天津市滨海新区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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天津市滨海新区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷 高二年级数学 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.i是虚数单位,复数等于  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用复数的除法运算进行化简计算.‎ ‎【详解】.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题.‎ ‎2.“,”的否定是( ).‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“∀x∈M,p(x)”的否定为“∃x∈M,¬p(x)”.‎ ‎【详解】依题意,“∀x∈(2,+∞),x2﹣2x>‎0”‎的否定是:,,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定,要注意命题的否定和否命题的区别.本题属于基础题.‎ ‎3.若,且,则下列结论一定成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的基本性质,即可选出答案.‎ ‎【详解】当时,,错误.‎ 当时,,,错误.‎ 当时,,错误.‎ 因为,所以,正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的基本性质,属于基础题.若不等式不成立,只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目标分析法来做题.‎ ‎4.等差数列的前项和,若,则( )‎ A. 8 B. ‎10 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:假设公差为,依题意可得.所以.故选C.‎ 考点:等差数列的性质.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎5.已知等比数列中,,且,那么=( )‎ A. 31 B. ‎32 ‎C. 63 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出公比,再根据求和公式计算即可.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,,且,‎ ‎,即,‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等比数列的前项和,属于基础题.‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第四天走的路程为( )‎ A. 3里 B. 6里 C. 12里 D. 24里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,‎ 由题意得:,‎ 解得(里),‎ ‎∴(里).‎ 故选D.‎ ‎7.已知双曲线的实轴长为10,则该双曲线的渐近线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的实轴长为,求出,即可求出该双曲线的渐近线的斜率.‎ ‎【详解】由题意,,所以,,‎ 所以双曲线的渐近线的斜率为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎8.“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项和等比中项的定义,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】若是与的等差中项,‎ 则,‎ 若是与的等比中项,‎ 则,‎ 则“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的充分不必要条件,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差中项和等比中项的定义求出的值是解决本题的关键.‎ ‎9.若正数满足,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由得到,推出,根据基本不等式即可求出结果.‎ ‎【详解】因为正数满足,所以,‎ 所以,当且仅当,即时,等号成立.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值,熟记基本不等式即可,属于常考题型.‎ ‎10.已知双曲线的离心率为,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的准线,即得,再由离心率公式和,可得,,即可得到双曲线方程.‎ ‎【详解】抛物线的准线为,则有双曲线的一个焦点为,即,‎ 由,可得,则,‎ 即双曲线方程为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,运用离心率公式和,, 的关系是解题的关键,属于基础题.‎ ‎11.若,,,则的最小值为( )‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,由基本不等式可得,注意等号成立的条件即可.‎ ‎【详解】由,,,则 ‎,‎ 当且仅当时取“”.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题.‎ ‎12.已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点.且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线和椭圆的性质和关系,结合余弦定理即可得到结论.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,‎ 由椭圆和双曲线的定义可知,设,,,‎ 椭圆和双曲线的离心率分别为,,‎ 因是它们的一个公共点,且,则由余弦定理可得:‎ ‎……①‎ 在椭圆中,由定义知,①式化简为:……②‎ 在双曲线中,由定义知,①式化简为:……③‎ 由②③两式消去得:,等式两边同除得,‎ 即,‎ 由柯西不等式得,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键,属于难题.‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎13.已知复数为虚数单位),则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知直接利用复数模的计算公式求解.‎ ‎【详解】由复数,则.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的求法,属于基础题.‎ ‎14.已知直线与平面垂直,直线的一个方向向量为,向量与平面平行,则等于________.‎ ‎【答案】—9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得:,即,即可得出的值.‎ ‎【详解】由题意得:,即,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查线面位置关系、方程思想方法,推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎15.不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分式不等式转化为整式不等式求解即可.‎ ‎【详解】依题意,不等式等价于,解得,‎ 所以不等式的解集为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法,主要考查计算能力和转化求解能力,属于基础题.‎ ‎16.已知数列满足,,则_________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推关系分别计算即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为8.‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系,求数列的项,是基础题.‎ ‎17.正方体中,点是中点,求与所成角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法即可得到答案.‎ ‎【详解】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图,‎ 设正方体的棱长为,则,,,,‎ ‎,,‎ 设直线与直线所成角为,则,‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎18.直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于,两点,若的中点的纵坐标2,则_____,直线的方程为______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的焦点可得的值,设直线的方程为,联立方程,利用的中点的纵坐标即可得到直线方程.‎ ‎【详解】由题意,抛物线的焦点,则,所以,‎ 所以抛物线方程为,‎ 设,,则,直线的方程为,‎ 联立,消去整理得:,‎ 由韦达定理得:,即,‎ 所以直线的方程为.‎ 故答案为:2,.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线基本概念的掌握,以及解析几何的计算能力,韦达定理的应用,属于基础题.‎ ‎19.已知,使等式成立的实数的取值集合为,不等式的解集为,若是的必要条件,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件进行转化,结合一元二次函数求出集合,再求出集合,利用必要条件建立不等关系讨论即可.‎ ‎【详解】由题意,,使等式成立的实数的取值集合为,‎ ‎,‎ 当时,取最小值为,当时,取最大值为,‎ ‎,即,‎ 若是的必要条件,则,‎ 当,即时,,则,即,‎ 当,即时,,则,即,‎ 当,即时,此时,不满足题中条件,‎ 综上所述:的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的值域的求解,集合之间包含关系的应用,体现了分类讨论思想的应用,属于基础题.‎ ‎20.给出下列四个命题 ‎①已知为椭圆上任意一点,,是椭圆的两个焦点,则的周长是8;‎ ‎②已知是双曲线上任意一点,是双曲线的右焦点,则;‎ ‎③已知直线过抛物线的焦点,且与交于,,,两点,则;‎ ‎④椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点,是它的焦点,长轴长为,焦距为,若静放在点的小球(小球的半径忽略不计)从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时,小球经过的路程恰好是.‎ 其中正确命题的序号为__(请将所有正确命题的序号都填上)‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①求得椭圆中的, ,的周长为:,即可判断;‎ ‎②求得双曲线中的,,,讨论在双曲线的左支或右支上,求得最小值,即可判断;‎ ‎③设出直线的方程,代入抛物线方程,运用韦达定理,即可判断;‎ ‎④可假设长轴在,短轴在轴,对球的运动方向沿轴向左直线运动,沿轴向右直线运动,以及球不沿轴运动,讨论即可.‎ ‎【详解】①由椭圆方程,得,,因为椭圆上任意一点,由椭圆定义知,的周长为,故①错误;‎ ‎②已知是双曲线上任意一点,且,,是双曲线的右焦点,若在双曲线左支上,则,若在双曲线右支上,则,故②正确;‎ ‎③直线过抛物线的焦点,设其方程为,,,将直线代入抛物线的方程可得,由韦达定理可得,又,则,故③正确;‎ ‎④假设长轴在,短轴在轴,设为左焦点,为左焦点,以下分为三种情况:‎ i.球从 沿轴向左直线运动,碰到左顶点必然原路反弹,这时第一次回到路程 是;‎ ii.球从沿轴向右直线运动,碰到右顶点必然原路反弹,这时第一次回到路程 是;‎ iii.球从不沿轴斜向上(或向下)运动,碰到椭圆上的点,反弹后经过椭圆的另一个焦点,再弹到椭圆上一点,经反弹后经过点,此时小球经过的路程是;‎ 综上所述:从点沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到时,小球经过的路程是或或.故④错误.‎ 故答案为:②③.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质,考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力,属于中档题.‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎21.已知公差不为0的等差数列的前n项和为,,且,,成等比数列.‎ 求数列的通项公式;‎ 求数列的前n项和公式.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;‎ 运用等差数列的求和公式,可得,,再由裂项相消求和,可得所求和.‎ ‎【详解】解:公差d不为0的等差数列的前n项和为,‎ ‎,可得,‎ 且,,成等比数列,可得,即,‎ 解得,,‎ 则;‎ ‎,‎ ‎,‎ 则数列的前n项和为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查方程思想和运算能力,以及数列的裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎22.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,O为AD中点,AB=1,AD=2,AC=CD=.‎ ‎(1)证明:直线AB∥平面PCO;‎ ‎(2)求二面角P-CD-A的余弦值;‎ ‎(3)在棱PB上是否存在点N,使AN⊥平面PCD,若存在,求线段BN的长度;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)根据条件AC=CD可得,又AB⊥AD,所以AB∥CO,然后根据线面平行的判定定理可得结论;(2)以O为原点建立空间直角坐标系,求出平面PCD和平面ABCD的法向量,根据两向量的夹角求解可得所求余弦值;(3)‎ 假设存在点N满足条件,设出点N的坐标,根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论.‎ ‎【详解】(1)因为AC=CD,O为AD中点,‎ 所以.‎ 又AB⊥AD,‎ 所以AB∥CO,‎ 又AB平面PCO,CO平面PCO,‎ 所以AB∥平面PCO.‎ ‎(2)因为PA=PD,‎ 所以PO⊥AD.‎ 又因为PO平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ 因为CO平面ABCD,‎ 所以PO⊥CO.‎ 因为AC=CD,所以CO⊥AD.‎ 如图建立空间直角坐标系O-.‎ 则A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).‎ 设平面PCD的法向量为,‎ 则,得'‎ 令z=2,则.‎ 又平面ABCD的法向量为=(0,0,1),‎ 所以.‎ 由图形得二面角为锐角,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎(3)假设存在点N是棱PB上一点,使得AN⊥平面PCD,‎ 则存在∈[0,1]使得,‎ 因此.‎ 由(2)得平面PCD的法向量为.‎ 因为AN⊥平面PCD,‎ 所以∥,即.‎ 解得=∈[0,1],‎ 所以存在点N是棱PB上一点,使AN⊥平面PCD,此时=.‎ ‎【点睛】(1)用向量法求二面角时,先求出两平面法向量的夹角,再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角,最后才能得到结论.‎ ‎(2)解决立体几何中的探索性问题时,一般先假设存在满足条件的元素(点或线),然后以此作为条件进行推理,看能否得到矛盾,若得到矛盾,则假设不成立;若得不到矛盾,则假设成立.‎ ‎23.已知数列的前项和为 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)运用数列的递推式:当时,,当时,,化简整理可得所求通项公式;‎ ‎(2)求得,利用数列求和公式:分组求和法,错位相减法,即可得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)由,得.‎ 当时,.‎ 适合上式,‎ ‎;‎ ‎(2),‎ 设数列的前项和为,‎ 则 设……①‎ 则……②‎ ‎①-②得:.‎ 所以;‎ 则 ‎【点睛】本题考查数列的与前项的和的关系与求和公式、分组求和方法,错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎24.‎ 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的上顶点到焦点的距离为2,离心率为.‎ ‎(1)求a,b的值.‎ ‎(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点.‎ ‎(ⅰ)若k=1,求△OAB面积的最大值;‎ ‎(ⅱ)若PA2+PB2的值与点P的位置无关,求k的值.‎ ‎【答案】(1)+y2=1.(2)(ⅰ)m=±时,S△OAB取得最大值1.(ⅱ)±.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由椭圆几何条件知上顶点到焦点距离为半长轴长,即a=2,又e,所以c=,故b=1.(2)(ⅰ)求△OAB面积的最大值,关键建立其函数关系式,这要用到点到直线距离公式来求高,利用两点间距离公式来求底边边长:设点P(m,0)(-2≤m≤2),直线l的方程为y=x-m.则可求得∣AB|=,高为,从而S△OAB=×|m|,利用基本不等式求最值(ⅱ)由题意先表示出PA2+PB2,再按m整理,最后根据与点P的位置无关得到对应项系数为零,从而解出k的值.‎ 试题解析:(1)由题设可知a=2,e,所以c=,故b=1.‎ 因此,a=2,b=1. 2分 ‎(2)由(1)可得,椭圆C的方程为+y2=1.‎ 设点P(m,0)(-2≤m≤2),点A(x1,y1),点B(x2,y2).‎ ‎(ⅰ)若k=1,则直线l的方程为y=x-m.‎ 联立直线l与椭圆C的方程,即.将y消去,化简得 ‎-2mx+m2-1=0.从而有x1+x2=,x1· x2=,‎ 而y1=x1-m,y2=x2-m,‎ 因此,∣AB|=‎ 点O到直线l的距离d=,‎ 所以,S△OAB=×|AB|×d=×|m|,‎ 因此,S2△OAB=( 5-m2)×m2≤=1.‎ ‎6分 又-2≤m≤2,即m2∈[0,4].‎ 所以,当5-m2=m2,即m2=, m=±时,S△OAB取得最大值1.‎ ‎8分 ‎(ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-m).‎ 将直线l与椭圆C的方程联立,即.‎ 将y消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k‎2m2‎-1)=0,解此方程,可得,‎ x1+x2=,x1·x2=.‎ ‎10分 所以,‎ PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=(x12+x22)-‎2m(x1+x2)+‎2m2‎+2‎ ‎=(*). 14分 因为PA2+PB2的值与点P的位置无关,即(*)式取值与m无关,‎ 所以有-8k4-6k2+2=0,解得k=±.‎ 所以,k的值为±. 16分 考点:椭圆基本量,直线与椭圆位置关系
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