2020-2021北京苹果园中学高中必修三数学上期中试卷带答案

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2020-2021 北京苹果园中学高中必修三数学上期中试卷带答案 一、选择题 1．函数 log ax x f x x （ 0 1a ）的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 2．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术 ”．执行 该程序框图，若输入 ,a b 分别为 14,18，则输出的 a （ ） A．0 B．2 C．4 D．14 3．在含有 3 件次品的 50 件产品中，任取 2 件，则至少取到 1 件次品的概率为 ( ) A． 1 1 3 47 2 50 C C C B． 2 0 3 47 2 50 C C C C． 1 2 3 3 2 50 C C C D． 1 1 2 0 3 47 3 47 2 50 C C C C C 4．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题 .在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求 .全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，小明因某原因网课没 有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得 5 分的概率为（ ） A． 1 15 B． 1 12 C． 1 11 D． 1 4 5．在去年的足球甲 A联赛上，一队每场比赛平均失球数是 1.5 ，全年比赛失球个数的标准 差为 1.1 ；二队每场比赛平均失球数是 2.1 ，全年失球个数的标准差是 0.4 ，你认为下列说 法中正确的个数有（ ） ①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时 表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球 . A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．统计某校 n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组： 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 ，得到频率分布直方图 如图所示，若不低于 140 分的人数为 110. ① 0.031m ；② 800n ；③100 分以下的人数 为 60；④分数在区间 120,140 的人数占大半．则说法正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 7．将 20 名学生任意分成甲、乙两组，每组 10 人，其中 2 名学生干部恰好被分在不同组内 的概率为 ( ) A． 1 9 2 18 10 20 C C C B． 1 9 2 18 10 20 2C C C C． 1 9 2 19 10 20 2C C C D． 1 9 2 19 10 20 C C C 8．A 地的天气预报显示， A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 30%，现用随机 模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 0 9 之间整数值 的随机数，并用 0，1，2，3， 4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以 每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数： 402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 ( ) A． 1 4 B． 2 5 C． 7 10 D． 1 5 9．如图所示是为了求出满足 1 22 2 2 2018nL 的最小整数 n， 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A． 2018S ？，输出 1n B． 2018S ？，输出 n C． 2018S ？，输出 1n D． 2018S ？，输出 n 10． 若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是 6 的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 12 C． 5 36 D． 5 18 11． 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示 “不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为 （ ） A． 2 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 5 6 12． 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 （万元） 4 2 3 5 销售额 （万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ?? ?y bx a 中的 ?b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为 A．63.6 万元 B．65.5 万元 C．67.7 万元 D．72.0 万元 二、填空题 13． 判断大小 ， ， ， ，则 、 、 、 大小关 系为 _____________. 14． 将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为 __________． 15． 如图，四边形 ABCD 为矩形， 3AB ， 1BC ，以 A为圆心， 1 为半径作四分之 一个圆弧 ?DE ，在 DAB 内任作射线 AP ，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 ________. 16． 如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量 n=200），若成绩不 低于 60 分为及格，则样本中的及格人数是 _________。 17． 下方茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩 ( 单位： 分) ．已知甲组数据的中位数为 14，乙组数据的平均数为 16，则 x y 的值为 __________． 18． 为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为 100 分 的数学试题，他们所得分数的分组区间为 45,55 ， 55,65 ， 65,75 ， 75,85 ， 85,95 ，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为 __________. 19． 已知 ,x y 之间的一组数据不小心丢失一个，但已知回归直线过点 1.5,4 ，则丢失的数 据是 __________． x 0 1 2 3 y 1 3 5 20． 从一副扑克牌中取出 1 张 A ，2 张 K ， 2 张 Q 放入一盒子中，然后从这 5 张牌中随机 取出两张，则这两张牌大小不同的概率为 __________． 三、解答题 21． 某种设备的使用年限 x ( 年) 和维修费用 y ( 万元 ), 有以下的统计数据 : x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （Ⅰ）画出上表数据的散点图； （Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性 回归方程 ?? ?y bx a ； （Ⅲ）估计使用年限为 10 年，维修费用是多少万元？ （附：线性回归方程中 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ? ?? n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx ，其中 1 1 n i i x xn ， 1 1 n i i y y n ）． 22． 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人 心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环 . 据此，某网站推出了关于生态文明建设 进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占 80%.现从参与调 查的人群中随机选出 200人，并将这 200人按年龄分组：第 1 组 [15,25) ，第 2 组 [25,35) ，第 3 组 [35,45) ，第 4 组 [45,55) ，第 5 组 [55,65] ，得到的频率分布直方图如 图所示 (1) 求 a 的值 (2) 现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽 取 3人进行问卷调查，求在第 1 组已被抽到 1人的前提下，第 3 组被抽到 2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出 3 人，记关注“生态文明”的人数为 X ，求 X 的 分布列与期望 . 23． 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对 入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都 一样）．以下茎叶图为甲、乙两班 ( 每班均为 20 人) 学生的数学期末考试成绩． （1）现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为 87 分的同学至 少有一名被抽中的概率； （2）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀．请填写下面的 2×2 列联表，并判断有多大把 握认为“成绩优秀与教学方式有关”． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d ，其中 n a b c d 参考数据： 2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 24． 某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当 天气温． 气温 ℃ 14 12 8 6 用电量 ( 度 ) 22 26 34 38 （I）求线性回归方程；（参考数据： 4 1 1120i i i x y ， 4 2 1 440i i x ） （II ）根据（ I）的回归方程估计当气温为 10℃ 时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 2 2 1 ? n i i i n i i x y nx y b x nx ， ??a y b x ． 25． 地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅 拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益 .联合国于第 63 届联合国大会上将每年的 6 月 8 日确定为“世界海洋日” .2019 年 6 月 8 日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取 100 名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组 [65， 70），第二组 [70，75），第二组 [75，80），第四组 [80，85），第五组 [85， 90]，得到频 率分布直方图如下图： （1）求实数 a 的值； （2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取 6 名学生组成中国海洋实地 考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从 6 人中抽取 2 人作为正、副队长，列举出所有 的基本事件并求“抽取的 2 人为不同组”的概率 . 26． 2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“ 3+1+2”模式，即语文、数 学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、生物 中选择 2 门 . 为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析， 其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示 . (1) 若甲同学随机选择 3 门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2) 试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3) 甲同学发现，其物理考试成绩 y ( 分) 与班级平均分 x ( 分) 具有线性相关关系，统计数据 如下表所示，试求当班级平均分为 50 分时，其物理考试成绩 . 参考数据 : 7 2 1 34840i i x ， 7 2 1 50767i i y ， 7 1 41964i i i x y ， 7 1 ( )( ) 314i i i x x y y . 参考公式： y bx a$ $ $ ， 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y n x y b x x x n x $ ， $a y b x$ (计算 $a b$，时精确到 0.01). 【参考答案】 *** 试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．C 解析： C 【解析】 【分析】 确定函数是奇函数，图象关于原点对称， x＞ 0 时， f（x）＝ logax（0＜a＜1）是单调减函 数，即可得出结论． 【详解】 由题意， f（﹣ x）＝﹣ f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 B、D； x＞0 时， f（ x）＝ log ax（0＜ a＜1）是单调减函数，排除 A． 故选 C． 【点睛】 本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键． 2．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 由 a=14，b=18，a＜b， 则 b 变为 18﹣14=4， 由 a＞b，则 a变为 14﹣4=10， 由 a＞b，则 a变为 10﹣4=6， 由 a＞b，则 a变为 6﹣ 4=2， 由 a＜b，则 b 变为 4﹣2=2， 由 a=b=2， 则输出的 a=2． 故选 B． 3．D 解析： D 【解析】 【分析】 由题意，恰好两件都是次品，共有 2 3C 种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正 品，共有 1 1 3 47C C 种不同的取法，即可求解． 【详解】 由题意，从含有 3 件次品的 50 件产品中，任取 2 件，共有 2 50C 种不同的取法， 恰好两件都是次品，共有 2 0 3 47C C 种不同的取法， 恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有 1 1 3 47C C 种不同的取法， 所以至少取到 1 件次品的概率为 1 1 2 0 3 47 3 47 2 50 C C C C C ，故选 D． 【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利 用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基 础题． 4．C 解析： C 【解析】 【分析】 根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为 11 个，而正确的答案只有 1 个，根据古 典概型的计算公式，即可求得结果 . 【详解】 总的可选答案有： AB，AC ，AD ，BC，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共 11 个， 而正确的答案只有 1 个， 即得 5 分的概率为 1 11 p . 故选： C. 【点睛】 本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题 . 5．D 解析： D 【解析】 在（ 1）中，一队每场比赛平均失球数是 1.5，二队每场比赛平均失球数是 2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（ 1）正确； 在（ 2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为 1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为 0.4， ∴二队比一队技术水平更稳定，故（ 2）正确； 在（ 3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为 1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为 0.4， ∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（ 3）正确； 在（ 4）中，二队每场比赛平均失球数是 2.1，全年比赛失球个数的标准差为 0.4， ∴二队很少不失球，故（ 4）正确 . 故选： D． 6．B 解析： B 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解 . 【详解】 由题意，根据频率分布直方图的性质得 10( 0.020 0.016 0.016 0.011 0.006) 1m ， 解得 0.031m . 故①正确； 因为不低于 140 分的频率为 0.011 10 0.11，所以 110 1000 0.11 n ，故②错误； 由 100 分以下的频率为 0.006 10=0.06 ，所以 100 分以下的人数为 1000 0.06=60 ， 故③正确； 分数在区间 [120,140)的人数占 0.031 10 0.016 10 0.47，占小半 . 故④错误 . 所以说法正确的是①③. 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频 率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于 1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 . 7．A 解析： A 【解析】 【分析】 由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数， 再根据古典概型的概率公式即可得出结果 . 【详解】 由题意知本题是一个古典概型， 试验发生的所有事件是 20 名学生平均分成两组共有 10 20C 种结果， 而满足条件的事件是 2 名学生干部恰好被分在不同组内共有 1 9 2 18C C 中结果， 根据古典概型的概率公式得 1 9 2 18 10 20 C CP C . 故选： A. 【点睛】 本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题 . 8．D 解析： D 【解析】 【分析】 由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共 4 组随机数，根据 概率公式，得到结果． 【详解】 由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数， 在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有， 可以通过列举得到共 5 组随机数： 978，479、588、779，共 4 组随机数， 所求概率为 4 1 20 5 ， 故选 D． 【点睛】 本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应 用． 9．A 解析： A 【解析】 【分析】 通过要求 1 22 2 2 2018nL 时输出且框图中在“是”时输出确定“ ”内 应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】 因为要求 1 22 2 2 2018nL 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“ ”内输入“ 2018S ？ ”， 又要求 n 为最小整数， 所以“ ”中可以填入输出 1n ， 故选： A． 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题，是基础题． 10．C 解析： C 【解析】 由图表可知 ,点数和共有 36 种可能性 ,其中是 6 的共有 5 种 ,所以点数和是 6 的概率为 5 36 ,故 选 C. 点睛 : 本题考查古典概型的概率 , 属于中档题目 . 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率 模型，简称古典概型． (1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2) 每个基本事件 出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性 都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件 A包括的结果有 m个，那么事 件 A 的概率 P( A) ＝ ． 11．A 解析： A 【解析】 【分析】 由古典概型概率公式分别计算出事件 A 和事件 B发生的概率，又通过列举可得事件 A 和事 件 B 为互斥事件，进而得出事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率即为事件 A 和事件 B 的 概率之和． 【详解】 事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”， ∴P(A) 2 1 6 3 ，P(B) 2 1 6 3 ， 又小于 5 的偶数点有 2 和 4，不小于 5 的点数有 5 和 6， 所以事件 A 和事件 B 为互斥事件， 则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为 P（A∪B）＝ P(A)+P(B) 1 1 2 3 3 3 ， 故选： A． 【点睛】 本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 12．B 解析： B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 4 2 3 5 49 26 39 543.5, 42 4 4 x yQ ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程 ?? ?y bx a 中的 ?b 为 9.4， ∴42=9．4×3．5+a， ∴ ?a =9．1， ∴线性回归方程是 y=9．4x+9．1， ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程 二、填空题 13．a1再 利用中间值 12 得出 bc 的大小关系从而得出 abcd 的大小关系【详解】由对数函 数的单调性得 a=log305

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