2018中考数学考点专题提升训练

2018中考数学考点专题提升训练

‎2018中考数学考点专题提升训练 目录：‎ 专题提升(一) 数形结合与实数的运算 2——4‎ 专题提升(二) 代数式的化简与求值 5——7‎ 专题提升(三) 数式规律型问题 8——12‎ 专题提升(四) 整式方程(组)的应用 13——18‎ 专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 19——25‎ 专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 26——32‎ 专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 33——36‎ 专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 37——41‎ 专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 42——46‎ 专题提升(十) 等腰或直角三角形为背景的计算与证明 47——53‎ 专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 54——60‎ 专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 61——65‎ 专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 66——72‎ 专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 73——78‎ 专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 79——83‎ 专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 84——89‎ 专题提升(一)　数形结合与实数的运算 类型之一　数轴与实数 ‎【经典母题】‎ 如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把和－表示在数轴上．‎ ‎ 图Z1－1‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 (　　)‎ 图Z1－2‎ A.＋1 B. C.－1 D．1－ ‎2．[娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是 (　　)‎ 图Z1－3‎ A．M B．N C．P D．Q ‎3．[天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是 (　　)‎ ‎ 图Z1－4‎ A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a ‎4．[余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，‎ 若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为(　 　)‎ 图Z1－5‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于 (　 　)‎ 图Z1－6‎ A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间 ‎6．[ 成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是_ __．‎ 图Z1－7‎ ‎【中考预测】‎ 如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是(　 　)‎ 图Z1－8‎ A．a＞b B．|a|＞|b| C．－a＜b D．a＋b＜0‎ 类型之二　实数的混合运算 ‎【经典母题】‎ 计算：2×(3＋)＋4－2×.‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[台州]计算： －＋2－1.‎ ‎2．[临沂]计算：|1－|＋2cos45°－＋.‎ ‎3．[泸州]计算：(－3)2＋2 0170－×sin45°.‎ ‎【中考预测】‎ ‎　计算：－3tan30°＋(π－4)0－.‎ 专题提升(二)　 代数式的化简与求值 类型之一　整式的化简与求值 ‎【经典母题】‎ 已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为 (　 　)‎ A．10 B．6 C．5 D．3‎ ‎2．已知实数a满足a－＝3，则a2＋的值为__ __.‎ ‎3．[重庆B卷]计算：(x＋y)2－x(2y－x)．‎ ‎4．[漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)?‎ ‎【中考预测】‎ 先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－a)，其中a＝－， b＝3.‎ 类型之二　分式的化简与求值 ‎【经典母题】‎ 计算：(1)－－； (2)·.‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[ 重庆A卷]计算：÷.‎ ‎2．[ 攀枝花]先化简，再求值：÷，其中x＝2.‎ ‎【中考预测】‎ 先化简，再求值：，其中x＝4.‎ 类型之三　二次根式的化简与求值 ‎【经典母题】‎ 已知a＝＋，b＝－，求a2－ab＋b2的值．‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为 (　 　)‎ A．9 B．±3 C．3 D．5‎ ‎2．[仁寿二模]先化简，再求值：÷，其中a＝＋1，b＝－1.‎ ‎3．[ 绵阳]先化简，再求值：÷，其中x＝2，y＝.‎ ‎【中考预测】‎ 先化简，再求值：＋＋，其中a＝，b＝.‎ 专题提升(三)　数式规律型问题 ‎【经典母题】‎ 观察下列各式：‎ ‎52＝25；‎ ‎152＝225；‎ ‎252＝625；‎ ‎352＝1 225；‎ ‎…‎ 你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由．‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：‎ ‎3－2＝1；‎ ‎8＋7－6－5＝4；‎ ‎15＋14＋13－12－11－10＝9；‎ ‎24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；‎ ‎…‎ 根据以上规律可知第10行左起第1个数是 (　　)‎ A．100 B．121 C．120 D．82‎ ‎2．[邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 (　　)‎ ‎ 图Z3－1‎ A．y＝2n＋1 B．y＝2n＋n C．y＝2n＋1＋n D．y＝2n＋n＋1‎ ‎3．[中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2 017到2 018再到2 019，箭头的方向是下列选项中的 (　 　)‎ ‎ ‎ 图Z3－2‎ ‎4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走 (　 　)‎ 图Z3－3‎ A．②号棒 B．⑦号棒 C．⑧号棒 D．⑩号棒 ‎5．[烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4)：‎ ‎ 图Z3－4‎ 按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为 ( 　)‎ A．3n B．6n C．3n＋6 D.3n＋3‎ ‎6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__ __，2 016是第__ __个三角形数．‎ ‎7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：第1位同学报，第2位同学报，第3位同学报，…这样得到的100个数的积为__ __.‎ ‎8．[潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__ __．‎ 图Z3－5‎ ‎9．观察下列等式：‎ 第一个等式：a1＝＝－1；‎ 第二个等式：a2＝＝－；‎ 第三个等式：a3＝＝2－；‎ 第四个等式：a4＝＝－2；‎ ‎…‎ 按上述规律，回答以下问题：‎ ‎(1)用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ；‎ ‎(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__ __‎ ‎10．[山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__ _个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．‎ 图Z3－6‎ ‎11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__ _根小棒．‎ 图Z3－7‎ ‎12．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．‎ 由图易得＋＋＋…＋＝__ _.‎ 图Z3－8‎ ‎13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：‎ 图Z3－9‎ ‎(2)观察图Z3－10，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：‎ 图Z3－10‎ ‎1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__ __＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__ __．‎ ‎【中考预测】‎ 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．‎ ‎(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？‎ ‎(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？‎ 图Z3－11‎ 专题提升(四)　整式方程(组)的应用 类型之一　一元一次方程的应用 ‎【经典母题】‎ 汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t，还剩下8 t未装；若每辆车装4.5 t，恰好装完．这个车队有多少辆车？‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是 (　　)‎ A．25台 B．50台 C．75台 D．100台 ‎2．盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？‎ 请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．‎ ‎【中考预测】‎ ‎[株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．‎ 图Z4－1‎ 类型之二　二元一次方程组的应用 ‎【经典母题】‎ 用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？‎ 图Z4－2‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm；若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．‎ ‎①‎ ‎②‎ 图Z4－3‎ ‎2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2 min内可以通过560名学生；当同时开启一个正门和一个侧门时，4 min内可以通过800名学生．‎ ‎(1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？‎ ‎(2)检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：在紧急情况下全楼的学生应在5 min内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．‎ ‎【中考预测】‎ 随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/km计算，耗时费按q元/min计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：‎ 速度y(km/h)‎ 里程数s(km) 里程数s(km)‎ 车费(元)‎ 小明 ‎60‎ ‎8‎ ‎12‎ 小刚 ‎50‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎(1)求p，q的值；‎ ‎(2)如果小华也用该打车方式，车速55 km/h，行驶了11 km，那么小华的打车总费用为多少？‎ ‎类型之三　一元二次方程的应用 ‎【经典母题】‎ 某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．‎ ‎(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆？‎ ‎(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．‎ ‎(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；‎ ‎(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？‎ ‎2．[重庆B卷]某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．‎ ‎(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg，其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？‎ ‎(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg，销售均价为30元/kg，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg，销售均价为20元/kg，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．‎ ‎【中考预测】‎ 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400 kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.‎ ‎(1)当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？‎ ‎(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？‎ 专题提升(五)　一次函数的图象与性质的应用 类型之一　一次函数的图象的应用 ‎【经典母题】‎ ‎　如图Z5－1，由图象得的解是 ．‎ ‎ 图Z5－1‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1 h后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间t(h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题：‎ ‎ 图Z5－2‎ ‎(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？‎ ‎(2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？‎ ‎(3)若乐乐要提前18 min到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？‎ ‎2．[宿迁]小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，‎ 且每个站点停留2 min，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1 min到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．‎ 图Z5－3‎ ‎(1)求点A的纵坐标m的值；‎ ‎(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．‎ ‎3．方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t 的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息：乙先出发1 h；甲出发0.5 h与乙相遇…‎ 请你帮助方成同学解决以下问题：‎ ‎(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；‎ ‎(2)当20＜y＜30时，求t的取值范围；‎ ‎(3)分别求出甲，乙行驶的路程s甲，s乙与时间t的函数表达式，并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象；‎ ‎(4)丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一公路匀速前往M地，若丙经过 h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？‎ 图Z5－4‎ ‎【中考预测】‎ ‎[义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，‎ 更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5－5所示．‎ 图Z5－5‎ ‎(1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式__ __；‎ ‎(2)求乙组加工零件总量a的值；‎ ‎(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？‎ 类型之二　一次函数的性质的应用 ‎【经典母题】‎ 某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1 500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．‎ ‎(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式；‎ ‎(2)在同一直角坐标系中画出它们的图象；‎ ‎(3)根据图象回答下列问题：印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料，找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，‎ 这两种手机的进价和售价如下表所示：‎ 甲 乙 进价(元/部)‎ ‎4 000‎ ‎2 500‎ 售价(元/部)‎ ‎4 300‎ ‎3 000‎ 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元[毛利润＝(售价－进价)×销售量]．‎ ‎(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？‎ ‎(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润．‎ ‎2．[绵阳]江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1 h可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1 h可以收割小麦2.5公顷．‎ ‎(1)每台大型收割机和每台小型收割机1 h收割小麦各多少公顷？‎ ‎(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元．两种型号的收割机一共有10台，要求2 h完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元．有几种方案？请指出费用最低的一种，并求出相应的费用．‎ ‎【中考预测】‎ 某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元．‎ ‎(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；‎ ‎(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？‎ 专题提升(六)　一次函数与反比例函数的综合 ‎【经典母题】‎ 如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．‎ ‎ 图Z6－1‎ ‎ ‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)．‎ ‎(1)求这两个函数的表达式；‎ ‎(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z6－2 　‎ ‎2．如图Z6－3，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．‎ ‎(1)分别求出这两个函数的表达式；‎ ‎(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；‎ ‎(3)求∠P′AO的正弦值．‎ 图Z6－3‎ ‎3．[成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．‎ ‎(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；‎ ‎(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z6－4 　　 ‎ ‎ ‎ ‎4．如图Z6－5，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点．‎ ‎(1)求反比例函数的表达式；‎ ‎(2)求一次函数的表达式；‎ ‎(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA＋PB最小．‎ 图Z6－5‎ ‎5．[广安]如图Z6－6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6.‎ 图Z6－6‎ ‎(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式．‎ ‎(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.‎ ‎6．[黄冈]如图Z6－7，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为E；过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE.‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)求四边形AEDB的面积．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z6－7 ‎ ‎7．[金华]如图Z6－8，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.‎ ‎(1)求点A的坐标；‎ ‎(2)若AE＝AC，①求k的值；‎ ‎②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z6－8 ‎ ‎【中考预测】‎ 如图Z6－9，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.‎ ‎(1)求一次函数与反比例函数的表达式；‎ ‎(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；‎ ‎(3)直接写出不等式kx＋b≤的解集．‎ 图Z6－9‎ 专题提升(七)　二次函数的图象和性质的综合运用 ‎【经典母题】‎ 用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．‎ ‎【中考变形】‎ 1． ‎[烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示，下列结论：‎ ‎①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有 (　　)‎ ‎ 图Z7－1‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎2．[绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是 (　 　)‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎3．[ 株洲]如图Z7－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)与点C(x2，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时x2＞－1，以上结论中正确结论的序号为__ __.‎ ‎ ‎ 图Z7－2　　　　 图Z7－3‎ ‎4．[天水]如图Z7－3是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：‎ ‎①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是__ __.(只填写序号)‎ ‎5．如图Z7－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且过点C(0，－3)．‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；‎ ‎(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的函数表达式．‎ 图Z7－4‎ ‎6．[江西]已知抛物线C1：y＝ax2－4ax－5(a＞0)．‎ ‎(1)当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；‎ ‎(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；‎ ‎②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；‎ ‎(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．‎ ‎7．[北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.‎ ‎(1)求直线BC的表达式；‎ ‎(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎8．[益阳]如图Z7－5，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.‎ ‎(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；‎ ‎(2)过点B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；‎ ‎(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z7－5 ‎ ‎ ‎ ‎【中考预测】‎ 设抛物线y＝mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a，0)和B(b，0)．‎ ‎(1)若a＝－1，求m，b的值；‎ ‎(2)若2m＋n＝3，求证：抛物线的顶点在直线y＝mx＋n上；‎ ‎(3)抛物线上有两点P(x1，p)和Q(x2，q)，若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，试比较p与q的大小．‎ 专题提升(八)　 二次函数在实际生活中的应用 ‎【经典母题】‎ 某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？‎ ‎ ‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．‎ ‎(1)图中点P所表示的实际意义是__ _ _；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__ __件；‎ ‎(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__ __；自变量x的取值范围为__ __；‎ ‎(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？‎ 图Z8－1‎ ‎2．[宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：‎ 销售价x(元/件)‎ ‎…‎ ‎110‎ ‎115‎ ‎120‎ ‎125 ‎ ‎130‎ ‎…‎ 销售量y(件)‎ ‎…‎ ‎50‎ ‎45‎ ‎40‎ ‎35 ‎ ‎30‎ ‎…‎ 若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．‎ ‎(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；‎ ‎(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？‎ ‎3．[青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：‎ 淡季 旺季 未入住房间数 ‎10‎ ‎0‎ 日总收入(元)‎ ‎24 000‎ ‎40 000‎ ‎(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？‎ ‎(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)‎ ‎4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/t，根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/t.‎ 图Z8－2‎ ‎(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；‎ ‎(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A类杨梅x t，经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．‎ ‎①求W关于x的函数关系式；‎ ‎②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？‎ ‎(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．‎ ‎【中考预测】‎ 某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．‎ ‎(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；‎ ‎(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；‎ ‎(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？‎ ‎(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．‎ 专题提升(九)　以全等为背景的计算与证明 ‎【经典母题】‎ 如图Z9－1，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线．求证：AD⊥BC(填空)．‎ 证明：在△ABD和△ACD中，‎ ‎∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS)，‎ ‎∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的对应角相等)．‎ ‎∴∠ADB＝∠BDC＝90°(平角的定义)，‎ ‎∴AD⊥BC(垂直的定义)．‎ ‎ 图Z9－1‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[宜宾]如图Z9－2，已知点B，E，C，F在同一条直线上，‎ 图Z9－2‎ AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE＝CF.‎ ‎2．[南充]如图Z9－3，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是E，F，DE＝CF，AE＝‎ BF.求证：AC∥BD.‎ 图Z9－3‎ ‎3．[南充]已知△ABN和△ACM位置如图Z9－4所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.求证：‎ 图Z9－4‎ ‎(1)BD＝CE；‎ ‎(2)∠M＝∠N.‎ ‎4．[孝感]如图Z9－5，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝‎ CD.‎ 图Z9－5‎ ‎5．如图Z9－6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.‎ ‎(1)求证：△ACD≌△AED；‎ ‎(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．‎ 图Z9－6‎ ‎6．如图Z9－7，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝‎ DC.‎ ‎(1)求证：△ABE≌△DCE；‎ ‎(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．‎ 图Z9－7‎ ‎7．[齐齐哈尔]如图Z9－8，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．‎ 图Z9－8‎ ‎(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；‎ ‎(2)连结EF，若AC＝10，求EF的长．‎ ‎8．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图Z9－9，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF ‎⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.‎ 图Z9－9‎ ‎【中考预测】‎ 如图Z9－10，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.‎ 图Z9－10‎ ‎(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；‎ ‎(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．‎ 专题提升(十)　以等腰或直角三角形为背景的计算与 证明 类型之一　以等腰三角形为背景的计算与证明 ‎【经典母题】‎ 把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[湖南]已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 (　 　)‎ A．3条 B.4条 C.5条 D.6条 ‎2．[杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 (　　)‎ A．m2＋2mn＋n2＝0 B.m2－2mn＋n2＝0‎ C．m2＋2mn－n2＝0 D.m2－2mn－n2＝0‎ ‎3．[绍兴]已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.‎ ‎(1)如图Z10－1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．‎ ‎①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝____°，β＝____°.‎ ‎②求α，β之间的关系式；‎ ‎(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．‎ 图Z10－1‎ ‎【中考预测】‎ ‎[菏泽]如图Z10－2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E 在同一直线上，连结BE.‎ ‎(1)如图①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，‎ ‎①求证：AD＝BE.‎ ‎②求∠AEB的度数；‎ ‎(2)如图②，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高线，BN为△ABE中AE边上的高线，求证：AE＝2CM＋BN.‎ 图Z10－2‎ 类型之二　以直角三角形为背景的计算与证明 ‎【经典母题】‎ 已知：如图Z10－3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC.‎ 图Z10－3‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．如图Z10－4，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是 (　 　)‎ ‎ ‎图Z10－4‎ A．70° B．65° C．60° D．55°‎ ‎2．[2016·济宁]如图Z10－5，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件___ __，使△AEH≌△CEB.‎ ‎　图Z10－5‎ ‎3．如图Z10－6，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，‎ 点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC.‎ ‎(1)求证：△ABE≌△CBD；‎ ‎(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．‎ 图Z10－6‎ ‎4．如图Z10－7，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上的一点．‎ 图Z10－7‎ ‎(1)求证：△ACE≌△BCD；‎ ‎(2)若DE＝13，BD＝12，求线段AB的长．‎ ‎5．[重庆B卷]如图Z10－8，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC 上一点，连结BE.‎ ‎(1)如图①，若AB＝4，BE＝5，求AE的长；‎ ‎(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连结CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.‎ 图Z10－8‎ ‎【中考预测】‎ 如图Z10－9，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE，CF交于M，‎ 连结AM.‎ ‎(1)求证：BE＝CF；‎ ‎(2)求证：BE⊥CF；‎ ‎(3)求∠AMC的度数．‎ ‎　 ‎ ‎　　　 　　图Z10－9　　‎ 专题提升(十一)　以平行四边形为背景的计算与证明 类型之一　以平行四边形为背景的计算与证明 ‎【经典母题】‎ 已知：如图Z11－1，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.‎ ‎ 图Z11－1‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[益阳]如图Z11－2，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.‎ 求证：AF＝CE.‎ ‎ ‎图Z11－2‎ ‎2．[黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.‎ 图Z11－3‎ ‎【中考预测】‎ ‎[义乌模拟]如图Z11－4，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.‎ ‎(1)求证：四边形AECF是平行四边形；‎ ‎(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．‎ ‎ ‎图Z11－4‎ ‎ ‎ ‎类型之二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 ‎【经典母题】‎ 如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．‎ ‎　 ‎ ‎ 图Z11－5 　　 ‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.‎ ‎(1)求证：△DCA≌△EAC；‎ ‎(2)只需添加一个条件，即__ _，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．‎ 图Z11－6‎ ‎2．[白银]如图Z11－7，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.‎ ‎(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．‎ 图Z11－7‎ ‎3．[盐城]如图Z11－8，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.‎ ‎(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；‎ ‎(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．‎ 图Z11－8‎ ‎ ‎ ‎4．[株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．‎ ‎(1)求证：△ADF≌△ABE；‎ ‎(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．‎ 图Z11－9‎ ‎5．[上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.‎ ‎(1)求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．‎ 图Z11－10‎ ‎6．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.‎ ‎(1)求证：四边形EFGH是正方形；‎ ‎(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；‎ ‎(3)求四边形EFGH面积的最小值．‎ ‎ 　‎ ‎　　　　 　图Z11－11　‎ ‎【中考预测】‎ 如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.‎ 图Z11－12‎ ‎(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；‎ ‎(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；‎ ‎(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．‎ 专题提升(十二)　与圆的切线有关的计算与证明 类型之一　与切线的性质有关的计算或证明 ‎【经典母题】‎ 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__ __．‎ ‎ ‎ 图Z12－1 ‎ ‎【中考变形】‎ ‎[天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.‎ ‎(1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小；‎ ‎(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．‎ 图Z12－2‎ ‎【中考预测】‎ ‎[宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.‎ ‎(1)求证：AP＝AB；‎ ‎(2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．‎ ‎ ‎ ‎　图Z12－3 ‎ 类型之二　与切线的判定有关的计算或证明 ‎【经典母题】‎ 已知：如图Z12－4，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线AB是⊙O的切线．‎ ‎ ‎ 图Z12－4　 ‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[黄石]如图Z12－5，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.‎ ‎(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；‎ ‎(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z12－5 ‎ ‎2．[南充]如图Z12－6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O直径的长．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z12－6 ‎ ‎【中考预测】‎ 如图Z12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.‎ ‎(1)求证：DE与⊙O相切；‎ ‎(2)若BF＝2，DF＝，求⊙O的半径．‎ ‎ ‎ 图Z12－7 ‎ 专题提升(十三)　以圆为背景的相似三角形的计算与 证明 ‎【经典母题】‎ 如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z13－1 ‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.‎ ‎(1)求证：△ADO∽△ACB；‎ ‎(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.‎ 图Z13－2‎ ‎2．[德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．‎ ‎ ‎ ‎ 图Z13－3 ‎ ‎3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．‎ ‎ ‎ 图Z13－4 ‎ ‎4．[广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证：△ACF∽△DAE；‎ ‎(2)若S△AOC＝，求DE的长；‎ ‎(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．‎ ‎ ‎ 图Z13－5 ‎ ‎5．[株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.‎ ‎(1)求证：CE∥BF；‎ ‎(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶，求△BCD的面积．‎ ‎ ‎ 图Z13－6 ‎ ‎6．如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.‎ ‎(1)求证：AC平分∠BAD；‎ ‎(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎ ‎ 图Z13－7 ‎ ‎7．[枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.‎ ‎(1)求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．‎ ‎ ‎ 图Z13－8 ‎ ‎8．[聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.‎ ‎(1)求证：PD是⊙O的切线；‎ ‎(2)求证：△PBD∽△DCA；‎ ‎(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．‎ ‎ ‎ 图Z13－9 ‎ ‎【中考预测】‎ ‎[黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：‎ ‎(1)∠D＝∠AEC；‎ ‎(2)OA2＝OD·OF.‎ ‎ ‎ 图Z13－10 ‎ 专题提升(十四)　利用解直角三角形测量物体高度 ‎ 或宽度 ‎【经典母题】‎ 如图Z14－1，测得两楼之间的距离为32.6 m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′，求这两幢楼的高度．(精确到0.1 m)‎ 图Z14－1‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[长沙]如图Z14－2，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为 (　 　)‎ 图Z14－2‎ A．160 m B．120 m C．300 m D．160 m ‎2．[内江]如图Z14－3，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．‎ ‎(结果保留根号)‎ 图Z14－3‎ ‎3．[菏泽]如图Z14－4，某小区1号楼与11号楼隔河相望，李明家住在1号楼，他很想知道11号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42 m高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮李明计算11号楼的高度CD.‎ ‎ ‎ 图Z14－4　 ‎ ‎4．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图Z14－5①)，侧面示意图为图②，使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm.‎ 图Z14－5‎ ‎(1)求∠CAO′的度数；‎ ‎(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少厘米？‎ ‎(3)如图④，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ ‎5．[岳阳]某太阳能热水器的横截面示意图如图Z14－6所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝∠CDE＝30°，DE＝80 cm，AC＝165 cm.‎ ‎(1)求支架CD的长；‎ ‎(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)‎ 图Z14－6‎ ‎6．[泸州]如图Z14－7，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡比为i＝1∶的斜坡DB前进30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，结果保留根号)‎ ‎ ‎ ‎　图Z14－7 ‎ ‎7．[海南]如图Z14－8，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4 m，坡角∠DCE ‎＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．‎ ‎(1)求斜坡CD的高度DE；‎ ‎(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)‎ ‎ ‎ ‎ 图Z14－8 ‎ ‎【中考预测】‎ 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①，AB可绕点A旋转，在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC＝30 cm.‎ ‎(1)如图②，当∠BAC＝24°时，CD⊥AB，求支撑臂CD的长；‎ ‎(2)如图③，当∠BAC＝12°时，求AD的长．(结果保留根号，参考数据：sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46，sin12°≈0.20)‎ 图Z14－9‎ 专题提升(十五)　巧用旋转进行证明与计算 ‎【经典母题】‎ 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．‎ ‎(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；‎ ‎(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．‎ ‎ ‎ 图Z15－1 ‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数是 (　 　)‎ 图Z15－2‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(　 　)‎ A．1∶ B．1∶2 C.∶2 D．1∶ ‎ ‎ 图Z15－3 ‎ ‎3．[徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB.‎ ‎(1)线段DC＝__ __；‎ ‎(2)求线段DB的长度．‎ ‎ ‎ 图Z15－4 ‎ ‎4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.‎ ‎(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；‎ ‎(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？‎ ‎(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．‎ 图Z15－5‎ ‎ ‎ ‎5．阅读下面的材料：‎ 小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图②，‎ 利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连结PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．‎ ‎(1)请你回答：图①中∠APB＝__ __；‎ 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：‎ ‎(2)如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PD＝，求∠APB的度数和正方形的边长．‎ 图Z15－6‎ ‎【中考预测】‎ ‎(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；‎ ‎(2)如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎(3)在图①中，若EG＝4，GF＝6，求正方形ABCD的边长．‎ 图Z15－7‎ 专题提升(十六)　统计与概率的综合运用 类型之一　统计图表在实际生活中的应用 ‎【经典母题】‎ 如图Z16－1①表示去年某地12个月中每月的平均气温，图②表示该地一家庭在去年12个月的用电量．根据统计图，你能说出该家庭用电量与气温间的关系吗？‎ 图Z16－1‎ ‎【中考变形】‎ ‎1．[苏州]七(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果如图Z16－2列出统计表，绘制成扇形统计图．‎ 男、女生所选项目人数统计表 项目 男生(人数)‎ 女生(人数)‎ 机器人 ‎7‎ ‎9‎ ‎3D打印 m ‎4‎ 航模 ‎2‎ ‎2‎ 其他 ‎5‎ n 图Z16－2　　　‎ 根据以上信息解决下列问题：‎ ‎(1)m＝__ __，n＝__ __；‎ ‎(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为__ °__；‎ ‎(3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．‎ ‎2．[重庆B卷]中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校八年级模拟开展“中国诗词大赛”，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、 “较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图Z16－3两幅不完整的统计图，请结合如图中的信息，回答下列问题：‎ ‎(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为__ __度，并将条形统计图补充完整；‎ ‎(2)此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁．现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．‎ 图Z16－3‎ ‎【中考预测】‎ 作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作基本完成，某部门对4月份中的7天进行了公共自行车租车量的统计，结果如图Z16－4所示．‎ 图Z16－4‎ ‎(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；‎ ‎(2)用(1)中平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次；‎ ‎(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9 600万元，估计全年共租车3 200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求全年租车费收入占总投入的百分比(精确到0.1%)．‎ 类型之二　统计预测 ‎【经典母题】‎ 某校元旦文艺演出中，10位评委给某个节目打分如下(单位：分)：7.20‎ ‎，7.25，7.00，7.10，9.50，7.30，7.20，7.20，6.10，7.25.‎ ‎(1)求该节目得分的平均数、中位数和众数；‎ ‎(2)在平均数、中位数、众数这三个统计量中，你认为哪一个统计量比较恰当地反映了该节目的水平？请你设计一个能较好反映节目水平的统计方案．‎ ‎【中考变形】‎ ‎　[南京]某公司共25名员工，下表是他们月收入的资料．‎ 月收入/元 ‎ ‎45 000‎ ‎18 000‎ ‎10 000‎ ‎5 500‎ ‎4 800‎ ‎3 400‎ ‎3 000‎ ‎2 200‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎11‎ ‎1‎ ‎(1)该公司员工月收入的中位数是__3__400__元，众数是__3__000__元；‎ ‎(2)根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6 276元，你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．‎ ‎【中考预测】‎ 图Z16－5‎ 中国经济的快速发展让众多国家感到不安，随着钓鱼岛事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生，国家安全一再受到威胁，所谓“国家兴亡，匹夫有责”，某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图Z16－5所示：‎ ‎(1)根据上图填写下表：‎ 平均数 中位数 众数 方差 甲班 ‎8.5‎ ‎8.5‎ ‎8.5‎ ‎0.9‎ 乙班 ‎8.5‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎1.6‎ ‎(2)根据上表数据，分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．‎ ‎ ‎