； 又∵x2﹣x+3＝0， a＝1，b＝﹣1，c＝3， ∴b2﹣4ac＝﹣11＜0， ∴此方程没有实数根． ∴一元二次方程 x2﹣3x﹣1＝0 与 x2﹣x+3＝0 的所有实数根的和等于 3． 故答案为：3． 15．如图，电路图上有编号为 ①②③④⑤ 共 5 个开关和一个小灯泡，闭合开关 ① 或同时 闭合开关 ②③ 或同时闭合开关 ④⑤ 都可使小灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开 关，小灯泡发光的概率为 ． 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【解答】解： ①②③④⑤ 两两组合有 ①② ， ①③ ， ①④ ， ①⑤ ， ②③ ， ②④ ， ②⑤ ， ③④ ， ③⑤ ， ④⑤ ， 能发亮的有 ①② ， ①③ ， ①④ ， ①⑤ ， ②③ ， ④⑤ ， 所以小灯泡发光的概率为 ＝ ， 故答案为： ． 16．如图，△ABC 的三个顶点分别为 A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则 k 的取值范围是 2≤k≤16 ． 【分析】由于△ABC 是直角三角形，所以当反比例函数 y＝ 经过点 A 时 k 最小，经过 点 C 时 k 最大，据此可得出结论． 【解答】解：∵△ABC 是直角三角形， ∴当反比例函数 y＝ 经过点 A 时 k 最小，经过点 C 时 k 最大， ∴k 最小＝1×2＝2，k 最大＝4×4＝16， ∴2≤k≤16． 故答案为 2≤k≤16． 17．如图所示，Rt△ABC 在第一象限，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点 A 在直线 y＝x 上， 其中点 A 的横坐标为 1，且 AB∥x 轴，AC∥y 轴，若双曲线 （k≠0）与△ABC 有交 点，则 k 的取值范围是 1≤k≤4 ． 【分析】根据等腰直角三角形和 y＝x 的特点，先求算出点 A，和 BC 的中点坐标．求得 最内侧的双曲线 k 值和最外侧的双曲线 k 值即可求解． 【解答】解：根据题意可知点 A 的坐标为（1，1） ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ∴点 B，C 关于直线 y＝x 对称 ∴点 B 的坐标为（3，1），点 C 的坐标为（1，3） ∴中点的横坐标为 ＝2，纵坐标为 ， ∴线段 BC 的中点坐标为（2，2）， ∵双曲线 （k≠0）与△ABC 有交点 ∴过 A 点的双曲线 k＝1，过 B，C 中点的双曲线 k＝4 即 1≤k≤4． 故答案为：1≤k≤4． 18．如图，已知 AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将△ ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B′处，过点 B′作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M， N．当点 B′为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为 或 ． 【分析】根据勾股定理，可得 EB′，根据相似三角形的性质，可得 EN 的长，根据勾股 定理，可得答案． 【解答】解：如图 ， 由翻折的性质，得 AB＝AB′，BE＝B′E． ① 当 MB′＝2，B′N＝1 时，设 EN＝x，得 B′E＝ ． △B′EN∽△AB′M， ＝ ，即 ＝ ， x2＝ ， BE＝B′E＝ ＝ ． ② 当 MB′＝1，B′N＝2 时，设 EN＝x，得 B′E＝ ， △B′EN∽△AB′M， ＝ ，即 ＝ ， 解得 x2＝ ，BE＝B′E＝ ＝ ， 故答案为： 或 ． 19．如图，在边长为 2 个单位长度的正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，点 P 从点 D 出发沿 射线 DC 以每秒 1 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PF⊥DE 于点 F，当运动时间为 1 或 秒时，以 P、F、E 为顶点的三角形与△AED 相似． 【分析】分两种情形： ① 如图，当△PFE∽△EAD 时， ② 如图，当△EFP∽△EAD 时， 分别求解即可． 【解答】解： ① 如图，当△PFE∽△EAD 时， 可知此时 PE⊥CD， t＝DP＝1； ② 如图，当△EFP∽△EAD 时， 可知，此时 F 为 DE 中点， EF＝DF＝ DE＝ ， ∵ ＝ ＝ ， 即 ＝ ， 解得 t＝DP＝ ， 综上所述，满足条件的 t 的值为 1s 或 s． 故答案为：1 或 ． 三、解答题（8 小题，共 75 分） 20．（8 分）解方程： （1）7x（3﹣x）＝4（x﹣3）； （2）2（t﹣1）2+t＝3． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （1）整理为一般式，再利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）∵7x（3﹣x）+4（3﹣x）＝0， ∴（3﹣x）（7x+4）＝0， 则 3﹣x＝0 或 7x+4＝0， 解得 x1＝3，x2＝﹣ ； （2）整理为一般式，得：2t2﹣3t﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0， 则 t＝ ， 解得 t1＝ ，t2＝ ． 21．（9 分）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE＝BF，连接 AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接 AF，CE．当 BD 平分∠ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊四边形？请说明理 由． 【分析】（1）根据四边形 ABCD 是平行四边形，可以得到 AD＝CB，AD∥BC，从而可以 得到∠ADE＝∠CBF，然后根据 SAS 即可证明结论成立； （2）根据 BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ ABCD 是菱形，从而可以得 到 AC⊥BD，然后即可得到 AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形 AFCE 是平 行四边形，然后根据 AC⊥EF，即可得到四边形 AFCE 是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE 和△CBF 中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）当 BD 平分∠ABC 时，四边形 AFCE 是菱形， 理由：∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴平行四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC⊥EF， ∵DE＝BF， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形 AFCE 是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形 AFCE 是菱形． 22．（9 分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助．某批 次派出 20 人组成的专家组，分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，其人员分布情 况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家人数，并将条形统计图补充完整． （2）根据需要，从赴 A 国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所 抽取的两名专家恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）先计算出赴 B 国女专家人数和赴 D 国男专家人数，然后补全条形统计图； （2）画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是一男一女 的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）赴 B 国女专家人数为 20×40%﹣5＝3（人） 赴 D 国男专家人数为 20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人） 条形统计图补充为： （2）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为 12， 所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率＝ ＝ ． 23．（9 分）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的 价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克） 与每千克降价 x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【分析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 由题意得出：当 x＝2，y＝120；当 x＝4，y ＝140；得出方程组，解方程组解可； （2）由题意得出方程（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，解方程即可． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当 x＝2，y＝120；当 x＝4，y＝140； ∴ ， 解得： ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝10x+100； （2）由题意得： （60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090， 整理得：x2﹣10x+9＝0， 解得：x1＝1．x2＝9， ∵让顾客得到更大的实惠， ∴x＝9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元． 24．（9 分）如图，已知直线 y＝﹣x+4 与反比例函数 y＝ 的图象相交于点 A（﹣2，a），并 且与 x 轴相交于点 B． （1）求 a 的值；求反比例函数的表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）求不等式﹣x+4﹣ ＜0 的解集（直接写出答案）． 【分析】（1）直接利用待定系数法把 A（﹣2，a）代入函数关系式 y＝﹣x+4 中即可求出 a 的值，得到 A 点坐标后，把 A 点坐标代入反比例函数关系式 y＝ 即可得到答案； （2）根据题意画出图象，过 A 点作 AD⊥x 轴于 D，根据 A 的坐标求出 AD 的长，再根 据 B 点坐标求出 OB 的长，根据三角形面积公式即可算出△AOB 的面积； （3）观察图象，一次函数在反比例函数图象下方的部分对应的 x 的取值即为所求． 【解答】解：（1）∵点 A（﹣2，a）在 y＝﹣x+4 的图象上， ∴a＝2+4＝6； 将 A（﹣2，6）代入 y＝ ，得 k＝﹣12， 所以反比例函数的解析式为 y＝﹣ ； （2）如图：过 A 点作 AD⊥x 轴于 D， ∵A（﹣2，6）， ∴AD＝6， 在直线 y＝﹣x+4 中，令 y＝0，得 x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∴△AOB 的面积 S＝ OB×AD＝ ×4×6＝12． （3）设一次函数与反比例函数的另一个交点为 C， 解 得 或 ， 所以 C 点坐标（6，﹣2）， 由图象知，不等式﹣x+4﹣ ＜0 的解集为：﹣2＜x＜0 或 x＞6． 25．（10 分）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB＝1.125m，蹲下来，则身影 AC ＝0.5m，已知小明的身高 AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的 高度 PH． 【分析】由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例， 列方程解答即可． 【解答】解：因为 AD∥PH， ∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC ∴AB：HB＝AD：PH，AC：AM＝HC：PH， 即 1.125：（1.125+AH）＝1.6：PH， 0.5：0.8＝（0.5+HA）：PH， 解得：PH＝8m． 即路灯的高度为 8 米． 26．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 P、D 分别是 BC、AC 边上的点，且∠APD ＝∠B． （1）求证：AC•CD＝CP•BP； （2）若 AB＝10，BC＝12，当 PD∥AB 时，求 BP 的长． 【分析】（1）易证∠APD＝∠B＝∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到 ＝ ， 即 AB•CD＝CP•BP，由 AB＝AC 即可得到 AC•CD＝CP•BP； （2）由 PD∥AB 可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，从而可证到△BAP∽△ BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C． ∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC， ∴∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD， ∴ ＝ ， ∴AB•CD＝CP•BP． ∵AB＝AC， ∴AC•CD＝CP•BP； （2）如图，∵PD∥AB， ∴∠APD＝∠BAP． ∵∠APD＝∠C， ∴∠BAP＝∠C． ∵∠B＝∠B， ∴△BAP∽△BCA， ∴ ＝ ． ∵AB＝10，BC＝12， ∴ ＝ ， ∴BP＝ ． 27．如图 1，已知四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AE＝AD．EC 与 BD 相交 于点 G，与 AD 相交于点 F，AF＝AB． （1）求证：BD⊥EC； （2）若 AB＝1，求 AE 的长； （3）如图 2，连接 AG，求证：EG﹣DG＝ AG． 【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则 结论得出； （2）证明△AEF∽△DCF，得出 ，即 AE•DF＝AF•DC，设 AE＝AD＝a（a＞0）， 则有 a•（a﹣1）＝1，化简得 a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案； （3）在线段 EG 上取点 P，使得 EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出 AP＝AG， ∠EAP＝∠DAG，证得△PAG 为等腰直角三角形，可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上， ∴∠EAF＝∠DAB＝90°， 又∵AE＝AD，AF＝AB， ∴△AEF≌△ADB（SAS）， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°， 即∠EGB＝90°， 故 BD⊥EC， （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AE∥CD， ∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF， ∴△AEF∽△DCF， ∴ ， 即 AE•DF＝AF•DC， 设 AE＝AD＝a（a＞0），则有 a•（a﹣1）＝1，化简得 a2﹣a﹣1＝0， 解得 或 （舍去）， ∴AE＝ ． （3）证明：如图，在线段 EG 上取点 P，使得 EP＝DG， 在△AEP 与△ADG 中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG， ∴△AEP≌△ADG（SAS）， ∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG， ∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°， ∴△PAG 为等腰直角三角形， ∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝ AG． 28．（11 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动时间（0≤t≤6）． （1）当 t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？ （2）当 t 为何值时，以 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ （3）设△QCP 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出当 t 为何值时，△QCP 的面积有最小值？最小值是多少？ 【分析】（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻 t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6﹣t．当 QA＝AP 时，△QAP 为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案； （2）根据题意，在矩形 ABCD 中，可分为 、 两种情况来研究，列出关 系式，代入数据可得答案； （3）利用面积的差，用 t 表示出△PCQ 的面积，即可得出结论． 【解答】解：（1）由运动知，AP＝2t（cm），DQ＝t（cm），QA＝（6﹣t）（cm）． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠PAQ＝90°， ∵△QAP 为等腰三角形， ∴QA＝AP， ∴6﹣t＝2t， ∴t＝2， 所以，当 t＝2 时，△QAP 为等腰三角形． （2）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形 ABCD 中： ① 当△QAP∽△ABC 时， ， ∴ ， ∴t＝ ＝1.2， 即当 t＝1.2 时，△QAP∽△ABC； ② 当△PAQ∽△ABC 时， ， ∴ ， ∴t＝3， 即当 t＝3 时，△PAQ∽△ABC； 所以，当 t＝1.2 或 3 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似． （3）S△PCQ＝S 四边形 QAPC﹣S△QAP ＝S 四边形 ABCD﹣S△CDQ﹣S△PBC﹣S△QAP ＝12×6﹣ ×12×t﹣ ×6×（12﹣2t）﹣ ×2t×（6﹣t） ＝36﹣6t+t2 ＝（t﹣3）2+27， ∵0≤t≤6， ∴当 t＝3 时，△QCP 的面积最小，最小值为 27cm2． 29．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， ＝ ，CD⊥AB 于点 D，点 E 是直线 AC 上 一动点，连接 DE，过点 D 作 FD⊥ED，交直线 BC 于点 F． （1）探究发现： 如图 1，若 m＝n，点 E 在线段 AC 上，则 ＝ 1 ； （2）数学思考： ① 如图 2，若点 E 在线段 AC 上，则 ＝ （用含 m，n 的代数式表示）； ② 当点 E 在直线 AC 上运动时， ① 中的结论是否仍然成立？请仅就图 3 的情形给出证明； （3）拓展应用：若 AC＝ ，BC＝2 ，DF＝4 ，请直接写出 CE 的长． 【分析】（1）先用等量代换判断出∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCB，得到△ADE∽△CDF， 再判断出△ADC∽△CDB 即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCB，得到△ADE ∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB 即可； （3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出 CF＝2AE，求出 DE，再利用勾股定 理，计算出即可． 【解答】解：（1）当 m＝n 时，即：BC＝AC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠FDE＝∠ADC＝90°， ∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE， 即∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴ ， ∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ADC∽△CDB， ∴ ＝1， ∴ ＝1 （2） ① ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠FDE＝∠ADC＝90°， ∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE， 即∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴ ， ∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ADC∽△CDB， ∴ ， ∴ ② 成立．如图， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， 又∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠FDE＝∠ADC＝90°， ∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE， 即∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF， ∴ ， ∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ADC∽△CDB， ∴ ， ∴ ． （3）由（2）有，△ADE∽△CDF， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴CF＝2AE， 在 Rt△DEF 中，DE＝2 ，DF＝4 ， ∴EF＝2 ， ① 当 E 在线段 AC 上时，在 Rt△CEF 中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（ ﹣CE），EF ＝2 ， 根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+[2（ ﹣CE）]2＝40 ∴CE＝2 ，或 CE＝﹣ （舍） 而 AC＝ ＜CE， ∴此种情况不存在， ② 当 E 在 AC 延长线上时， 在 Rt△CEF 中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（ +CE），EF＝2 ， 根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+[2（ +CE）]2＝40， ∴CE＝ ，或 CE＝﹣2 （舍）， ③ 如图 1， 当点 E 在 CA 延长线上时， CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣ ），EF＝2 ， 根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2， ∴CE2+[2（CE﹣ ）]2＝40， ∴CE＝2 ，或 CE＝﹣ （舍） 即：CE＝2 或 CE＝ ．