重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）11

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11.2.1 三角形的内角 第十一章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 11.2 与 三角形有关的角 第 1 课时 三角形的内角和 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 2. 会运用三角形内角和定理进行计算 . （难点） 1 . 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于 180° . （重点） 我的形状最小，那我的内角和最小 . 我的形状最大，那我的内角和最大 . 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的 . 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧 . 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180 ° . 与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的 . 思考： 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为 180 °呢 ? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 锐角三角形 测量 48 0 72 0 60 0 60 0 ＋ 48 0 ＋ 72 0 ＝ 180 0 （ 学生运用学科工具 — 量角器测量演示 ） 剪拼 A B C 2 1 （ 小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程 ） 视频：剪拼验证内角和定理 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角 . 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明 . 从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 讲授新课 三角形的内角和定理的证明 一 探究： 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起 . 验证结论 三角形三个内角的和等于 180 ° . 求证： ∠ A +∠ B +∠ C =180°. 已知： △ ABC. 证法 1 ：过点 A 作 l ∥BC ， ∴∠ B =∠1. ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ∠ C =∠2. ( 两直线平行 , 内错角相等 ) ∵∠2+∠1+∠ BAC =180° ， ∴∠ B +∠ C +∠ BAC =180°. 1 2 证法 2 ： 延长 BC 到 D ， 过点 C 作 CE∥BA ， ∴ ∠ A =∠1 . ( 两直线平行，内错角相等 ) ∠ B =∠2. ( 两直线平行，同位角相等 ) 又 ∵∠ 1+∠2+∠ ACB =180° ， ∴∠ A +∠ B +∠ ACB =180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法 3 ：过 D 作 DE ∥ AC , 作 DF ∥ AB . ∴ ∠ C =∠ EDB , ∠ B =∠ FDC. ( 两直线平行，同位角相等 ) ∠ A +∠ AED =180 ° , ∠ AED +∠ EDF =180 °， ( 两直线平行，同旁内角相补 ) ∴ ∠ A= ∠ EDF. ∵∠ EDB +∠ EDF +∠ FDC =180° ， ∴∠ A +∠ B +∠ C =180°. 想一想： 同学们还有其他的方法吗？ 思考： 多种方法证明三角形内角和等于 180 °的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角 . C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试： 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做 辅助线 . 在平面几何里，辅助线通常画成 虚线 . 思路总结 为了证明三个角的和为 180 ° , 转化为一个平角或同旁内角互补等，这种 转化思想 是数学中的常用方法 . 作辅助线 例 1 如图，在△ ABC 中， ∠ BAC =40 °, ∠ B =75 °, AD 是△ ABC 的角平分线，求∠ ADB 的度数 . A B C D 解：由∠ BAC =40 °, AD 是△ ABC 的角平分线，得 ∠ BAD = ∠ BAC =20 °. 在△ ABD 中， ∠ ADB =180°-∠ B -∠ BAD =180°-75°-20° =85°. 三角形的内角和定理的运用 二 【变式题】 如图， CD 是 ∠ ACB 的平分线， DE ∥ BC ， ∠ A ＝ 50° ， ∠ B ＝ 70° ，求 ∠ EDC ， ∠ BDC 的度数． 解： ∵∠ A ＝ 50° ， ∠ B ＝ 70° ， ∴∠ ACB ＝ 180° － ∠ A － ∠ B ＝ 60°. ∵ CD 是 ∠ ACB 的平分线， ∴∠ BCD ＝ ∠ ACB ＝ 30°. ∵ DE ∥ BC ， ∴ ∠ EDC ＝ ∠ BCD ＝ 30° ， 在 △ BDC 中， ∠ BDC ＝ 180° － ∠ B － ∠ BCD= 80°. 例 2 如图， △ ABC 中， D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE ⊥ AB 于 E ，交 AC 于 F . 已知 ∠ A ＝ 30 °， ∠ FCD ＝ 80° ，求 ∠ D . 解： ∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ FEA ＝ 90° ． ∵ 在 △ AEF 中， ∠ FEA ＝ 90° ， ∠ A ＝ 30° ， ∴ ∠ AFE ＝ 180° － ∠ FEA － ∠ A ＝ 60°. 又 ∵ ∠ CFD ＝ ∠ AFE ， ∴ ∠ CFD ＝ 60°. ∴ 在 △ CDF 中， ∠ CFD ＝ 60° ， ∠ FCD ＝ 80° ， ∠ D ＝ 180° － ∠ CFD － ∠ FCD ＝ 40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠ A +∠ B = ∠ C +∠ D. 由三角形的内角和定理易得∠ 1+∠2= ∠ 3+∠4. 总结归纳 4 例 3 在△ ABC 中， ∠ A 的度数是∠ B 的度数的 3 倍，∠ C 比∠ B 大 15° ，求∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数 . 解 : 设∠ B 为 x ° ，则∠ A 为 (3 x )° ， ∠ C 为 ( x ＋ 15)° ， 从而有 3 x ＋ x ＋ ( x ＋ 15) ＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3 x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的度数分别为 99° ， 33° ， 48° . 几何问题借助方程来解 . 这是一个重要的数学思想 . 【变式题】 在 △ ABC 中， ∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ ACB ， CD 是 △ ABC 的高， CE 是 ∠ ACB 的平分线，求 ∠ DCE 的度数． 解析：根据已知条件用 ∠ A 表示出 ∠ B 和 ∠ ACB ，利用三角形的内角和求出 ∠ A ，再求出 ∠ ACB ， ∠ ACD ，最后根据角平分线的定义求出 ∠ ACE 即可求得 ∠ DCE 的度数． 比例关系可考虑用方程思想求角度 . 解： ∵∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ ACB ， 设 ∠ A ＝ x ， ∴∠ B ＝ 2 x ， ∠ ACB ＝ 3 x . ∵∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ ACB ＝ 180° ， ∴ x ＋ 2 x ＋ 3 x ＝ 180° ，得 x ＝ 30° ， ∴∠ A ＝ 30° ， ∠ ACB ＝ 90°. ∵ CD 是 △ ABC 的高， ∴∠ ADC ＝ 90° ， ∴∠ ACD ＝ 180° － 90° － 30° ＝ 60°. ∵ CE 是 ∠ ACB 的平分线， ∴∠ ACE ＝ ×90° ＝ 45° ， ∴∠ DCE ＝ ∠ ACD － ∠ ACE ＝ 60° － 45° ＝ 15°. ② 在△ ABC 中，∠ A :∠ B :∠ C =1:2:3 ，则△ ABC 是 _________ 三角形 . 练一练： ① 在△ ABC 中，∠ A =35° ，∠ B =43 ° ，则∠ C = . ③ 在△ ABC 中， ∠ A = ∠ B +10 ° , ∠ C = ∠ A + 10 ° , 则 ∠ A = ， ∠ B = ，∠ C = . 102° 直角 60° 50° 70° 北 . A D 北 . C B . 东 E 例 4 如图， C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向， B 岛在 A 岛的北偏东 80 ° 方向， C 岛在 B 岛的北偏西 40 ° 方向 . 从 B 岛看 A , C 两岛的视角∠ ABC 是多少度？从 C 岛看 A 、 B 两岛的视角∠ ACB 是多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中 . 解： ∠ CAB = ∠ BAD - ∠ CAD =80 °-50°=30°. 由 AD // BE , 得 ∠ BAD + ∠ ABE =180 °. 所以 ∠ ABE =180 °- ∠ BAD=180°-80°=100°, ∠ ABC = ∠ ABE - ∠ EBC =100°-40°=60°. 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB =180 °- ∠ ABC - ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答：从 B 岛看 A,C 两岛的视角 ∠ ABC 是 60 °, 从 C 岛看 A , B 两岛的视角∠ ACB 是 90°. 北 . A D 北 . C B . 东 E 【变式题】 如图， B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向， C 岛在 A 岛的南偏东 15° 方向， C 岛在 B 岛的北偏东 80° 方向，求从 C 岛看 A ， B 两岛的视角 ∠ ACB 的度数 . 解：如图， 由题意得 BE ∥ AD ,∠ BAD =40 °， ∠ CAD =15 °， ∠ E B C = 80 °， ∴∠ E BA = ∠ BAD =40 °， ∠ BAC =40°+15°=55° , ∴ ∠ C BA =∠ E B C- ∠ E BA =80 ° -40 ° =40 °， ∴∠ ACB =180°-∠ BAC -∠ ABC =180°-55°-40°=85°． D E 当堂练习 1. 求 出下列各图中的 x 值． x =70 x =60 x =30 x =50 2. 如图，则 ∠ 1+∠2+∠3+∠4=___________ . B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 ° 3. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上 , ∠ A +∠ ADE =180°，∠ B =78°，∠ C =60°，求∠ EDC 的度数． 解：∵∠ A +∠ ADE =180°， ∴ AB ∥ DE ， ∴∠ CED =∠ B =78°． 又∵∠ C =60°， ∴∠ EDC =180° - （∠ CED +∠ C ） =180°-（78°+60°） =42°． 4. 如图，在△ ABC 中，∠ B =42°，∠ C =78°， AD 平分∠ BAC ．求∠ ADC 的度数 . 解：∵∠ B =42°，∠ C =78°， ∴∠ BAC =180°-∠ B -∠ C =60° . ∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ C AD = ∠ BAC =30°， ∴∠ ADC = 180 ° - ∠ B - ∠ C AD =72° . 5. 如图，在△ ABC 中， BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ，若∠ BAC =60°，求∠ BPC 的度数． 解：∵△ ABC 中，∠ A =60°， ∴∠ ABC +∠ ACB =120°． ∵ BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ， ∴∠ PBC +∠ PCB = （∠ ABC +∠ ACB ）=60°． ∵∠ PBC +∠ PCB +∠ BPC =180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 拓 展 【变式题】 你能直接写出 ∠ BPC 与 ∠ A 之间的数量关系吗？ 解：∵ BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ， ∴∠ PBC +∠ PCB = （∠ ABC +∠ ACB ）=60°． ∵∠ PBC +∠ PCB +∠ BPC =180°， ∴∠ BPC =180°- （∠ ABC +∠ ACB ） =1 8 0° - （ 180 ° - ∠ A ） =90 ° + ∠ A ． 课堂小结 三角形的 内角和定理 证明 了解添加辅助线的方法及其目的 内容 三角形内角和等于 180 °