【数学】2020届一轮复习人教B版常用逻辑用语学案

【数学】2020届一轮复习人教B版常用逻辑用语学案

‎《常用逻辑用语》全章复习与巩固 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.‎ ‎2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.‎ ‎3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ ‎4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎【知识网络】‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一：命题 ‎（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.‎ ‎（2）全称量词与全称命题 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.‎ 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为，‎ ‎（3）存在量词与存在性命题 存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.‎ 存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为，.‎ 要点二：基本逻辑联结词 基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.‎ ‎（1）：用“且”把命题和联结起来，得到的新命题，读作“且”，相当于集合中的交集.‎ ‎（2）：用“或”把命题和联结起来，得到的新命题，读作“或”，相当于集合中的并集.‎ ‎（3）：对命题加以否定，得到的新命题，读作“非”或“的否定”，相当于集合中的补集.‎ 要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p则q”形式的命题：‎ ‎①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；‎ ‎②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；‎ ‎③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.‎ 判断命题充要条件的三种方法 ‎（1）定义法：‎ ‎（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.‎ ‎(3)利用集合间的包含关系判断，比如AÍB可判断为AÞB；A=B可判断为AÞB，且BÞA，即AÛB.‎ 如图：‎ ‎ “”“，且”是的充分不必要条件.‎ ‎“”“”是的充分必要条件.‎ ‎ ‎ 要点诠释：‎ ‎（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.‎ ‎（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.‎ ‎“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.‎ 要点四：四种命题及相互关系 如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：‎ 原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；‎ 否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.‎ 四种命题的关系 ‎①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.‎ ‎②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.‎ 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.‎ 要点五：命题真假的判断方法 ‎（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；‎ ‎（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：‎ 命题的真假判断（利用真值表）：‎ 非 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 ‎（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.‎ 要点诠释：‎ ‎①当、同时为假时，“或”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；‎ ‎②当、同时为真时，“且”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”；‎ ‎③“”与的真假相反.‎ 要点六：量词与全称命题、特称命题 ‎ 全称量词与存在量词 ‎（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“ ”表示，读作“对任意 ”。‎ 含有全称量词的命题，叫做全称命题。‎ 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x) 是关于x的命题.‎ ‎（2）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在 ”。‎ 含有存在量词的命题，叫做特称命题。‎ 特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x) 是关于x的命题.‎ ‎ 对含有一个量词的命题进行否定 ‎（1）对含有一个量词的全称命题的否定 ‎     全称命题p： ，他的否定：  。全称命题的否定是特称命题。     （2）对含有一个量词的特称命题的否定   特称命题p： ，他的否定：  。特称命题的否定是全称命题。 要点诠释：‎ ‎（1）命题的否定与命题的否命题是不同的. 命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。‎ ‎（2）一些常见的词的否定：‎ 正面词 等于 大于 小于 ‎ 是 都是 一定是 至少一个 至多一个 否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 一定不是 一个也没有 至少两个 ‎【典型例题】‎ 类型一：命题的四种形式 例1. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。‎ ‎【思路点拨】找准条件和结论，根据定义写出命题，再利用知识进行判断.‎ ‎【解析】逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；‎ ‎ 否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；‎ ‎ 逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。‎ ‎【总结升华】‎ ‎1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；‎ ‎2. 互为逆否命题的两个命题同真假；‎ ‎3. 注意区分命题的否定和否命题. ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】“已知是实数，若，，则”，写出下面相应的命题，并判断真假.‎ 上述命题的逆命题为： , ；‎ 上述命题的否命题为： , ；‎ 上述命题的否定为： , .‎ ‎【答案】 ‎ 逆命题：已知 是实数，若 ，则，；假命题。‎ 否命题：已知是实数，若或，则；假命题。‎ 命题的否定：已知是实数，若，，则.假命题。‎ ‎【变式2】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。‎ ‎（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；‎ ‎（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题；‎ ‎　　 否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题；‎ ‎　　 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，真命题。‎ ‎（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题；‎ ‎ 否命题：若x2+y2≠0,则x,y不全为零，真命题；‎ 逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。‎ ‎【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例1】‎ 例2. 写出下列命题的否命题： ‎ ‎（1）若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0； ‎ ‎（2）若x2+y2=0，则x，y全是0.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）若，则a，b，c都不为0；‎ ‎（2）若则x，y不都为0.‎ ‎【总结升华】注意否命题的结构和含有逻辑量词的命题的否定.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。‎ ‎（1）若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；‎ ‎（2）若x2+y2=0,则x,y全为零。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，为假命题；‎ ‎　　 否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题；‎ ‎　　 逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，真命题。‎ ‎（2）逆命题：若x,y全为零，则x2+y2=0,真命题；‎ ‎ 否命题：若x2+y2≠0,则x,y不全为零，真命题；‎ 逆否命题：若x,y不全为零，则x2+y20，真命题。‎ 类型二：充分、必要条件，充要条件的判断 例3. 填空（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）。‎ ‎（1）已知：：；：方程有实根. 则是的 条件；‎ ‎（2）已知：:；:.则是的 条件.‎ ‎【思路点拨】运用二次方程有无实根，解绝对值不等式及一元二次不等式进行判断.‎ ‎【解析】 ‎ ‎(1)方法一：定义法 ‎∵方程有实根，‎ 且方程有实根.‎ ‎　　所以是的充分而不必要条件。‎ 方法二：从集合的观点入手 ‎：‎ ‎：方程有实根 ‎　　因为，所以是的充分而不必要条件.‎ ‎（2）:；:.‎ ‎ ‎ 由图知：但,故是的充分不必要条件,故是的充分不必要条件.‎ ‎【总结升华】1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；‎ ‎2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】指出下列各组命题中, A是B的什么条件 ‎（1）A：；B：方程有实根；‎ ‎（2）A：；B：；‎ ‎（3）A：圆与直线相切；B：. ‎ ‎【答案】‎ ‎ (1)必要非充分条件．‎ ‎∵或，‎ 方程有实根或，‎ ‎∴或或，即.‎ 所以A是B的必要非充分条件．‎ ‎(2)必要非充分条件 ‎ ‎∵；，‎ 所以A推不出B，但B可以推出A，‎ 故A是B的必要非充分条件．‎ ‎(3)充要条件 直线与圆相切 圆(0，0)到直线的距离，‎ 即.‎ 所以A是B的充要条件.‎ ‎【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例2】‎ ‎【变式2】设aR，则a>1是的（ ） ‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 根据幂函数的性质，a>1时成立；但当时也成立，设aR，则a>1是的充分不必要条件.‎ ‎【变式3】(2015 北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且．“m∥β”是“α∥β”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.‎ 类型三：命题真假的判断 例4. 已知下列各组命题，写出满足条件的新的形式命题，并判断真假.‎ ‎（1）：是方程的根，：是方程的根； p或q，‎ ‎（2）：， ：是有理数； p且q，‎ ‎（3）：若，则或； 非p ‎【解析】‎ ‎（1）p或q：或是方程的根，真命题；‎ ‎（2）p且 ：是大于3的有理数，假命题；‎ ‎（3）非p：若，则且，假命题；‎ ‎【总结升华】‎ ‎1. 判断复合命题的真假的步骤：‎ ‎①确定复合命题的构成形式；‎ ‎②判断其中简单命题p和q的真假；‎ ‎③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.‎ ‎2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若命题P：，则命题“非P”是（ ）‎ A．且 B．或 C． D． ‎ ‎【答案】A ；‎ ‎【解析】∵因为命题可陈述为：属于集合A或属于集合B，∴非：即不属于集合A且也不属于集合B，即非：且，故选A.‎ ‎【高清课堂：常用逻辑用语综合395487 例3】‎ ‎【变式2】例4 若命题p∨q是真命题，¬p是真命题，则（ ） ‎ ‎（A）p和q都是真命题 ‎ ‎（B）p和q都是假命题 ‎ ‎（C）p是真命题，q是假命题 ‎ ‎（D）p是假命题，q是真命题 ‎【答案】D ‎【变式3】满足“p或q”为真，“非p”为真的是 （填序号）‎ ‎（1）p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q: ＝sinx在第一象限是增函数 ‎（2）p：；q: 不等式的解集为 ‎（3）p:圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是.‎ ‎【答案】(2)； ‎ ‎【解析】由已知条件，知命题p假、命题q真. 选项(1)中，命题p真而命题q假，排除；选项(2)中命题p假、命题q真；选项(3)中，命题p和命题q都为真，排除；故填(2)．‎ 类型四：全称命题与存在性命题真假的判断 例5. 判断下列命题的真假：‎ ‎ （1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由于，当时，不成立，故(1)为假命题；‎ ‎（2）由于，当时能使，所以（2）为真命题.‎ ‎【总结升华】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；‎ ‎2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )‎ A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B． ∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0‎ C．∃x0∈[0，＋∞)，x03＋x0＜0 D． ∃x0∈[0，＋∞)，x03＋x0≥0‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是一个全称命题．‎ ‎∴其否定命题为：∃x0∈[0，＋∞)，x03＋x0＜0‎ 故选C．‎ ‎【变式2】写出下列命题的否定，并判断真假。‎ ‎ （1）； （2）所有的正方形都是矩形；‎ ‎ （3）； （4）至少有一个实数x0，使得。‎ ‎【答案】‎ ‎（1）：（假命题）；‎ ‎（2）：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；‎ ‎（3）：（真命题）； ‎ ‎（4）：（真命题）。‎ ‎【变式3】（2019 晋中模拟）已知f（x）=ex－x，g（x）=lnx+x+1，命题，f（x）＞0，命题，使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A．p是真命题，，f（x0）＜0‎ B．p是假命题，，f（x0）≤0‎ C．q是真命题，，g（x）≠0‎ D．q是假命题，，g（x）≠0‎ ‎【答案】分别画出 的图象知，， ‎ ‎∴，f（x）＞0成立，即p是真命题。‎ g（x）=lnx+x+1在（0，+∞）上为增函数，当x→0时，g（x）＜0，g（1）=0+1+1=2＞0，‎ 则：，使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题。‎ 则，f（x0）≤0，‎ ‎，g（x）≠0，‎ 综上只有C成立，故选：C