人教A版数学必修一课时提升作业(二十)
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课时提升作业(二十)
对数函数的图象及性质
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.给出下列函数:
(1)y=log2(x-1). (2)y=logx2x.
(3)y=log(e+1)x. (4)y=4log33x.
(5)y=log(3+π)x. (6)y=lg5x.
(7)y=lgx+1.
其中是对数函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 B.由对数函数的概念可知(1)(2)(4)(6)(7)都不符合对数函数形式的
特点,只有(3)(5)符合.
2.已知对数函数 f(x)过点(2,4),则 f( )的值为 ( )
A.-1 B.1 C. D.
【解析】选 B.设 f(x)=logax,
由 f(x)过点(2,4),则 loga2=4,
即 a4=2,解得 a= ,
所以 f(x)=lo x,
所以 f( )=lo =1.
【延伸探究】若某对数函数的图象过点(4,2),则此时该对数函数的解析式
为 .
【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax,则loga4=2,解得a=2.
故所求解析式为 y=log2x.
答案:y=log2x
3.函数 f(x)=loga(x+2)+1(a>0,且 a≠1)的图象必经过点 ( )
A.(1,-1) B.(1,0)
C.(-1,1) D.(0,1)
【解析】选 C.当 x+2=1 时,f(x)=loga(x+2)+1=loga1+1=1,即 x=-1 时,f(-1)=1,
故函数恒过定点(-1,1).
4.(2015·大庆高一检测)函数 y= 的定义域是 ( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.[-1,0) D.(-1,0]
【解析】选 B.要使函数有意义,必须 lo (2x-1)≥0,则 0<2x-1≤1,即 1<2x≤2,
解得 0
0,仅仅考虑 2x-1≤1 求解,从而造成失误
错选 A.
5.(2015·阜阳高一检测)如图所示,曲线是对数函数 f(x)=logax 的图象,已知 a
取 , , , ,则对应于 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 ( )
A. , , , B. , , ,
C. , , , D. , , ,
【解题指南】首先按照底数大于 1 和底数大于 0 小于 1 分类,然后再比较与 y 轴
的远近程度.
【解析】选 A.先排 C1,C2 底的顺序,底都大于 1,
当 x>1 时图低的底大,C1,C2 对应的 a 分别为 , .然后考虑 C3,C4 底的顺序,底都
小于 1,
当 x<1 时底大的图高,C3,C4 对应的 a 分别为 , .
综合以上分析,可得 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为 , , , .故选 A.
【一题多解】选 A.作直线 y=1 与四条曲线交于四点,如图:
由 y=logax=1,得 x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,
所以 C1,C2,C3,C4 对应的 a 值分别为 , , , ,故选 A.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2015·合肥高一检测)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的反函数,且
f(2)=1,则 f(x)= .
【解析】由题意知 f(x)=logax,又 f(2)=1,所以 loga2=1,所以 a=2,f(x)=log2x.
答案:log2x
7.(2015·滁州高一检测)若对数函数 f(x)=logax+(a2-4a-5),则 a= .
【解析】由对数函数的定义可知, 解得 a=5.
答案:5
【误区警示】本题易忽略底数 a>0,且 a≠1,解得 a=-1 或 a=5.
【补偿训练】函数 y=(a2-4a+4)logax 是对数函数,则 a= .
【解析】由对数函数的定义可知 解得 a=3.
答案:3
8.已知集合 A={x|y=log2(x-1)},B={y|y=2x+1,x∈A},则 A∩B= .
【解析】由题知 x-1>0,解得 x>1,
所以 y=2x+1>2+1=3,所以 A∩B=(3,+∞).
答案:(3,+∞)
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.已知函数 y=loga(x+3)- (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 也在函数
f(x)=3x+b 的图象上,求 b 的值.
【解析】当 x+3=1,即 x=-2 时,对任意的 a>0,且 a≠1 都有 y=loga1- =0- =- ,所
以函数 y=loga(x+3)- 的图象恒过定点 A ,
若点 A 也在函数 f(x)=3x+b 的图象上,
则- =3-2+b,所以 b=-1.
10.已知函数 f(x)=log2 .
(1)求证:f(x1)+f(x2)=f .
(2)若 f =1,f(-b)= ,求 f(a)的值.
【解题指南】(1)利用对数的运算法则分别化简左边和右边即可证明.
(2)利用(1)的结论即可得出.
【解析】(1)左边=f(x1)+f(x2)=log2 +
log2 =log2
=log2 .
右边=log2 =log2 .
所以左边=右边.
(2)因为 f(-b)=log2 =-log2 = ,
所以 f(b)=- ,
利用(1)可知:f(a)+f(b)=f ,
所以- +f(a)=1,解得 f(a)= .
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.函数 f(x)= 的定义域是 ( )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
【解题指南】本题函数的定义域有两方面的要求:分母不为零,真数大于零,据此
列不等式组即可获解.
【解析】选 C.解不等式组 可得 x>-1,且 x≠1,故定义域为(-1,1)∪
(1,+∞).
2.已知 a>0 且 a≠1,则函数 y=logax 和 y=(1-a)x 在同一直角坐标系中的图象可
能是下列图象中的 ( )
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(3)(4) D.(1)(2)(3)
【解析】选 B.当 00,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数.函数
y=(1-a)x 在 R 上是增函数.图(3)符合此要求.
当 a>1 时,1-a<0,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数.函数 y=(1-a)x 在 R 上是减
函数.图(2)符合此要求.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2015·烟台高一检测)若函数 y=loga +3 的图象恒过定点 P,则 P 点坐标
为 .
【解析】因为 y=logat 的图象恒过(1,0),
所以令 =1,得 x=-2,此时 y=3,
所以该函数过定点(-2,3).
答案:(-2,3)
【延伸探究】若将函数改为“y=loga +3”,又如何求定点 P 的坐标?
【解析】因为 y=logat 的图象恒过(1,0),
所以令 =1,得 x=2,此时 y=3,
所以该函数过定点(2,3).
4.函数 f(x)=log2(1+4x)-x,若 f(a)=b,则 f(-a)= .
【解析】因为 f(a)=log2(1+4a)-a=b,
所以 log2(1+4a)=a+b,
所以 f(-a)=log2(1+4-a)+a
=log2 +a=log2(1+4a)-log222a+a=a+b-2a+a=b.
答案:b
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.若函数 y=loga(x+a)(a>0 且 a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求 a 的值.
(2)求函数的定义域.
【解题指南】(1)将(-1,0)代入 y=loga(x+a)中,直接求出 a 的值.
(2)确定出函数的解析式,根据真数大于 0,求出 x 的取值范围.
【解析】(1)将(-1,0)代入 y=loga(x+a)(a>0,a≠1)中,有 0=loga(-1+a),则-1+a=1,
所以 a=2.
(2)由(1)知 y=log2(x+2),x+2>0,解得 x>-2,
所以函数的定义域为{x|x>-2}.
6.已知 f(x)=|log3x|.
(1)画出函数 f(x)的图象.
(2)讨论关于 x 的方程|log3x|=a(a∈R)的解的个数.
【解题指南】(1)根据对数函数的图象和性质,画出函数 f(x)的图象.
(2)设函数 y=|log3x|和 y=a,根据图象之间的关系判断方程解的个数.
【解析】(1)函数 f(x)= 对应的函数 f(x)的图象为:
(2)设函数 y=|log3x|和 y=a.
当 a<0 时,两图象无交点,原方程解的个数为 0 个.
当 a=0 时,两图象只有 1 个交点,原方程只有 1 解.
当 a>0 时,两图象有 2 个交点,原方程有 2 解.
【补偿训练】已知 f(x)=x+lg .
(1)求定义域.
(2)求 f(x)+f(2-x)的值.
(3)猜想 f(x)的图象具有怎样的对称性,并证明.
【解析】(1)由题意得, >0,解得 0
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