续61套中考压轴题分类解析汇编专题03面积问题

续61套中考压轴题分类解析汇编专题03面积问题

‎2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题3：面积问题 ‎21. （2012黑龙江大庆8分） 已知半径为‎1cm的圆，在下面三个图中AC=‎10cm，AB=‎6cm，BC=‎8cm，在图2中∠ABC=90°．‎ ‎ （1）如图1，若将圆心由点A沿AC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎ （2）如图2，若将圆心由点A沿ABC方向运动到点C，求圆扫过的区域面积；‎ ‎ （3）如图3，若将圆心由点A沿ABCA方向运动回到点A．‎ ‎ 则I）阴影部分面积为_ ___；Ⅱ）圆扫过的区域面积为__ __．‎ ‎【答案】解：（1）由题意得，圆扫过的面积=DE×AC+πr2=（20+π）cm2。‎ ‎（2）圆扫过的区域面积=AB的面积+BC的面积－一个圆的面积。‎ 结合（1）的求解方法，可得所求面积 ‎=（2r×AB+πr2）+（2r×BC+πr2）﹣πr2=2r（AB+BC）+πr2=（28+π）cm2。‎ ‎（3）I） cm2；Ⅱ）（+π）cm2。‎ ‎【考点】圆的综合题，运动问题，锐角三角函数定义。‎ ‎【分析】（1）根据图形可得，圆扫过的面积等于一个长为AC，宽为直径的矩形面积，加上一个圆的面积，从而求解即可。‎ ‎（2）根据（1）的计算方法，由点A沿A→B→C方向运动到点C，求圆扫过的区域面积，等于AB的面积+BC的面积﹣一个圆的面积。‎ ‎（3）作出如下图形，利用解直角三角形的知识求出HE、HF、DN、MN，则可求出阴影部分的两条直角边，也可得出扫描后的面积：‎ 由题意得，EF=2r=‎2cm，cm，‎ cm。‎ MD=2r=‎2cm，‎ cm，‎ ‎ cm。‎ 故可得扫过的面积 ‎=图2的面积+S△HEF+S△DMN+S矩形EFMD ‎=28+π+++=（+π）cm2。‎ 阴影部分的两条直角边分别为：AB﹣r﹣HF=cm、AC﹣r﹣MN=cm，‎ 故阴影部分的面积为：（cm2）。‎ ‎22. （2012湖北咸宁12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当点B与点D重合时，求t的值；‎ ‎（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，?‎ ‎（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。‎ ‎∴，即，解得。‎ ‎ （2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，。‎ 当0＜＜8时，，解得。‎ 当＞8时，，‎ 解得，（为负数，舍去）。‎ 当或时，。‎ ‎（3）过M作MN⊥x轴于N，则。‎ 当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。‎ ‎∵，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（5，）。‎ ‎∴它的顶点在直线上移动。‎ ‎∵直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1），‎ ‎∴1＜＜2。∴＜＜。‎ ‎【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。‎ ‎【分析】（1）由Rt△CAO∽Rt△ABE得到，根据点B与点D重合的条件，代入CA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时t的值。‎ ‎（2）分0＜＜8和＞8两种情况讨论即可。‎ ‎（3）求出抛物线的顶点坐标为（5，），知它的顶点在直线上移动。由抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边）得1＜＜2，解之即得a的取值范围。‎ ‎23. （2012湖北荆州12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。‎ 将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3。‎ 又∵y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4，∴点B（1，4）。‎ ‎（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．‎ 在Rt△AOE中，OA=OE=3，‎ ‎∴∠1=∠2=45°，。‎ 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，‎ ‎∴∠MEB=∠MBE=45°，。‎ ‎∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径。‎ 在Rt△ABE中，，∴∠BAE=∠CBE。‎ 在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，即CB⊥AB。‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线。‎ ‎（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。‎ ‎（4）设直线AB的解析式为y=kx+b．‎ 将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得。‎ ‎∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）。‎ 情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD交AB于点H，MN交AE于点G。‎ 则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．‎ 由△AHD∽△FHM，得，即，解得HK=2t。‎ ‎∴‎ ‎=×3×3﹣（3﹣t）2﹣t•2t=﹣t2+3t。‎ 情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V。‎ 由△IQA∽△IPF，得．即，‎ 解得IQ=2（3﹣t）。‎ ‎∴‎ ‎=×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）2=（3﹣t）2=t2﹣3t+。‎ 综上所述：。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的判定，相似三角形的性质，平移的性质。‎ ‎【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。‎ ‎ （2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而 AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。‎ ‎（3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=。‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。‎ ‎①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。‎ 由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， ‎ 即tan∠DEO==tan∠BAE，‎ 即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。‎ 因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。‎ ‎②DE为短直角边时，P2在x轴上。‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=。‎ 而DE=，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9。‎ 即P2（9，0）。‎ ‎③DE为长直角边时，点P3在y轴上。‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，‎ 则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=。‎ 则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷，OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）。‎ 综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。‎ ‎ （4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。‎ ‎24. （2012湖南郴州10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= ．‎ ‎  例：求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x－12y－2=0，再由上述距离公式求得d= ．‎ 解答下列问题：‎ 如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）．‎ ‎（1）求点M到直线AB的距离．‎ ‎（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）将化为4x＋3y＋12=0，，由上述距离公式得：‎ ‎ d= 。‎ ‎ ∴点M到直线AB的距离为6。‎ ‎（2）存在。‎ ‎ 设P（x，），则点P到直线AB的距离为：‎ ‎ d= 。‎ ‎ 由图象，知点P到直线AB的距离最小时x＞0，＞0，‎ ‎ ∴d= 。‎ ‎ ∴当时，d最小，为。‎ ‎ 当时，，∴P（，）。‎ ‎ 又在中，令x=0，则y=－4。∴B（0，－4）。‎ ‎ 令y=0，则x=－3。∴A（－3，0）。‎ ‎ ∴AB==5。‎ ‎ ∴△PAB面积的最小值为 。‎ ‎【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）按例求解即可。‎ ‎ （2）用二次函数的最值，求出点P到直线AB的距离最小值，即可求出答案。‎ ‎25. （2012湖南怀化10分）]如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为,将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n,它的顶点为D.‎ ‎（1）求抛物线n的解析式；‎ ‎（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；‎ ‎（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线m的顶点为，‎ ‎ ∴m的解析式为=。∴。‎ ‎∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到，∴D的坐标为。‎ ‎∴抛物线n的解析式为：，即。‎ ‎（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E。‎ 设直线ED的解析式为，则，解得。‎ ‎∴直线ED的解析式为。‎ 又点P的坐标为，‎ ‎∴S==。‎ ‎∴当时，S有最大值。‎ 但，∴△PEF的面积S没有最大值 。‎ ‎（3）直线CM与⊙G相切。理由如下：‎ ‎∵抛物线m的解析式为，令得。∴‎ ‎。‎ ‎∵抛物线m的对称轴与轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，。‎ ‎∴由勾股定理得CG=5。‎ 又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。 ‎ 过M点作y轴的垂线，垂足为N，‎ 则。‎ 又，‎ ‎∴。‎ ‎∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900。∴。‎ ‎∴直线CM与⊙G相切。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。‎ ‎【分析】（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。‎ ‎ （2）求出直线ED的解析式，由点P在直线ED，可知P，从而求出△PEF的面积S的函数关系式，由点P在线段ED上得。从而根据二次函数最值的求法得出结果。‎ ‎ （3）要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。求出CG，知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出。从而得出，得出直线CM与⊙G相切的结论。‎ ‎26. （2012湖南娄底10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．‎ ‎（1）求证：△BMD∽△CNE；‎ ‎（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？‎ ‎（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°。‎ ‎ ∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°。∴∠MDB=∠NEC=120°。‎ ‎∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°。∴△BMD∽△CNE。‎ ‎（2）过点M作MH⊥BC，‎ ‎∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，‎ ‎∴MH=MF。‎ 设BD=x，‎ ‎∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°。‎ ‎∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B。∴DM=BD=x。‎ ‎∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x。‎ 在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=，解得：x=16﹣8。‎ ‎∴当BD=16﹣8时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切。‎ ‎（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，‎ ‎∵AB=AC，∴BK=BC=×8=4‎ ‎∵∠B=30°，∴AK=BK•tan∠B=4×。‎ ‎∴S△ABC=BC•AK=×8×。‎ 由（2）得：MD=BD=x ‎∴MH=MD•sin∠MDH=x，‎ ‎∴S△BDM=•x•x=x2。‎ ‎∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x。‎ ‎∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△CEN=。∴S△CEN=（4﹣x）2。‎ ‎∴y=S△ABC﹣S△CEN﹣S△BDM=﹣x2﹣（4﹣x）2=﹣x2+2x+‎ ‎=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）。‎ ‎∴当x=2时，y有最大值，最大值为。‎ ‎【考点】等腰（边）三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE。‎ ‎（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4﹣x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案。‎ ‎（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案。‎ ‎27. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵B（4，0）在抛物线的图象上 ‎∴，即：。‎ ‎∴抛物线的解析式为：。‎ ‎（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。‎ ‎∴OA=1，OC=2，OB=4。∴。‎ 又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。‎ ‎∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。‎ ‎∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。‎ ‎∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）。‎ ‎（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2。‎ 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=，即： x2﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。‎ ‎∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。‎ ‎∵，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大。‎ ‎∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：‎ ‎，解得：。∴ M（2，﹣3）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。‎ ‎【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。‎ ‎（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。‎ ‎（3）△MBC的面积可由表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。‎ ‎28. （2012辽宁沈阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.‎ ‎（1） 求此抛物线的函数表达式；‎ ‎（2） 求证：∠BEF=∠AOE；‎ ‎（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；‎ ‎（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.‎ ‎【答案】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。‎ ‎∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。‎ ‎∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。‎ ‎∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得 ‎，解得：。‎ ‎∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。‎ ‎（2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。‎ ‎ 又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。‎ ‎（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论 ‎①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，‎ 在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。‎ 又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。‎ ‎②如图①， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。‎ 在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，‎ ‎∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。‎ ‎∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。‎ 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。‎ ‎∴BF=EF。∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 。∴ E(－1， 1)。‎ ‎③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，‎ 在△AOE和△BEF中，‎ ‎∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，‎ ‎ ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。‎ ‎∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。‎ ‎∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。‎ 在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。‎ ‎∴OH=OB－BH=2－2。∴ E(－， 2－)。‎ 综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)。‎ ‎（4） P(0， 2)或P （－1， 2）。‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。‎ ‎（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。‎ ‎（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。‎ ‎（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－， 2－)。‎ 如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2－。‎ 由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。‎ 过点F作FN∥x轴，交PG于点N。‎ 易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。‎ 依题意，可得S△EPF=（）S△EDG=（）S△EFN，‎ ‎∴PE：NE=。‎ 过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。‎ ‎∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。‎ ‎∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。‎ ‎∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。‎ ‎∴2=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1。‎ ‎∴P点坐标为(0， 2)或（－1， 2）。‎ 综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（－1， 2）。‎ ‎29. （2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且 与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．‎ ‎(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P 的坐标 为 ；‎ ‎(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应 的自变量x的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。‎ ‎ （2）当0≤x≤3时，‎ 如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；‎ 由题意可知直线l∥BC∥OA，‎ 可得，∴EF=（3+x），‎ 此时重叠部分是梯形，其面积为：‎ 当3＜x≤5时，如图2，‎ 当5＜x≤9时，如图3，‎ 当x＞9时，如图4，‎ ‎。‎ 综上所述，S与x的函数关系式为：‎ ‎ 。‎ ‎【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。‎ ‎【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：‎ ‎∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，‎ ‎∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。‎ ‎②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：‎ ‎∵，∴∠CAO=30°。‎ ‎③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，‎ ‎∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。‎ ‎∴。‎ ‎∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。‎ ‎（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。‎