【数学】2018届一轮复习人教A版第九章第2讲古典概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第九章第2讲古典概型学案

第2讲　古典概型 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P176])‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 ‎(1)特点 ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．‎ ‎②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．‎ ‎(2)概率公式 P(A)＝．‎ ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．‎ ‎(2)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.‎ ‎2．古典概型中基本事件的求法 ‎(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．‎ ‎1. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　D　[解析] 一枚硬币连掷2次，共有4种不同的结果：正正，正反，反正，反反，‎ 所以只有一次出现正面的概率P＝＝.‎ ‎2. 袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　A　[解析] 从15个球中任取一球有15种取法，取到白球有6种，所以取到白球的概率P＝＝.‎ ‎3. 掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于(　　)‎ A． B． C． D． ‎　B　[解析] 掷两颗骰子，向上的点数有以下情况：‎ ‎(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，‎ ‎(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，‎ ‎(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，‎ ‎(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，‎ ‎(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，‎ ‎(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，‎ 共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为＝.‎ ‎4. 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出都是合格产品的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　B　[解析] 记A1，A2，A3，A4为合格产品，B1，B2为不合格产品，基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种．‎ 检测出都合格的产品有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，共6种．故检测出都是合格产品的概率为p＝＝，故选B.‎ ‎5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．‎ ‎[解析] 甲、乙两人都有3种选择，共有9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，‎ 所以甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P＝＝.‎ ‎[答案] ‎　简单古典概型的求法[学生用书P177]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2017·西安模拟)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.‎ ‎(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．‎ ‎【解】　(1)标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1，2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．‎ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.‎ ‎(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．‎ 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．‎ 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.‎ 求古典概型概率的基本步骤 ‎(1)算出所有基本事件的个数n.‎ ‎(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.‎ ‎(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．　 ‎ ‎　设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．‎ ‎①用所给编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．‎ ‎[解] (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.‎ ‎(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．‎ ‎②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．‎ 因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ ‎　较复杂古典概型的求法(高频考点)[学生用书P178]‎ 古典概型是高考考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题．‎ 高考对本部分内容的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)古典概型与互斥、对立事件相综合命题；‎ ‎(2)古典概型与统计相综合命题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎【解】　(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．‎ 所以P(A)＝＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ 求较复杂事件的概率问题的方法 ‎(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．‎ ‎(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　古典概型与互斥、对立事件相综合命题 ‎1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　D　[解析] 记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)，(甲、丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，所以A的对立事件的概率为P()＝，所以P(A)＝1－P()＝.选D.‎ ‎ 角度二　古典概型与统计相综合命题 ‎2．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2016年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[4，5)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎[5，6)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[6，7)‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎[7，8]‎ ‎3‎ ‎(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；‎ ‎(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．‎ ‎[解] (1)法一：融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．‎ 其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．‎ 所以所求的概率P＝.‎ 法二：融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．‎ 其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B1，B2}共1个．‎ 所以所求的概率P＝1－＝.‎ ‎(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 ‎4．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P178])‎ ‎——求古典概型的概率 ‎　(本题满分12分)(2016·高考山东卷) 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎[思维导图]‎ 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．(2分)‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以基本事件总数n＝16.(4分)‎ ‎(1)记“xy≤3”为事件A，‎ 则事件A包含的基本事件共5个，‎ 即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(6分)‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B，“3，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．‎ ‎(12分)‎ ‎　(1)解决此类问题时，首先要分清题目是在什么条件下的古典概型，然后根据条件分别列出所有基本事件所构成的空间以及所求事件所对应的基本事件，代入公式求解即可，要注意计算的准确性．‎ ‎(2)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件等．‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P285(独立成册)])‎ ‎1．(2016·高考全国卷乙)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A．　　　　　　　　　　　 B． C． D． ‎　C　[解析] 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为＝.故选C.‎ ‎2．(2016·高考全国卷丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A． B． C． D． ‎　C　[解析] 开机密码的所有可能结果有：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C.‎ ‎3．(2015·高考全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A．　　　　 B． ‎ C．　　　　 D． ‎　C　[解析] 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，‎ ‎2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.故选C.‎ ‎4．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　A　[解析] 将2名男生记为A1，A2，2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，A2A1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2这4种情况，则其发生的概率为＝.‎ ‎5．(2017·商丘模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎　D　[解析] f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为＝.‎ ‎6．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b

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