- 2021-05-21 发布 |
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文档介绍
一轮特效提高2014高考总复习理数题库61数列的概念及简单表示法
6.1 数列的概念及简单表示法 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.数列{an}:1,-,,-,…的一个通项公式是( ) A.an=(-1)n+1(n∈N+) B.an=(-1)n-1(n∈N+) C.an=(-1)n+1(n∈N+) D.an=(-1)n-1(n∈N+) 解析 观察数列{an}各项,可写成:,-,,-,故选D. 答案 D 2.把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示). 则第七个三角形数是( ). A.27 B.28 C.29 D.30 解析 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 答案 B 3.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( ). A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当an+1>|an|(n=1,2,…)时,∵|an|≥an, ∴an+1>an,∴{an}为递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1,则a2>|a1|不成立,即知:an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立.故综上知,“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. 答案 B 4.在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( ). A.103 B. C. D.108 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2+3=-22+3+, ∴n=7时,an取得最大值,最大项a7的值为108. 答案 D 5.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项之积为Πn,则Π2 011的值为( ) A.- B.-1 C. D.2 解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而Π2 011=Π1=2. 答案:D[来源:学。科。网Z。X。X。K] 6.已知整数按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( ). A.(5,5) B.(5,6) C.(5,7) D.(5,8) 解析 按规律分组 第一组(1,1) 第二组(1,2),(2,1) 第三组(1,3),(2,2),(3,1) 则前10组共有=55个有序实数对. 第60项应在第11组中即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,(11,1)因此第60项为(5,7). 答案 C 7.已知数列的前项和为,,,,则( ) A. B. C. D. 解析 因为,所以由得,,整理得,所以,所以数列是以为首项,公比的等比数列,所以,选B. 答案 B[来源:学*科*网Z*X*X*K] 二、填空题 8.在函数f(x)=中,令x=1,2,3,…,得到一个数列,则这个数列的前5项是________. 答案 1,,,2, 9.已知数列{an}满足a1=2,且an+1an+an+1-2an=0(n∈N*),则a2=________;并归纳出数列{an}的通项公式an=________. 解析 当n=1时,由递推公式,有a2a1+a2-2a1=0,得a2==; 同理a3==,a4==,由此可归纳得出数列{an}的通项公式为an=. 答案 10.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k的值为________. 解析 ∵Sn=n2-9n, ∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10, a1=S1=-8适合上式,∴an=2n-10(n∈N*), ∴5<2k-10<8,得7.5<k<9.∴k=8. 答案 8 11.在数列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),则a16=________. 解析 由题可知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此数列是以3为周期的周期数列,a16=a3×5+1=a1=. 答案 12.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)()n,则当an取得最大值时,n等于________. 解析:由题意知 ∴ ∴∴n=5或6. 答案:5或6 三、解答题 13.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6. (1)这个数列的第4项是多少? (2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解析:(1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16,即150是这个数列的第16项. (3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍), ∴从第7项起各项都是正数. 14.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通项公式. 解析 由a1=S1=(a1+1)(a1+2), 解得a1=1或a1=2,由已知a1=S1>1,因此a1=2. 又由an+1=Sn+1-Sn =(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2), 得an+1-an-3=0或an+1=-an. 因an>0,故an+1=-an不成立,舍去.[来源:学。科。网Z。X。X。K] 因此an+1-an-3=0. 即an+1-an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项为an=3n-1. 【点评】 解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系,求通项an的问题,步骤主要有:,第一步:令n=1,由Sn=f(an)求出a1; 第二步:令n≥2,构造an=Sn-Sn-1,用an代换Sn-Sn-1(或用Sn-Sn-1代换an,这要结合题目的特点),由递推关系求通项; 第三步:验证当n=1时的结论是否适合当n≥2时的结论.如果适合,则统一“合写”;如果不适合,则应分段表示; 第四步:明确规范表述结论. 15.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求an.[来源:学|科|网] 解析 由an+1=an+2n-1,得an+1-an=2n-1.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 所以a2-a1=1,a3-a2=2, a4-a3=22, a5-a4=23, … an-an-1=2n-2(n≥2), 将以上各式左右两端分别相加,得an-a1=1+2+22+…+2n-2=2n-1-1, 所以an=2n-1(n≥2),又因为a1=1适合上式,故an=2n-1(n≥1). 16.已知数列{an}满足前n项和Sn=n2+1,数列{bn}满足bn=,且前n项和为Tn,设cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解析 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). ∴bn= (2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 =++…+, ∴cn+1-cn=+- =<0, ∴{cn}是递减数列.查看更多