2018届二轮复习算法、推理与证明、复数学案（江苏专用）

2018届二轮复习算法、推理与证明、复数学案（江苏专用）

‎2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版数 】‎ 专题九 算法、推理与证明、复数 考向一 算法 ‎1.讲高考 ‎（1）考试要求 算法初步 ‎（1）算法的含义、程序框图 ‎①了解算法的含义，了解算法的思想.‎ ‎②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.‎ ‎（2）基本算法语句 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.‎ ‎（2）命题规律 算法初步在高考中一定有小题，此类题多以框图为考查重点，往往与函数、数列等相结合，属于中等偏容易题．预测2018年高考中会有小题．应认真掌握好相关基础知识，确保高考不失分.‎ 例1【2014江苏，3】右图是一个算法流程图，则输出的的值是 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的.‎ ‎【名师点睛】循环语句中，注意语句不同的放置位置对输出结果的影响.‎ 例2【2015高考四川，理3改编】执行如图所示的程序框图，输出S的值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出.‎ ‎2.讲基础 ‎（1）程序框图的三种逻辑结构：顺序结构、条件(分支)结构、循环结构．‎ ‎（2）程序设计语言的基本算法语句：‎ 任何一种程序设计语言都包含五种基本的算法语句，分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句 ‎、循环语句．‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【北京市朝阳区2018届高三第一 期期末文 数 试题】‎ 执行如图所示的程序框图，输出的值为___________.‎ ‎【答案】48‎ ‎【名师点睛】对于比价复杂的程序框图，我们逐次计算各变量的值，再距离条件判断何时循环终止.‎ ‎【趁热打铁】【北京市石景山区2018届高三第一 期期末考试数 （文）试题】执行右面的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值是________.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】 ‎ ‎【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数 问题，是求和还是求项.‎ ‎【例2】【辽宁省实验中 、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才 校2018届高三上 期期末考试数 （理）】如图是一个算法的流程图，则输出的的值是__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. ‎ ‎【趁热打铁】【江苏省徐州市铜山中 2018届高三第一 期期中考试数 试卷】执行如图所示的算法流程图，则输出的值为__________． : ]‎ ‎【答案】4‎ ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数 问题，是求和还是求项.‎ ‎4.讲方法 ‎(1)解答此类问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三个基本结构．‎ ‎(2)解读循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底造成错误．‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为 ‎ ‎【错因】算法初步问题，往往比较简单，正答率较高，出现的问题往往有执行程序不完整、计算错误等，本题中不能正确的依次计算，而出现误选.‎ ‎【正解】这是一个循环结构，循环的结果依次为：[ ‎ ‎.所以i的最大值为 ‎ 考向二 推理与证明 ‎1.讲高考 ‎（1）考试要求 推理与证明 ‎（1）合情推理与演绎推理 ‎①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数 发现中的作用.‎ ‎②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.‎ ‎③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.‎ ‎（2）直接证明与间接证明 ‎①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.‎ ‎②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.‎ ‎（3）数 归纳法（理 附加）‎ 了解数 归纳法的原理，能用数 归纳法证明一些简单的数 命题.‎ ‎（2）命题规律 推理与证明类的题目，分成两个大类，一是合情推理与演绎推理反证法等，一般是在填空题中独立考查；二试数 归纳法，会在附加题中出现.‎ 例1【2008江苏 9】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同 已正确算的的方程：，请你求的方程： ( )‎ ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】类比推理可以代数结构上的推理，也可以是证明方法、推理方法的类比，本题中计算的直线方程时，就是把交换，再应用的方程 计算即可，这就是图形上的对应关系与方程的系数的对应关系的匹配.‎ 例2【2015江苏高考，23】 已知集合，，‎ ‎，令表示集合所含元素的个数.‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数 归纳法证明.‎ ‎【答案】（1）13（2）‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎（2）当时，（）．‎ 下面用数 归纳法证明：‎ ①当时，，结论成立；‎ ②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：‎ ‎1）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎2）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎3）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎4）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎5）若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎6）若，则，此时有 ‎，结论成立．‎ 综上所述，结论对满足的自然数均成立．‎ ‎【名师点晴】用数 归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：‎ ‎①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；‎ ‎②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；‎ ‎③由①②得出结论．‎ ‎2.讲基础 ‎1．合情推理与演绎推理的区别．‎ 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，‎ 类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论 看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．‎ ‎2.直接证明 ‎（1）综合法．‎ 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：‎ ‎（2）分析法．‎ 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：‎ ‎3.间接证明 ‎（1）反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若，则”的过程可以用下图所示的框图表示．‎ ‎（2）数 归纳法主要用于证明与整数有关的数 问题，分两步进行：‎ ‎(i)证明当取第一个值()时命题成立．‎ ‎(ii)假设(， )时命题成立，证明当时，命题也成立．‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【2016 江苏 19】已知函数.‎ （1） 设a=2,b=.‎ ① 求方程=2的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.‎ ‎【答案】（1）①， ②4；（2）‎ ‎（2）因为函数只有1个零点，而，‎ 所以0是函数的唯一零点.‎ 因为，又由知，‎ 所以有唯一解.‎ 令，则，‎ 从而对任意，，所以是上的单调增函数，‎ 于是当，；当时，.‎ 因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.‎ 下证.‎ 若，则，于是，‎ 又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为 ‎，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.‎ 因此，.‎ 于是，故，所以. ‎ ‎【名师点睛】函数有一个零点，并且其导数也有一个零点，根据题设条件函数有且只有一个零点，所以我们必须证明这两个零点时一致的，直接证明比较困难，我们采用反证法 考虑.‎ ‎【趁热打铁】【2017课标II，理23】已知。证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）。‎ ‎【答案】(1)证明略；‎ ‎(2)证明略。‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎(2)因为 所以，因此。‎ ‎【考点】 基本不等式；配方法。‎ ‎【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题。若不等式恒等变形之后若与二次函数有关，可用配方法。 ‎ ‎【例2】【江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数 】已知函数 ‎，设为的导数， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）猜想的表达式，并证明你的结论.‎ ‎（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用导数知识分别求解；（２）依据题设条件及（１）的结论先猜想结论，再运用数 归纳法分析推证：‎ ‎ 解：（1）.‎ ‎（2）猜想.证明：① 当时，由(1)知结论正确；‎ ‎ ②假设当时，结论正确，即有.当时， ‎ ‎ ‎ ‎，所以当时结论成立，由①②得，对一切结论正确.‎ 点睛：数 归纳法是中 数 中重要的证明与自然数有关命题的数 思想方法，运用该方法时，一定要验证初始条件的成立与否，这是推证的基础；其中从。本题的第一问，借助题设条件运用导数知识直接求解；第二问归纳法推证时，借助（１）猜想的结论，进而运用数 归纳法分析推证而获证。‎ ‎【趁热打铁】【江苏省仪征中 2018届高三10月 情检测数 试题】设 为虚数单位， 为正整数．‎ ‎（1）证明： ‎ ‎（2）结合等式， 证明：‎ ‎ .‎ ‎（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析： 利用数 归纳法即可证明。‎ 由可知，求得其实部，等式右边 ，则其实部也为，由两个复数相等，其实部也相等，即可证明 ‎ 解析：（1）①当时， ，即证；‎ ‎ ②假设当时， 成立，‎ ‎ 则当时， ‎ ‎ ，‎ ‎ 故命题对时也成立，由①②得， ；‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ ‎ 其实部为；‎ ‎ ，‎ 其实部为，根据两个复数相等，其实部也相等可得 ‎ ‎ ． ‎ ‎4.讲方法 ‎(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．‎ ‎(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论．‎ ‎（3）演绎推理是由一般到特殊的推理．数 的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的，一定要注意推理过程的正确性与完备性．‎ ‎(4)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．‎ ‎(5)综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法 写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．‎ ‎(6)在用数 归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一是“凑”假设，二是“凑”结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别和联系，并且在递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数 归纳法．‎ ‎5.讲易错 ‎ ‎1．归纳、类比推理是根据个别事实，通过分析提出猜想的推理，其结论可能是错误的．‎ ‎2．演绎推理是由一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，其结论一般是准确的．‎ ‎3．分析法是从未知看需知，再逐步靠近已知，是寻求解题思路的好办法．‎ ‎4．当结论中含有“至少”、“至多”、“不全是”、“全不是”、“唯一”等词语或以否定语句出现时，常用反证法．‎ ‎5．掌握好数 归纳法的正确书写格式，“三次结论，关键处详细书写”．‎ ‎【题目】【盐城市2013届高三年级第二次模拟考试】已知数列满足，.‎ ‎（1）证明：（）；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【错因】常见错误是对数 归纳法的意义理解不好，证明过程中忽视“归纳假设”的应用.‎ ‎【正解】（1）因为，所以 假设当，，那么当时，‎ 由数 归纳法知，当时.………………………………5分 ‎（2）由（1）知，得，所以，‎ 所以，即 所以，以此类推，得，问题得证. …………10分 考向三 复数 ‎1.讲高考 ‎（1）考纲要求 数系的扩充与复数的引入 ‎（1）复数的概念 ‎①理解复数的基本概念。‎ ‎②理解复数相等的充要条件 ‎③了解复数的代数表示法及其几何意义 ‎（2）复数的四则运算 ‎①会进行复数代数形式的四则运算 ‎②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 ‎（2）命题规律 预测2018年高考中会有小题，多以复数的四则运算、复数的概念等为考查重点，属于容易题．‎ 例1【【2012江苏，3】设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】＝5＋3i.根据复数相等的定义可得a＝5，b＝3，故a＋b＝8.‎ ‎【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数在复平面内一一对应的点为.‎ 例2.【2011江苏，3】设复数z满足，(为虚数单位)，则z的实部是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.‎ ‎2.讲基础 复数的运算法则 ‎(1)加减法：；‎ ‎(2)乘法：；‎ ‎(3)除法：.‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】 江苏省丹阳高级中 2018届高三上 期期中考试数 试题】复数（是虚数单位）的实部为____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】复数,所以实部为2.‎ 点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如， ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为，虚部为，模为，对应点为，共轭复数为. ‎ ‎【趁热打铁】【安徽皖南八校2015届高三第一次联考，理1】已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数是　　　　　．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为.‎ ‎【例2】【江苏省前黄高级中 、如东高级中 、姜堰中 等五校2018届高三上 期第一次 情监测】设复数满足（为虚数单位），则为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【趁热打铁】【江苏省南京市多校2017-2018 年高三上 期第一次段考数 （理）】设复数满足（为虚数单位），则__________．[ : ]‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】, , ‎ ‎4.讲方法 ‎(1)与共轭复数有关的问题一般都要先设出复数的代数形式，再用待定系数法解决．‎ ‎(2)与复数的概念有关的问题，一般是先化简，把复数的非代数形式化为代数形式．‎ ‎（3）熟记复数的四则运算法则及一些运算结果，有助于提高运算速度,如：，，.‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】已知，映射的实部，则的像为　　　　　．‎ ‎【错因】因对映射的概念理解有误，导致不能正确计算复数的像.‎ ‎【正解】由题意得：的实部，因此的像为.‎