重庆市中考数学试卷

重庆市中考数学试卷

‎ 2011年重庆市中考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．‎ ‎1．（2011•重庆）在﹣6，0，3，8这四个数中，最小的数是（　　）‎ ‎ A．﹣6 B．0 C．3 D．8‎ ‎2．（2011•重庆）计算（a3）2的结果是（　　）‎ ‎ A．a B．a5 C．a6 D．a9‎ ‎3．（2011•重庆）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（2011•重庆）如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（　　）‎ ‎ A．60° B．50° C．45° D．40°‎ ‎5．（2011•重庆）下列调查中，适宜采用抽样方式的是（　　）‎ ‎ A．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率 C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量 D．调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况 ‎6．（2011•重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（　　）‎ ‎ A．60° B．50° C．40° D．30°‎ ‎7．（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）‎ ‎ A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0‎ ‎8．（2011•重庆）为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（2011•重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（　　）‎ ‎ A．55 B．42 C．41 D．29‎ ‎10．（2011•重庆）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（2011•重庆）据第六次全国人口普查结果显示，重庆常住人口约为2880万人．将数2880万用科学记数法表示为　_________　万．‎ ‎12．（2011•重庆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为　_________　．‎ ‎13．（2011•重庆）在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，9，9，10，11，9．则这组数据的众数是　_________　．‎ ‎14．（2011•重庆）在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于　_________　．‎ ‎15．（2011•重庆）有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　_________　．‎ ‎16．（2011•重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了　_________　朵．‎ 二．解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）‎ ‎17．（2011•重庆）|﹣3|+（﹣1）2011×（π﹣3）0﹣+．‎ ‎18．（2011•重庆）解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎19．（2011•重庆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．‎ ‎20．（2011•重庆）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）‎ 四．解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 ‎21．（2011•重庆）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．‎ ‎22．（2011•重庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOC的面积．‎ ‎23．（2011•重庆）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：‎ ‎（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；‎ ‎（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．‎ ‎24．（2011•重庆）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．‎ ‎（1）求EG的长；‎ ‎（2）求证：CF=AB+AF．‎ 五．解答题：（本大题2个小题，第25题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．‎ ‎25．（2011•重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 价格y1‎ ‎560‎ ‎580‎ ‎600‎ ‎620‎ ‎640‎ ‎660‎ ‎680‎ ‎700‎ ‎720‎ ‎（元/件）‎ 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：‎ ‎（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；‎ ‎（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；‎ ‎（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．‎ ‎（参考数据：992=9801，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）‎ ‎26．（2011•重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；‎ ‎（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2011年重庆市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．‎ ‎1．（2011•重庆）在﹣6，0，3，8这四个数中，最小的数是（　　）‎ ‎ A．﹣6 B．0 C．3 D．8‎ 考点：有理数大小比较。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可．‎ 解答：解：∵8＞3＞0＞﹣6，‎ ‎∴最小的数是﹣6．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了有理数大小的比较，熟记：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小．‎ ‎2．（2011•重庆）计算（a3）2的结果是（　　）‎ ‎ A．a B．a5 C．a6 D．a9‎ 考点：幂的乘方与积的乘方。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）计算即可．‎ 解答：解：（a3）2=a3×2=a6．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了幂的乘方，注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．‎ ‎3．（2011•重庆）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：中心对称图形。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据中心对称图形的定义来判断：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ 解答：解：A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；‎ B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；‎ C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；‎ D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ ‎4．（2011•重庆）如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（　　）‎ ‎ A．60° B．50° C．45° D．40°‎ 考点：平行线的性质。‎ 分析：根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．‎ 解答：解：∵∠C=80°，∠CAD=60°，‎ ‎∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAD=∠D=40°．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．‎ ‎5．（2011•重庆）下列调查中，适宜采用抽样方式的是（　　）‎ ‎ A．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率 C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量 D．调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况 考点：全面调查与抽样调查。‎ 专题：应用题。‎ 分析：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．‎ 解答：解：A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适合抽样调查，‎ B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率，采用全面调查，‎ C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量，采用全面调查，‎ D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况，采用全面调查，‎ 故选A．‎ 点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，比较简单．‎ ‎6．（2011•重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（　　）‎ ‎ A．60° B．50° C．40° D．30°‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．‎ 解答：解：在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），‎ ‎∴∠OBC=∠0CB（等边对等角）；‎ ‎∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，‎ ‎∴∠COB=100°；‎ 又∵∠A=∠C0B（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），‎ ‎∴∠A=50°，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．‎ ‎7．（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（　　）‎ ‎ A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．a+b+c＞0‎ 考点：二次函数图象与系数的关系。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据抛物线的开口方向判断a的正负；根据对称轴在y轴的右侧，得到a，b异号，可判断b的正负；根据抛物线与y轴的交点为（0，c），判断c的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c的正负．‎ 解答：解：∵抛物线的开口向下，‎ ‎∴a＜0；‎ 又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，‎ ‎∴a，b异号，‎ ‎∴b＞0；‎ 又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，‎ ‎∴c＞0，‎ 又x=1，对应的函数值在x轴上方，‎ 即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0；‎ 所以A，B，C选项都错，D选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中各系数的作用：a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为x=﹣，a，b同号，对称轴在y轴的左侧；a，b异号，对称轴在y轴的右侧；抛物线与y轴的交点为（0，c），c＞0，与y轴正半轴相交；c＜0，与y轴负半轴相交；c=0，过原点．‎ ‎8．（2011•重庆）为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：函数的图象。‎ 专题：数形结合。‎ 分析：根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误．‎ 解答：解：∵y随x的增大而减小，‎ ‎∴选项A错误；‎ ‎∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，‎ ‎∴选项B错误；‎ ‎∵施工队随后加快了施工进度，‎ ‎∴y随x的增大减小得比开始的快，‎ ‎∴选项C错误；选项D正确；‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．‎ ‎9．（2011•重庆）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（　　）‎ ‎ A．55 B．42 C．41 D．29‎ 考点：规律型：图形的变化类。‎ 专题：规律型。‎ 分析：由于图图②平行四边形有5个=（2+2）（2﹣1）+1，图③平行四边形有11个=（2+3）（3﹣1）+1，图④平行四边形有19=（2+4）（4﹣1）+1，第n个图形平行四边形的个数是（2+n）（n﹣1）+1，把n=6代入求出即可．‎ 解答：解：∵图②平行四边形有5个=（2+2）（2﹣1）+1，‎ ‎ 图③平行四边形有11个=（2+3）（3﹣1）+1‎ ‎ 图④平行四边形有19=（2+4）（4﹣1）+1‎ ‎∴第n个图有（2+n）（n﹣1）+1个平行四边形，‎ ‎∴图⑥的平行四边形的个数为（2+6）（6﹣1）+1=41‎ 故选C．‎ 点评：本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．‎ ‎10．（2011•重庆）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．‎ 解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；‎ ‎②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；‎ ‎③正确．∵CG=BG，BG=GF，‎ ‎∴CG=GF，‎ ‎∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，‎ ‎∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；‎ ‎④错误．‎ ‎∵S△GCE=GC•CE=×3×4=6‎ ‎∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，‎ ‎∴S△GFC：S△FCE=3：2，‎ ‎∴S△GFC=≠3．‎ 故不正确．‎ 故选C．‎ 点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．‎ 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（2011•重庆）据第六次全国人口普查结果显示，重庆常住人口约为2880万人．将数2880万用科学记数法表示为　2.88×103　万．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：数字问题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：解：将2880万用科学记数法表示为2.88×103．‎ 故答案是：2.88×103．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12．（2011•重庆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积比为　1：9　．‎ 考点：相似三角形的判定与性质。‎ 分析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方直接得出答案．‎ 解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ 相似比为AD：AB=1：3，‎ ‎∴△ADE与△ABC的面积比为：1：9．‎ 故答案为：1：9．‎ 点评：此题主要考查了相似三角形的性质，根据相似比性质得出面积比是解决问题的关键．‎ ‎13．（2011•重庆）在参加“森林重庆”的植树活动中，某班六个绿化小组植树的棵数分别是：10，9，9，10，11，9．则这组数据的众数是　9　．‎ 考点：众数。‎ 专题：计算题。‎ 分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，有时众数可以不止一个．‎ 解答：解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是9；‎ 故答案为9．‎ 点评：本题为统计题，考查众数定义．如果众数的概念掌握得不好，就会出错．‎ ‎14．（2011•重庆）在半径为的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于　1　．‎ 考点：弧长的计算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据弧长公式l=把半径和圆心角代入进行计算即可．‎ 解答：解：45°的圆心角所对的弧长==1．‎ 故答案为1．‎ 点评：本题考查了弧长公式：l=（n为圆心角的度数，R为半径）．‎ ‎15．（2011•重庆）有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解的概率为　　．‎ 考点：概率公式；解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：易得分式方程的解，看所给4个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可．‎ 解答：解：解分式方程得：x=，‎ ‎∵x为正整数，‎ ‎∴=1或=2，‎ 解得：a=0或1，‎ 把a的值代入原方程解方程发现a=1时得到的方程的根为2，故为增根，‎ ‎∴能使该分式方程有正整数解的只有0，‎ ‎∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．‎ 故答案为：．‎ 点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使分式方程有整数解的情况数是解决本题的关键．‎ ‎16．（2011•重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了　4380　朵．‎ 考点：三元一次方程组的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵．据此可列出方程组，设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆，用含x的代数式分别表示y、z，即可求出黄花一共用的朵数．‎ 解答：解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．‎ 由题意，有，‎ 由①得，3x+2y+2z=580③，‎ 由②得，x+z=150④，‎ 把④代入③，得x+2y=280，‎ ‎∴2y=280﹣x⑤，‎ 由④得z=150﹣x⑥．‎ ‎∴4x+2y+3z=4x+（280﹣x）+3（150﹣x）=730，‎ ‎∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．‎ 故黄花一共用了4380朵．‎ 点评：本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用．解题的关键是发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中的其中一个未知数看作常数，用含有一个未知数的代数式表示另外两个未知数，然后代入所求黄花的代数式．‎ 二．解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）‎ ‎17．（2011•重庆）|﹣3|+（﹣1）2011×（π﹣3）0﹣+．‎ 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先算出﹣3的绝对值是3，﹣1的奇数次方仍然是﹣1，任何数（0除外）的0次方都等于1，然后按照常规运算计算本题．‎ 解答：解：原式=3+（﹣1）×1﹣3+4‎ ‎=3‎ 点评：本题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算．‎ ‎18．（2011•重庆）解不等式2x﹣3＜，并把解集在数轴上表示出来．‎ 考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．‎ 解答：解：3（2x﹣3）＜x+1‎ ‎6x﹣9＜x+1‎ ‎5x＜10‎ x＜2‎ ‎∴原不等式的解集为x＜2，‎ 在数轴上表示为：‎ 点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．‎ ‎19．（2011•重庆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．‎ 考点：全等三角形的判定与性质；平行线的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．‎ 解答：证明：∵AF=DC，‎ ‎∴AC=DF，‎ 又∵AB=DE，∠A=∠D，‎ ‎∴△ACB≌△DEF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE，‎ ‎∴BC∥EF．‎ 点评：本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．‎ ‎20．（2011•重庆）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）‎ 考点：作图—应用与设计作图。‎ 专题：作图题。‎ 分析：易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．‎ 解答：解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．‎ 点评：考查设计作图；得到点M是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．‎ 四．解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤 ‎21．（2011•重庆）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2﹣x﹣1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．‎ 解答：解：原式=×，，，，=×=，‎ ‎∵x2﹣x﹣1=0，‎ ‎∴x2=x+1，‎ 将x2=x+1代入化简后的式子得：==1．‎ 点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．‎ ‎22．（2011•重庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE=．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求△AOC的面积．‎ 考点：反比例函数综合题。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，由sin∠AOE=，OA=5，根据正弦的定义可求出AD，再根据勾股定理得到DO，即得到A点坐标（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y=，确定反比例函数的解析式为y=﹣；将B（6，n）代入，确定点B点坐标，然后把A点和B点坐标代入y=kx+b（k≠0），求出k和b．‎ ‎（2）先令y=0，求出C点坐标，得到OC的长，然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可．‎ 解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于D点，如图，‎ ‎∵sin∠AOE=，OA=5，‎ ‎∴sin∠AOE===，‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∴DO==3，‎ 而点A在第二象限，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣3，4），‎ 将A（﹣3，4）代入y=，得m=﹣12，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣；‎ 将B（6，n）代入y=﹣，得n=﹣2；‎ 将A（﹣3，4）和B（6，﹣2）分别代入y=kx+b（k≠0），得 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2；‎ ‎（2）在y=﹣x+2中，令y=0，‎ 即﹣x+2=0，‎ 解得x=3，‎ ‎∴C点坐标为（3，0），即OC=3，‎ ‎∴S△AOC=•AD•OC=•4•3=6．‎ 点评：本题考查了点的坐标的求法和点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了正弦的定义、勾股定理以及三角形面积公式．‎ ‎23．（2011•重庆）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：‎ ‎（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；‎ ‎（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．‎ 考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法。‎ 专题：计算题；图表型。‎ 分析：（1）根据留守儿童有6名的班级占20%，可求得有留守儿童的班级总数，再求得留守儿童是2名的班数；‎ ‎（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率．‎ 解答：解：（1）该校班级个数为4÷20%=20（个），‎ 只有2名留守儿童的班级个数为：20﹣（2+3+4+5+4）=2（个），‎ 该校平均每班留守儿童的人数为：‎ ‎=4（名），‎ 补图如下：‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生．设A1，A2来自一个班，B1，B2来自一个班，‎ 由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班的共有4种情况，‎ 则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：=．‎ 点评：本题是一道统计题，考查了条形统计图和扇形统计图，及树状图的画法，是重点内容，要熟练掌握．‎ ‎24．（2011•重庆）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．‎ ‎（1）求EG的长；‎ ‎（2）求证：CF=AB+AF．‎ 考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；‎ ‎（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到CD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案．‎ 解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，‎ ‎∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC==2，‎ ‎∵CE⊥BE，点G为BC的中点，‎ ‎∴EG=BC=．‎ 答：EG的长是．‎ ‎（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，‎ ‎∵BD⊥CD，BE⊥CE，‎ ‎∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，‎ ‎∵∠EFB=∠DFC，‎ ‎∴∠EBF=∠DCF，‎ ‎∵DB=CD，BA=CH，‎ ‎∴△ABD≌△HCD，‎ ‎∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠DBC=45°，‎ ‎∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，‎ ‎∴∠ADB=∠HDB，‎ ‎∵AD=HD，DF=DF，‎ ‎∴△ADF≌△HDF，‎ ‎∴AF=HF，‎ ‎∴CF=CH+HF=AB+AF，‎ ‎∴CF=AB+AF．‎ ‎（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，‎ ‎∵△BFE和△CFD中，‎ ‎∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，‎ ‎∴∠MBD=∠FCD，‎ ‎∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，‎ ‎∴BD=CD，‎ ‎△BMD和△CFD中，‎ ‎∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，‎ ‎∴△BMD≌△CFD，‎ ‎∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，‎ ‎∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，‎ ‎∴∠ADM=∠ADF=45°，‎ ‎∴△AFD≌△AMD，‎ ‎∴AM=AF，‎ ‎∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．‎ 点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．‎ 五．解答题：（本大题2个小题，第25题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．‎ ‎25．（2011•重庆）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 价格y1（元/件）‎ ‎560‎ ‎580‎ ‎600‎ ‎620‎ ‎640‎ ‎660‎ ‎680‎ ‎700‎ ‎720‎ 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：‎ ‎（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；‎ ‎（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；‎ ‎（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．‎ ‎（参考数据：992=9801，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）‎ 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；一次函数的应用。‎ 专题：应用题；分类讨论。‎ 分析：（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可得y1的解析式．把（10，730）（12，750）代入直线解析式可得y2的解析式，‎ ‎（2）分情况探讨得：1≤x≤9时，利润=P1×（售价﹣各种成本）；10≤x≤12时，利润=P2×（售价﹣各种成本）；并求得相应的最大利润即可；‎ ‎（3）根据1至5月的总利润1700万元得到关系式求值即可．‎ 解答：解：（1）设y1=kx+b，‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）；‎ 设y2=ax+b，则，‎ 解得，‎ ‎∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；‎ ‎（2）设去年第x月的利润为W万元．‎ ‎1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000﹣50﹣30﹣y1）=﹣2x2+16x+418=﹣2（x﹣4）2+450，‎ ‎∴x=4时，W最大=450万元；‎ ‎10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣y2）=（x﹣29）2，‎ ‎∴x=10时，W最大=361万元；‎ ‎∵450万元＞361万元，‎ ‎∴这个最大利润是450万元；‎ ‎（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件），‎ 今年原材料价格为：750+60=810（元）‎ 今年人力成本为：50×（1+20%）=60元．‎ ‎∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700，‎ 设t=a%，整理得10t2﹣99t+10=0，‎ 解得t=，‎ ‎∵9401更接近于9409，‎ ‎∴≈97，‎ ‎∴t1≈0.1，t2≈9.8，‎ ‎∴a1≈10或a2≈980，‎ ‎∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，‎ ‎∴a≈10．‎ 答：a的整数解为10．‎ 点评：本题综合考查了一次函数和二次函数的应用；根据二次函数的最值及相应的取值范围得到一定范围内的最大值是解决本题的易错点；利用估算求得相应的整数解是解决本题的难点．‎ ‎26．（2011•重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．‎ ‎（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；‎ ‎（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；‎ ‎（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形。‎ 专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。‎ 分析：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；‎ ‎（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况，分别写出函数关系式；‎ ‎（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．‎ 解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，‎ 即tan60°=，‎ 解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，‎ ‎∴当边FG恰好经过点C时，t=1；‎ ‎（2）当0≤t＜1时，S=2t+4；‎ 当1≤t＜3时，S=﹣t2+3t+；‎ 当3≤t＜4时，S=﹣4t+20；‎ 当4≤t＜6时，S=t2﹣12t+36；‎ ‎（3）存在．‎ 理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，‎ ‎∴∠CAB=30°，‎ 又∵∠HEO=60°，‎ ‎∴∠HAE=∠AHE=30°，‎ ‎∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，‎ ‎1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM=AH=，‎ 在Rt△AME中，cos∠MAE=，‎ 即cos30°=，‎ ‎∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=，‎ ‎∴t=3﹣或t=3+，‎ ‎2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，‎ 又∵∠HEO=60°，‎ ‎∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，‎ 又∵AE+EO=3，‎ ‎∴AE+2AE=3，AE=1，‎ 即3﹣t=1或t﹣3=1，‎ ‎∴t=2或t=4；‎ ‎3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，‎ ‎∴∠HOB=60°=∠HEB，‎ ‎∴点E和点O重合，‎ ‎∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；‎ 综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣或t=3+或t=2或t=4或t=0．‎ 点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．‎