北师大版七年级上册-第01讲 丰富的图形世界（培优）-教案

北师大版七年级上册-第01讲 丰富的图形世界（培优）-教案

1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第 01讲—丰富的图形世界 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 1 熟悉常见的立体图形，掌握特征与分类，特别是棱柱、圆柱；掌握点线面的关系 2 熟悉了解立体图形的展开折叠，尤其是正方体； 3 了解常见几何体截面的形状； 4 能够判断几何体的三视图形状，根据三视图推算几何体的形状。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （1）基本图形 2 几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就 是立体图形。 （2）棱柱及其有关概念、点线面的关系 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 n棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。 点线面的关系:点是所有图形的基础；线是点的移动轨迹，有长短、粗细之分；面就是由无数条线组成的。 （3）三视图:主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。 （4）图形的展开和折叠 图形的展开：沿图形的表面的棱将图形展开。 图形的折叠：将展开的平面图形折叠 正方体的展开图可以归为四大类：二二二型；三三型；二三一型（或一三二型）；一四一型。 正方体的表面展开图不能出现“田”字形与“凹”字形。 典例分析 考点一：棱柱 例 1、下列图形属于棱柱的有（ ） A、2 个 B、3个 C、4 个 D、5 个 【解析】根据棱柱的概念、结合图形解得即可。第一、二、四个几何体是棱柱，故选：B 例 2、对棱柱而言，下列说法错误的是（ ） A、所有侧面都是长方形 B、所有侧棱长都相等 C、上、下底面的形状相同 D、相邻两个侧面的交线叫做侧棱 【解析】A、所有的侧面不一定是长方形，说法错误 B、所有的侧棱长都相等，说法正确； C、上、下底面的形状相同，说法正确； D、相邻两侧面的交线叫侧棱，说法正确。 故选 A 例 3、下列说法中，正确的个数是（ ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体； ⑤棱柱的侧面一定是长方形 3 【解析】①柱体包括圆柱、棱柱；柱体的两个底面一样大；正确 ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误 ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱的侧面应是长方形，正确；共有 4 个正确，故选 C． 注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形 例 4、如图，一个正五棱柱的底面边长为 2cm，高为 4cm． （1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积； （2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？ （3）试用含有 n 的代数式表示 n棱柱的顶点数、面数与棱的条数 【解析】（1）根据图形可得侧面的个数，再加上上下底面即可； （2）顶点共有 10 个，棱有 5×3 条；（3）根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可 解：（1）侧面有 5 个，底面有 2 个，共有 5+2=7 个面；侧面积：2×4×5=40（cm2） （2）顶点共 10 个，棱共有 15 条；（3）n 棱柱的顶点数 2n；面数 n+2；棱的条数 3n 考点二：展开与折叠 例 1、如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】根据含有“田”字形和“凹”字形的图形不能折成正方体即可判断如下： A、含有田字形，不能折成正方体，故 A 错误； B、属于二三一型，能折成正方体，故 B 正确； C、凹字形，不能折成正方体，故 C 错误； D、含有田字形，不能折成正方体，故 D 错误。故选：B 例 2、如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相 对面上的字是（ ） A、的 B、中 C、国 D、梦 【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特 点作答。 “们”与“中”是相对面，“我”与“梦”是相对面，“的”与“国”是相对面。故选：D 4 例 3、下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 【解析】解：A、能围成四棱柱；B、能围成五棱柱； C、能围成三棱柱；D、经过折叠不能围成棱柱．故选 D． 例 4、将正方体骰子（相对面上的点数分别为 1 和 6、2 和 5、3 和 4）放置水平桌面上，如图 1．在图 2 中， 将骰子向右翻滚 90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是 ． 【解析】先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换。经过动手推理演示，可以发现连续 3 次变换是一 个循环。本题先要找出 3 次变换是一个循环，然后再求 10 被 3 整除后余数是 1，从而确定第 1 次变换的第 1步变换。根据题意可知连续 3 次变换是一循环．所以 10÷3=3…1。所以是第 1 次变换后的图形，即按上 述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是 5。故应填：5 例 5、如图的正方体盒子的外表面上画有 3 条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外 表面朝上），展开图可能是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手。 根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故 A 错误。且两条相邻成直角，故 B 错误。正视图的斜线方 向相反，故 C 错误。只有 D 选项符合条件，故选 D 5 考点三： 三视图 例 1、一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组 成这个物体的小正方体的个数为（ ） A、2个 B、3个 C、5个 D、10 个 【解析】此题主要考查了由三视图判定几何体的形状，从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯 视图可以验证这一点，从而确定个数。从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有 5 个 小正方体，从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为 5 个。故选 C 例 2、由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如左下图，则搭成该几何体的小正方体的 个数最少是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 【解析】根据三视图的知识，主视图是由 4 个小正方形组成，而左视图是由 4 个小正方形组成，故这个几 何体的底层最少有 3 个小正方体，第 2 层最少有 1 个小正方体。这个几何体的底层最少有 1+1+1=3 个小正 方体，第二层最少有 1 个小正方体，如由上图所示，因此组成这个几何体的小正方体最少有 3+1=4 个，如 由上图所示。故选：B 例 3、一个由小立方块搭成的几何体，从正面、左面、 上面看到的形状图如图所示，这个几何体是由 个小 立方块搭成的。 【解析】从俯视图中可以看出最底层小立方块的个数及形状，从主视图可以看出每一层小立方块的层数和 个数，从左视图可看出每一行小立方块的层数和个数，从而算出总的个数。由俯视图易得最底层小立方块 的个数为 4，由其他视图可知第二层有一个小立方块，那么共有 4+1=5 个小立方块。故答案为：5 6 考点四、截几何体 例 1、用一平面去截如图 5个几何体，能得到长方形截面的几何体的个数是（ ） A、4 B、3 C、2 D、1 【解析】根据长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球的形状判断即可，可用排除法。圆锥、球不可能得到长方 形截面，故能得到长方形截面的几何体有：长方体、圆柱、三棱柱一共有 3 个。故选：B 例 2、一物体的外形为正方形，为探明其内部结构，给其“做 CT”，用一组垂直的平面从左向右截这个物 体，按顺序得到如下截面，请你猜猜这个正方体的内部构造为 ． 【解析】通过观察可以发现：在正方体内部的圆由上至下由点逐渐变成小圆、大圆，又逐渐变成小圆、点。 这个正方体的内部构造为：正方体中间有一球状（或椭球状、双侧圆锥状等）空洞。 例 3、如图是图①的正方体切去一块，得到图②～⑤的几何体． （1）它们各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ （2）若面数记为 f，棱数记为 e，顶点数记为 v，则 f+v﹣e 应满足什么关系？ 网版权所有 【解析】（1）根据正方体原有的面数，顶点数，棱的条数，以及正方体截去一个角后，面、顶点、棱的变 化情况，形数结合求解；（2）利用以上所求得出 f+v﹣e 应满足的关系。 （1）正方体原有 6个面，8个顶点，12 条棱， 如图②把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 10 个顶点，有 15 条棱； 如图③把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 9 个顶点，有 14 条棱； 7 如图④把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 8 个顶点，有 13 条棱； 如图⑤把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 7 个顶点，有 12 条棱； （2）由（1）得：∵一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 10 个顶点，有 15 条棱； 把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 9 个顶点，有 14 条棱； 把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 8 个顶点，有 13 条棱； 把一个正方体截去一个角后得到的几何体有 7 个面，有 7 个顶点，有 12 条棱； 即 7+15﹣10=12，7+14﹣9=12，7+13﹣8=12，7+12﹣7=12，∴面数记为 f，棱数记为 e，顶点数记为 v，∴ 则 f+v﹣e=2。 P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练  课堂狙击 1、如下图，下列图形属于柱体的是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】分别分析各图形的特点，据此作答。 A、有一个是三棱锥，故不符合题意； B、有一个是不规则的多面体，故不符合题意； C、分别是一个圆柱体、两个四棱柱； D、有一个是圆台，故不符合题意 故选 C 2、各个面都是平面的一个几何体，如果它只有 4 个顶点，那么这个几何体共有（ ）个平面。 A、3 B、4 C、5 D、6 【解析】根据顶点及面的特点，各个面都是平面的一个几何体，如果它只有 4 个顶点，几何体是三棱锥， 三棱锥有四个面，故选：B 3、如下面左图，该多面体一共有 60个顶点，则该多面体的棱一共有 _____条 【解析】观察图形，可以看出，五边形是只跟六边形有边的重合，五边形跟五边形都是单独没有边重合的。 8 所以所有五边形的顶点和就是 60，故五边形有 12 个。由图可知一个五边形周围 有 5 个六边形包围，六边形总共有 5×12=60（个），观察发现是有重合的。以一 个六边形观察，可以发现重复算了三次，故六边形的总数=60÷3=20（个）。根据 图形得出五边形与六边形的个数，进而得出棱数。该多面体一共有 60个顶点，所 以该多面体一共有 12个五边形和 20个六边形组成，所以该多面体的棱一共有：（12×5+20×6）÷2=90。 故答案为：90 4、如图绕虚线旋转得到的几何体是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】根据旋转及线动成面的知识可得旋转后的图形为：两边为圆锥，中间为圆柱。故选 D 5、下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】正方体的展开图可以归为四大类：二二二型；三三型；二三一型（或一三二型）；一四一型。正 方体的表面展开图不能出现“田”字形与“凹”字形。 A、属于二三一型，可以作为一个正方体的展开图 B、属于一四一型，可以作为一个正方体的展开图 C、不属于任何正确类型，不能作为一个正方体的展开图 D、属于一四一型，可以作为一个正方体的展开图 故选 C 6、将下面的正方体侧面展开，展开图只能是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】利用正方形展开图的特点及圆，心，三角形所在面相邻面求解即可。由正方形展开图的特点可知 圆应在心的右侧，且圆，心，三角形所在的面是相邻面，所以只有 A正确。故选：A 7、如图，把左边的图形折起来得到正方体，则下列正方体一定正确的是（ ） 9 A、 B、 C、 D、 【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题。如带圆圈图案的面在前， 那么带直线图案的面一定与它相邻，所以 A，B错误；D中，带圆圈图案的面应和带直线图案的面平行，所 以 D 也错误。故选 C 8、如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个 数不可能是（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 【解析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形。根据 主视图与左视图，第一行的正方体有 1（只有一边有）或 2（左右都有）个，第二行的正方形可能有 2（左 边有）或 3（左右都有）个，故有 1+2=3，1+3=4，2+2=4，2+3=5，故不可能有 6 个。故选 D 9、超市货架上摆放着某品牌方便面，如图是它们的三视图，则货架上的方便面至少有（ ） A、8 B、9 C、10 D、11 【解析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。易得第一层有 4 碗， 第二层最少有 3 碗，第三层最少有 2 碗，所以至少共有 9 个碗。故选：B 10、一个正方体物体，被切一刀后，它的切面不可能是 （写出所有的答案） 【解析】正方体有六个面，用 平面去截正方体时最多与六 个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，但不可能得到等腰直角三角形，正五边形。故答案为：F， G 10  课后反击 1、下面的几何体中，属于 棱柱的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【解析】根据有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱，可得答案。从左到右依次是长方体，圆柱，棱柱，棱锥，圆锥，棱柱。 故选 C 2、下列第二行的哪种几何体的表面能展开成第一行的平面图形？请对应连线 有 【解析】根据几何体的平面展开图的特征可知：（1）是五棱柱的展开图；（2）是圆锥的展开图；（3）是圆 柱的展开图；（4）是正方体的展开图；（5）是两个四棱锥的展开图。 3、小军将一个直角三角板（如下左图）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何，将这个几何 体的侧面展开得到的大致图形是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】三角板绕直角边旋转，得到的立体图形是圆锥，圆锥展开图如答案 D 所示，故选 D 4、一个几何体的主视图和俯视图如右上图所示，若这个几何体最多有______个小 正方体组成，最少有______个小正方体组成 【解析】这种题需要空间想象能力，可以想象这样的小立方体搭了左中右三 排，但最左排可以为 4～6 个小正方体。最少需要 7 块如图（1），最多需要 9 块如图（2），故答案为 9；7。 11 5、下列各图不是正方体表面展开图的是（ ） A． B． C． D． 【解析】正方体的展开图可以归为四大类：二二二型；三三型；二三一型（或一三二型）；一四一型。正 方体的表面展开图不能出现“田”字形与“凹”字形。A，C，D是正方体的平面展开图，B 有田字格，不是 正方体的平面展开图。故选：B 6、如图，为一正方体的侧面展开图，那么“于”字所在的面与“ ”字所在的面 是对面。 【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一 特点作答。根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “于”的对面是“聪”，“明”的对面是“学”，“在”的对面是“习”。故答案为：聪 7、将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱 2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到 8 个 小正方体，通过观察我们可以发现 8 个小正方体全是 3 个面涂有颜色的． 如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到 27 个小正方体，通过观察我们可以 发现这些小正方体中有 8个是 3 个面涂有颜色的，有 12 个是 2 个面涂有颜色的，有 6 个是 1 个面涂有 颜色的，还有 1个各个面都没有涂色． （1）如果把正方体的棱 4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱 n等分呢？（请填写下 表）： 棱等分数 4 等分 n 等分 3面涂色的正方体 个 个 2面涂色的正方体 个 个 1面涂色的正方体 个 个 各个面都无涂色的正方体 个 个 （2）请直接写出将棱 7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数． 12 【解析】（1）三面涂色 8，8；二面涂色 24，12（n﹣2）； 一面涂色 24，6（n﹣2） 2 ；各面均不涂色 8，（n﹣2） 3 ； （2）当 n=7 时，6（n﹣2） 2 =6×（7﹣2） 2 =150，所以一面涂色的小正方体有 150 个。 直击中考 1、【2016深圳】把下列图形折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ） A、祝 B、你 C、顺 D、利 【解析】由正方体折叠及展开图的特点解题，正方体的平面展开图中，相对面的特点 是之间一定相隔一个正方形，所以与“中”字相对的面上的字是“顺”。故答案为 C。 2、【2015深圳】下列主视图正确的是（ ） 【解析】 主视图是从物体的正面看得到的 图形，由图可知,答案 A是其主视图，故选 A。 3、【2014深圳】由几个大小不同的正方形组成的几何图形如图，则它的俯视图是（ ） A、 B、 C、 D、 【解析】 俯视 图是 从 物体的上面看 得到的图形，由图可知,答案 A 是其主视图，故选 A。 13 S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、棱柱（棱柱的定义、特点、分类） 2、正方形展开与折叠 3、三视图 名师点拨 1、正方体的展开图可以归为四大类：二二二型；三三型；二三一型（或一三二型）；一四一型。正方体的 表面展开图不能出现“田”字形与“凹”字形 2、通过三视图判断几何体形状：俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章 学霸经验  本节课我学到了  我需要努力的地方是