重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)11

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11.2.1 三角形的内角 第十一章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 11.2 与 三角形有关的角 第 1 课时 三角形的内角和 八年级数学上(RJ) 教学课件 学习目标 2. 会运用三角形内角和定理进行计算 . (难点) 1 . 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于 180° . (重点) 我的形状最小,那我的内角和最小 . 我的形状最大,那我的内角和最大 . 不对,我有一个钝角,所以我的内角和才是最大的 . 一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧 . 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于 180 ° . 与三角形的形状、大小无关,所以它们的说法都是错误的 . 思考: 除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角形的内角和为 180 °呢 ? 折叠 还可以用拼接的方法,你知道怎样操作吗? 锐角三角形 测量 48 0 72 0 60 0 60 0 + 48 0 + 72 0 = 180 0 ( 学生运用学科工具 — 量角器测量演示 ) 剪拼 A B C 2 1 ( 小组合作,讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程 ) 视频:剪拼验证内角和定理 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角 . 观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明 . 从上面的操作过程,你能发现证明的思路吗? 还有其他的拼接方法吗? 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 探究: 在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起 . 验证结论 三角形三个内角的和等于 180 ° . 求证: ∠ A +∠ B +∠ C =180°. 已知: △ ABC. 证法 1 :过点 A 作 l ∥BC , ∴∠ B =∠1. ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ∠ C =∠2. ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ∵∠2+∠1+∠ BAC =180° , ∴∠ B +∠ C +∠ BAC =180°. 1 2 证法 2 : 延长 BC 到 D , 过点 C 作 CE∥BA , ∴ ∠ A =∠1 . ( 两直线平行,内错角相等 ) ∠ B =∠2. ( 两直线平行,同位角相等 ) 又 ∵∠ 1+∠2+∠ ACB =180° , ∴∠ A +∠ B +∠ ACB =180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法 3 :过 D 作 DE ∥ AC , 作 DF ∥ AB . ∴ ∠ C =∠ EDB , ∠ B =∠ FDC. ( 两直线平行,同位角相等 ) ∠ A +∠ AED =180 ° , ∠ AED +∠ EDF =180 °, ( 两直线平行,同旁内角相补 ) ∴ ∠ A= ∠ EDF. ∵∠ EDB +∠ EDF +∠ FDC =180° , ∴∠ A +∠ B +∠ C =180°. 想一想: 同学们还有其他的方法吗? 思考: 多种方法证明三角形内角和等于 180 °的核心是什么? 借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角 . C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试: 同学们按照上图中的辅助线,给出证明步骤? 知识要点 在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做 辅助线 . 在平面几何里,辅助线通常画成 虚线 . 思路总结 为了证明三个角的和为 180 ° , 转化为一个平角或同旁内角互补等,这种 转化思想 是数学中的常用方法 . 作辅助线 例 1 如图,在△ ABC 中, ∠ BAC =40 °, ∠ B =75 °, AD 是△ ABC 的角平分线,求∠ ADB 的度数 . A B C D 解:由∠ BAC =40 °, AD 是△ ABC 的角平分线,得 ∠ BAD = ∠ BAC =20 °. 在△ ABD 中, ∠ ADB =180°-∠ B -∠ BAD =180°-75°-20° =85°. 三角形的内角和定理的运用 二 【变式题】 如图, CD 是 ∠ ACB 的平分线, DE ∥ BC , ∠ A = 50° , ∠ B = 70° ,求 ∠ EDC , ∠ BDC 的度数. 解: ∵∠ A = 50° , ∠ B = 70° , ∴∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 60°. ∵ CD 是 ∠ ACB 的平分线, ∴∠ BCD = ∠ ACB = 30°. ∵ DE ∥ BC , ∴ ∠ EDC = ∠ BCD = 30° , 在 △ BDC 中, ∠ BDC = 180° - ∠ B - ∠ BCD= 80°. 例 2 如图, △ ABC 中, D 在 BC 的延长线上,过 D 作 DE ⊥ AB 于 E ,交 AC 于 F . 已知 ∠ A = 30 °, ∠ FCD = 80° ,求 ∠ D . 解: ∵ DE ⊥ AB , ∴∠ FEA = 90° . ∵ 在 △ AEF 中, ∠ FEA = 90° , ∠ A = 30° , ∴ ∠ AFE = 180° - ∠ FEA - ∠ A = 60°. 又 ∵ ∠ CFD = ∠ AFE , ∴ ∠ CFD = 60°. ∴ 在 △ CDF 中, ∠ CFD = 60° , ∠ FCD = 80° , ∠ D = 180° - ∠ CFD - ∠ FCD = 40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠ A +∠ B = ∠ C +∠ D. 由三角形的内角和定理易得∠ 1+∠2= ∠ 3+∠4. 总结归纳 4 例 3 在△ ABC 中, ∠ A 的度数是∠ B 的度数的 3 倍,∠ C 比∠ B 大 15° ,求∠ A ,∠ B ,∠ C 的度数 . 解 : 设∠ B 为 x ° ,则∠ A 为 (3 x )° , ∠ C 为 ( x + 15)° , 从而有 3 x + x + ( x + 15) = 180. 解得 x = 33. 所以 3 x = 99 , x + 15 = 48. 答: ∠ A , ∠ B , ∠ C 的度数分别为 99° , 33° , 48° . 几何问题借助方程来解 . 这是一个重要的数学思想 . 【变式题】 在 △ ABC 中, ∠ A = ∠ B = ∠ ACB , CD 是 △ ABC 的高, CE 是 ∠ ACB 的平分线,求 ∠ DCE 的度数. 解析:根据已知条件用 ∠ A 表示出 ∠ B 和 ∠ ACB ,利用三角形的内角和求出 ∠ A ,再求出 ∠ ACB , ∠ ACD ,最后根据角平分线的定义求出 ∠ ACE 即可求得 ∠ DCE 的度数. 比例关系可考虑用方程思想求角度 . 解: ∵∠ A = ∠ B = ∠ ACB , 设 ∠ A = x , ∴∠ B = 2 x , ∠ ACB = 3 x . ∵∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180° , ∴ x + 2 x + 3 x = 180° ,得 x = 30° , ∴∠ A = 30° , ∠ ACB = 90°. ∵ CD 是 △ ABC 的高, ∴∠ ADC = 90° , ∴∠ ACD = 180° - 90° - 30° = 60°. ∵ CE 是 ∠ ACB 的平分线, ∴∠ ACE = ×90° = 45° , ∴∠ DCE = ∠ ACD - ∠ ACE = 60° - 45° = 15°. ② 在△ ABC 中,∠ A :∠ B :∠ C =1:2:3 ,则△ ABC 是 _________ 三角形 . 练一练: ① 在△ ABC 中,∠ A =35° ,∠ B =43 ° ,则∠ C = . ③ 在△ ABC 中, ∠ A = ∠ B +10 ° , ∠ C = ∠ A + 10 ° , 则 ∠ A = , ∠ B = ,∠ C = . 102° 直角 60° 50° 70° 北 . A D 北 . C B . 东 E 例 4 如图, C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向, B 岛在 A 岛的北偏东 80 ° 方向, C 岛在 B 岛的北偏西 40 ° 方向 . 从 B 岛看 A , C 两岛的视角∠ ABC 是多少度?从 C 岛看 A 、 B 两岛的视角∠ ACB 是多少度? 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中 . 解: ∠ CAB = ∠ BAD - ∠ CAD =80 °-50°=30°. 由 AD // BE , 得 ∠ BAD + ∠ ABE =180 °. 所以 ∠ ABE =180 °- ∠ BAD=180°-80°=100°, ∠ ABC = ∠ ABE - ∠ EBC =100°-40°=60°. 在 △ ABC 中 , ∠ ACB =180 °- ∠ ABC - ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答:从 B 岛看 A,C 两岛的视角 ∠ ABC 是 60 °, 从 C 岛看 A , B 两岛的视角∠ ACB 是 90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 【变式题】 如图, B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向, C 岛在 A 岛的南偏东 15° 方向, C 岛在 B 岛的北偏东 80° 方向,求从 C 岛看 A , B 两岛的视角 ∠ ACB 的度数 . 解:如图, 由题意得 BE ∥ AD ,∠ BAD =40 °, ∠ CAD =15 °, ∠ E B C = 80 °, ∴∠ E BA = ∠ BAD =40 °, ∠ BAC =40°+15°=55° , ∴ ∠ C BA =∠ E B C- ∠ E BA =80 ° -40 ° =40 °, ∴∠ ACB =180°-∠ BAC -∠ ABC =180°-55°-40°=85°. D E 当堂练习 1. 求 出下列各图中的 x 值. x =70 x =60 x =30 x =50 2. 如图,则 ∠ 1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° ( 280 ° 3. 如图,四边形 ABCD 中,点 E 在 BC 上 , ∠ A +∠ ADE =180°,∠ B =78°,∠ C =60°,求∠ EDC 的度数. 解:∵∠ A +∠ ADE =180°, ∴ AB ∥ DE , ∴∠ CED =∠ B =78°. 又∵∠ C =60°, ∴∠ EDC =180° - (∠ CED +∠ C ) =180°-(78°+60°) =42°. 4. 如图,在△ ABC 中,∠ B =42°,∠ C =78°, AD 平分∠ BAC .求∠ ADC 的度数 . 解:∵∠ B =42°,∠ C =78°, ∴∠ BAC =180°-∠ B -∠ C =60° . ∵ AD 平分∠ BAC , ∴∠ C AD = ∠ BAC =30°, ∴∠ ADC = 180 ° - ∠ B - ∠ C AD =72° . 5. 如图,在△ ABC 中, BP 平分∠ ABC , CP 平分∠ ACB ,若∠ BAC =60°,求∠ BPC 的度数. 解:∵△ ABC 中,∠ A =60°, ∴∠ ABC +∠ ACB =120°. ∵ BP 平分∠ ABC , CP 平分∠ ACB , ∴∠ PBC +∠ PCB = (∠ ABC +∠ ACB )=60°. ∵∠ PBC +∠ PCB +∠ BPC =180°, ∴∠BPC=180°-60°=120°. 拓 展 【变式题】 你能直接写出 ∠ BPC 与 ∠ A 之间的数量关系吗? 解:∵ BP 平分∠ ABC , CP 平分∠ ACB , ∴∠ PBC +∠ PCB = (∠ ABC +∠ ACB )=60°. ∵∠ PBC +∠ PCB +∠ BPC =180°, ∴∠ BPC =180°- (∠ ABC +∠ ACB ) =1 8 0° - ( 180 ° - ∠ A ) =90 ° + ∠ A . 课堂小结 三角形的 内角和定理 证明 了解添加辅助线的方法及其目的 内容 三角形内角和等于 180 °
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