【数学】2020届北京一轮复习通用版1-1集合的概念及运算
专题一 集合与常用逻辑用语
【真题典例】
1.1 集合的概念及运算
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.集合的含义与表示
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题
2018课标Ⅱ,2
集合中元素个数的判断
集合间的基本关系、集合的基本运算
★☆☆
2.集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集
2.在具体情境中,了解全集与空集的含义
2011北京,1
集合间的基本关系
二次不等式的解法
★☆☆
3.集合的基本运算
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集
3.能使用韦恩(Venn)图表示集合间的关系及运算
2018北京,1
2017北京,1
2016北京,1
2016北京文,14
2015北京文,1
2014北京,1
2013北京,1
集合的交、并、补运算
不等式和方程的解法
★★★
分析解读 1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.
2.深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念,熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质,能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.
3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查数学思想方法.
4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.
破考点
【考点集训】
考点一 集合的含义与表示
1.(2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
答案 A
2.(2012课标全国,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
答案 D
考点二 集合间的基本关系
3.已知集合A={0,a},B={x|-1
2},则A∩B=( )
A.{x|-32} C.{x|23},则A∩B=( )
A.{x|-22},则∁UA=( )
A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
答案 C
4.(2014北京,1,5分)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}
答案 C
5.(2013北京,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( )
A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}
答案 B
6.(2011北京,1,5分)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
答案 C
7.(2016北京文,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有 种;
②这三天售出的商品最少有 种.
答案 ①16 ②29
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 集合的含义与表示
(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
考点二 集合间的基本关系
(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
A.A=B B.A∩B=⌀ C.A⫋B D.B⫋A
答案 D
考点三 集合的基本运算
1.(2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀
答案 A
2.(2017课标Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
答案 B
3.(2017课标Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
答案 C
4.(2016课标Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )
A.-3,-32 B.-3,32 C.1,32 D.32,3
答案 D
5.(2016课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
答案 C
6.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
答案 A
7.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( )
A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}
答案 D
8.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( )
A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)
答案 A
9.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= .
答案 {1,8}
C组 教师专用题组
1.(2018天津,1,5分)设全集为R,集合A={x|0a1,则G(A)≠⌀;
(3)证明:若数列A满足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1.
解析 (1)G(A)的元素为2和5.
(2)证明:因为存在an使得an>a1,
所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠⌀.
记m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1},
则m≥2,且对任意正整数ka1.
由(2)知G(A)≠⌀.
设G(A)={n1,n2,…,np},n1ani}.
如果Gi≠⌀,取mi=min Gi,则对任何1≤ka1,研究两者之间数列的变化趋势;(3)抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明.
18.(2015北京,20,13分)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=2an,an≤18,2an-36,an>18(n=1,2,…).记集合M={an|n∈N*}.
(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;
(3)求集合M的元素个数的最大值.
解析 (1)6,12,24.
(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.
由an+1=2an,an≤18,2an-36,an>18可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.
如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.
如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,
所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.
类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数.
从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.
综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.
(3)由a1≤36,an=2an-1,an-1≤18,2an-1-36,an-1>18可归纳证明an≤36(n=2,3,…).
因为a1是正整数,a2=2a1,a1≤18,2a1-36,a1>18,所以a2是2的倍数,
从而当n≥3时,an是4的倍数.
如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数,
因此当n≥3时,an∈{12,24,36},
这时M的元素个数不超过5.
如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数,
因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},
这时M的元素个数不超过8.
当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.
综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
思路分析 (1)利用已知的递推关系写出数列的前几项,根据周期性写出集合M的所有元素;(2)利用已知条件以及递推公式的特征进行证明;(3)根据an的范围,分a1是3的倍数和a1不是3的倍数两种情况讨论,继而得集合M的元素个数的最大值.
19.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an0,n∈N*,
所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.
因此,ST0},那么A∩∁UB=( )
A.{x|01},则A∪B=( )
A.{x|x<-2或x>1} B.{x|x<-2或x>-1} C.{x|-21},B={x|x≥1},则A∪B=( )
A.(1,2] B.(1,+∞) C.(1,2) D.[1,+∞)
答案 D
14.(2018北京一六一中学期中,1)已知全集U=R,集合A={x|y=x-1},B={x|x2-2x<0},则A∪B=( )
A.{x|x>0} B.{x|x≥0} C.{x|0
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