2015高考数学人教A版本（8-6抛物线）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（8-6抛物线）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-6抛物线课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝8x　　　　　　　　 B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y.选C.‎ ‎(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)‎ A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|　 B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2‎ C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.‎ ‎2．(文)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线－＝1的渐近线y＝±x的距离d＝1.‎ ‎(理)设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，‎ 由条件得∴故选B.‎ ‎3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)‎ A．(0,2) B．[0,2]‎ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，‎ ‎∴y0>2.故选C.‎ ‎4．(2013·安徽省级示范高中联考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为(　　)‎ A. B．2‎ C. D．1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意知，F(1,0)，过A作AD⊥x轴于D.令|FD|＝m，则|FA|＝‎2m，由抛物线的定义知|AF|＝p＋|FD|＝2＋m＝‎2m，即m＝2，所以|AD|＝2，‎ S△OAF＝|OF|·|AD|＝×1×2＝.‎ ‎5．(文)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)‎ A．2　　　　 B．1　　　　‎ C.　　 　 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆，依题意有|＋3|＝4.因为p>0，所以有＋3＝4，解得p＝2，故选A.‎ ‎(理)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)‎ A．(2，±2) B．(1，±2)‎ C．(1,2) D．(2,2)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设点A的坐标为(x0，y0)，∴y＝4x0①‎ 又F(1,0)，∴＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，‎ ‎∵·＝－4，∴x0－x－y＝－4，②‎ 解①②组成的方程组得或 ‎[点评]　向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．‎ ‎6．(文)(2013·武汉市部分学校联考)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于7，则这样的直线(　　)‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎[答案]　B ‎[解析]　抛物线y2＝4x的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为4，由抛物线的定义及题设条件知，|AB|＝7－2＝5>4，故这样的直线有且仅有两条．‎ ‎(理)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A.‎ 二、填空题 ‎7．(2013·辽宁大连一模)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．‎ 由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(8,8)，(xB，yB)．‎ 又点A(8,8)在直线l上，∴8＝k(8－2)，‎ 解得k＝.‎ ‎∴直线l的方程为y＝(x－2)．①‎ 将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，‎ 则8＋xB＝，∴xB＝.‎ ‎∴线段AB的中点到准线的距离是 ＋＝＋2＝.‎ ‎[解法探究]　求得xB＝后，进一步可得yB＝－2，‎ ‎∴|AB|＝.‎ ‎∴AB的中点到准线距离d＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝.‎ ‎8．(2013·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　‎ 如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，‎ 则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.‎ 所以(|PA|＋|PM|)min ‎＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1.‎ ‎9．(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面‎2m时，测量水面宽为‎8m，当水面上升m后，水面的宽度是________m.‎ ‎[答案]　4 ‎[解析]　‎ 建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－，代入抛物线方程y＝－x2可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为‎4m.‎ ‎(理)(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面‎2m，水面宽‎4m，水位下降‎1m后，水面宽________m.‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．‎ 如图建立坐标系 设方程x2＝－2py(p>0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，‎ 则方程为x2＝－2y，当y＝－3时，x＝±，‎ 所以水面宽‎2m.‎ ‎[点评]　抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．‎ 三、解答题 ‎10．(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，－)，点F在抛物线C：y＝mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，－)在抛物线C上，‎ ‎∴－＝m,‎8m2‎＋‎2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)．‎ ‎(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．‎ 设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，‎ 由得x2－4kx＋8k＋2＝0，‎ Δ＝16k2－4(8k＋2)>0，∴k<或k>.‎ 假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.‎ 而k1＋k3＝＋＝ ‎＝＝ ‎＝＝，‎ k2＝－，∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，‎ 解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．‎ ‎∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，‎ 即x＋2y－1＝0.‎ ‎∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎[答案]　C ‎[解析]　经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．‎ 故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．‎ ‎(理)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)‎ A．n＝0 B．n＝1‎ C．n＝2 D．n≥3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　‎ 设抛物线上点A(，y1)，B(，y2)，‎ 且y1≠y2，焦点F(，0)，‎ 由|AF|＝|BF|得，‎ ‎(y－y)()＝0，‎ ‎∵y1≠y2，∴y1＝－y2.∴A、B关于x轴对称．‎ 过点F作直线y＝(x－)，y＝－(x－)分别与抛物线有2个交点．‎ ‎∴等边三角形有△AFB和△A′FB′，2个，故选C.‎ ‎12．(2013·郑州第一次质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为(　　)‎ A．4　　　　 B．8　　　　‎ C．12　　 　 D．16‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.‎ ‎13．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D是由双曲线y2－＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．－1　　 　 B．0　　　　‎ C．1　　　　 D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的准线方程为x＝2，设z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x过点O(0,0)时，直线y＝－x＋z的纵截距最小，故zmin＝0.‎ 二、填空题 ‎14．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．‎ ‎[答案]　(0,0)‎ ‎[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．‎ ‎(理)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.‎ 把M(1，m)代入y2＝16x得m＝4，即M(1,4)．‎ 在双曲线－y2＝1中，A(－，0)，则 kAM＝＝.解得a＝.‎ ‎15．(2013·辽宁五校联考)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.‎ ‎[答案]　8‎ ‎[解析]　分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.‎ 三、解答题 ‎16．(文)若椭圆C1：＋＝1(00)的焦点在椭圆C1的顶点上．‎ ‎(1)求抛物线C2的方程；‎ ‎(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，‎ 由离心率e＝＝＝得，b2＝1.‎ ‎∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，‎ ‎∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ ‎∵y＝x2，∴y′＝x，‎ ‎∴切线l1、l2的斜率分别为x1、x2，‎ 当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，‎ 由得x2－4kx－4k＝0，‎ 由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.‎ 又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.‎ ‎∴直线l的方程为y＝x＋1.‎ ‎(理)已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．‎ ‎(1)求点P的轨迹T的方程；‎ ‎(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)法一：连接CP，由·＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，‎ 由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，‎ 设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，‎ 化简得，x2－x＋y2＝4.‎ 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，‎ 根据题意知，x＋y＝9，x＋y＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，‎ ‎∴4x2＝x＋2x1x2＋x，4y2＝y＋2y1y2＋y，‎ 故4x2＋4y2＝(x＋y)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x＋y)＝18＋2(x1x2＋y1y2)，①‎ 又∵·＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0，‎ ‎∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1，‎ 代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)，‎ 化简得，x2－x＋y2＝4.‎ ‎(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，‎ 由方程组得，x2＋3x－4＝0，‎ 解得x1＝1，x2＝－4，‎ 由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，‎ 故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．‎ 考纲要求 ‎1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．‎ ‎2．理解数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．‎ 补充说明 ‎1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p的几何意义是准确迅速求解的关键．‎ ‎2．抛物线的焦点弦 涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．‎ ‎(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论：‎ ‎①|AB|＝x1＋x2＋p；　②y1y2＝－p2；　③x1x2＝.‎ ‎(2)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F时，常设l：x＝my＋以简化运算．‎ ‎3．韦达定理的应用 涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．‎ ‎4．关于抛物线的最值问题 ‎(1)A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．‎ ‎(2)直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l 平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．‎ ‎(3)解题原理：“两点之间线段最短”，“点到直线的垂线段最短”，三点A、B、C中，|AB|＋|BC|≥|AC|等．‎ ‎5．求参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．‎ 备选习题 ‎1．(2013·深圳调研)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由消去x得y2＋2y＋‎2m＝0，令Δ＝4－‎8m＝0，得m＝，因此|PQ|的最小值等于直线x＋y＋5＝0与直线x＋y＋＝0之间的距离，即等于＝.‎ ‎2．(2013·福州期末)若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.‎ 由得x2－6x＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，‎ ‎∴|AB|＝·＝8.‎ 设P(－，y0)，则点P到直线AB的距离为，‎ ‎∴△PAB的面积S＝＝≥2，即△PAB的面积的最小值是2.‎ ‎3．(2014·扶余一中质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．‎ ‎[答案]　x＝－1‎ ‎[解析]　由消去x得，y2－2py－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，由条件知，y1＋y2＝4，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－1.‎