高考物理一轮复习第五章能量和动量实验六验证机械能守恒定律

高考物理一轮复习第五章能量和动量实验六验证机械能守恒定律

实 验 六 验证机械能守恒定律 一、实验目的 验证机械能守恒定律。 二、实验器材 铁架台(含铁夹)、打点计时器、学生电源(交流 4～6 V)、纸带(数条)、复写纸、导线、 毫米刻度尺、重物(带纸带夹)。 突破点(一) 实验原理与操作 [典例 1] 在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为 50 Hz， 依次打出的点为 0,1,2,3,4，…，n。则： 图实61 (1)如用第 2 点到第 6 点之间的纸带来验证，必须直接测量的物理量为____________、 ____________、____________，必须计算出的物理量为____________、____________，验证 的表达式为____________________。 (2)下列实验步骤操作合理的排列顺序是________(填写步骤前面的字母)。 A．将打点计时器竖直安装在铁架台上 B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落 C．取下纸带，更换新纸带(或将纸带翻个面)重新做实验 D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带 E．选择一条纸带，用刻度尺测出物体下落的高度 h1，h2，h3，…，hn，计算出对应的瞬 时速度 v1，v2，v3，…，vn F．分别算出 1 2 mvn 2 和 mghn，在实验误差允许的范围内看是否相等 [答案] (1)第 2 点到第 6 点之间的距离 h26 第 1 点到第 3 点之间的距离 h13 第 5 点到第 7 点之间的距离 h57 第 2 点的瞬时速度 v2 第 6 点的瞬时速度 v6 mgh26＝1 2 mv6 2－1 2 mv2 2 (2)ADBCEF [由题引知·要点谨记] 1.实验原理的理解[对应第 1 题] 1.两种验证方法, 1 利用起始点和第 n 点计算。代入 ghn 和 1 2 vn 2，如果在实验误差允 许的条件下，ghn＝1 2 vn 2，则能验证机械能守恒定律。 2 任取两点计算 ①任取两点 A、B，测出 hAB，算出 ghAB。 ②算出 1 2 vB 2－1 2 vA 2 的值。 ③在实验误差允许的条件下，如果 ghAB＝1 2 vB 2－1 2 vA 2，则能验证机械能守恒定律。 2.不需要测量物体质量 m。 2.实验操作步骤[对应第 2 题] 安装→穿纸带→打纸带→处理数据。 [集训冲关] 1.(2017·漳州检测)用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。 实验所用的电源为学生电源，输出电压有 6 V 的交流电和直流电两种。 重物从高处由静止开始下落，重物拖着纸带通过打点计时器打出一系列 的点，对纸带上的点进行测量，即可验证机械能守恒定律。 (1)下面列举了该实验的几个操作步骤： A．按照图示的装置安装器件； B．将打点计时器接到电源的直流输出端上； C．用天平测出重物的质量； D．释放纸带，同时接通电源开关打出一条纸带； E．测量打出的纸带上某些点之间的距离； F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。 其中没有必要进行或者操作不恰当的步骤是________。(将其选项对应的字母填在横线 处) (2)在验证机械能守恒定律的实验中，若以 1 2 v2 为纵轴，以 h 为横轴，根据实验数据绘 出 1 2 v2h 的图像应是________才能验证机械能守恒定律。1 2 v2h 图像的斜率等于________的 数值。 解析：(1)打点计时器应接到电源的交流输出端上，故 B 错误；验证机械能是否守恒只 需验证 mgh＝1 2 mv2，即 gh＝1 2 v2，故 m 可约去，不需要用天平。故 C 没有必要进行；开始记录 时，应先给打点计时器通电打点，然后再释放重物，让它带着纸带一同落下，如果先放开纸 带让重物下落，再接通打点计时器的电源，由于重物运动较快，不利于数据的采集和处理， 会对实验产生较大的误差，故 D 错误。 (2)利用 1 2 v2h 图线处理数据，物体自由下落过程中机械能守恒，mgh＝1 2 mv2，即 1 2 v2＝gh， 所以以 1 2 v2 为纵轴，以 h 为横轴，画出的图线应是过原点的倾斜直线。那么 1 2 v2h 图线的斜 率就等于重力加速度 g。 答案：(1)BCD (2)过原点的倾斜直线 重力加速度 2. (2016·北京高考)利用如图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验。 甲 (1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________。 A．动能变化量与势能变化量 B．速度变化量和势能变化量 C．速度变化量和高度变化量 (2)除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、导线及开关外，在下 列器材中，还必须使用的两种器材是________。 A．交流电源 B．刻度尺 C．天平(含砝码) (3)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图乙所示的一条纸带。在纸带上选取三个 连续打出的点 A、B、C，测得它们到起始点 O 的距离分别为 hA、hB、hC。 已知当地重力加速度为 g，打点计时器打点的周期为 T。设重物的质量为 m。从打 O 点 到打 B 点的过程中，重物的重力势能变化量ΔEp ＝____________，动能变化量ΔEk ＝ __________。 乙 (4)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是 ________。 A．利用公式 v＝gt 计算重物速度 B．利用公式 v＝ 2gh 计算重物速度 C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响 D．没有采用多次实验取平均值的方法 (5)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒：在纸带上选取多个计数点，测量它们到 起始点 O 的距离 h，计算对应计数点的重物速度 v，描绘 v2h 图像，并做如下判断：若图像 是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否 正确。 解析：(1)在“验证机械能守恒定律”实验中，重物下落，重力势能减少，动能增加， 要验证机械能是否守恒，需比较重物下落过程中任意两点间的动能变化量与势能变化量大小 是否相等，故选 A。 (2)实验时用到电磁打点计时器，则必须使用交流电源。在计算动能和势能变化量时， 需用刻度尺测量位移和重物下落高度。在比较动能变化量和势能变化量是否相等时需验证 1 2 m(v2 2－v1 2)＝mgh 是否成立，而等式两边可约去质量 m，故不需要天平。故选 A、B。 (3)从打 O 点到打 B 点的过程中，重物下落 hB，重力势能减少，则重物的重力势能变化 量ΔEp＝－mghB。动能增加，则动能的变化量ΔEk＝1 2 mvB 2－0＝1 2 m hC－hA 2T 2－0＝1 2 m hC－hA 2T 2。 (4)重物在下落过程中，除受重力外还存在空气阻力和摩擦阻力的影响，重物的重力势 能要转化为重物的动能和内能，则重力势能的减少量大于动能的增加量，选项 C 正确。 (5)不正确。v2h 图像为一条直线，仅表明物体所受合力恒定，与机械能是否守恒无关。 例如，在本实验中若存在恒定阻力，则物体的机械能不守恒，但 mgh－Ffh＝1 2 mv2，v2＝ 2 g－Ff m h，v2h 为一条过原点的直线，故该同学判断不正确。要想通过 v2h 图像的方法验 证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近 2g。 答案：(1)A (2)AB (3)－mghB 1 2 m hC－hA 2T 2 (4)C (5)该同学的判断依据不正确。在重物下落 h 的过程中，若阻力 Ff 恒定，根据动能定理 得，mgh－Ffh＝1 2 mv2－0⇒v2＝2 g－Ff m h 可知，v2h 图像就是过原点的一条直线。要想通过 v2h 图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近 2g。 突破点(二) 数据处理与误差分析 [典例 2] 用如图甲实验装置验证 m1、m2 组成的系统机械能守恒。m2 从高处由静止开始 下落，m1 上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点进行测量，即可验证机械能守恒定律。 图乙给出的是实验中获取的一条纸带：0 是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有 4 个打 下的点(图中未标出)，计数点间的距离如图所示。已知 m1＝50 g、m2＝150 g，则(计算结果 保留两位有效数字) (1)在纸带上打下计数点 5 时的速度 v＝________ m/s。 (2)在计数点 0～5 过程中系统动能的增量ΔEk＝________ J。为了简化计算，设 g＝9.8 m/s2，则系统势能的减少量ΔEp＝________ J。 (3)实验结果显示ΔEp＞ΔEk，那么造成这一现象的主要原因是_____________________。 (4)在本实验中，若某同学作出了 1 2 v2h 图像，如图丙，h 为从起点量起的长度，则据此 得到当地的重力加速度 g＝________ m/s2。 [答案] (1)2.4 (2)0.58 0.59 (3)摩擦阻力造成的机械能损失(4)9.7 [由题引知·要点谨记] 1.考查利用纸带求重物速度[对应第 1 题] 计算公式：v＝x1＋x2 2T 2.考查数据处理方法[对应第 2 题] 1 系统动能的增加量ΔEk＝1 2 m1＋m2 v5 2。 2 系统重力势能的减少量ΔEp＝ m2－m1 gh5。 3 注意计算结果的有效数字要求。 3．考查实验误差分析[对应第(3)题] 因空气阻力、纸带与限位孔间的阻力、滑轮轴间阻力做负功，使系统重力势能的 减少量大于系统动能的增加量。 4.利用v2 2 h 图像处理数据[对应第 4 题] 由1 2 m1＋m2 v2＝ m2－m1 gh， 1 2 m1＋m2 ＝m2－m1 可知，v2 2 ＝g 2 h。 故v2 2 h 图线的斜率 k＝g 2 。 [集训冲关] 3.(2016·四川高考)用如图所示的装置测量弹簧的弹性势能。 将弹簧放置在水平气垫导轨上，左端固定，右端在 O 点；在 O 点右 侧的 B、C 位置各安装一个光电门，计时器(图中未画出)与两个光电 门相连。先用米尺测得 B、C 两点间距离 s，再用带有遮光片的滑块压缩弹簧到某位置 A，静 止释放，计时器显示遮光片从 B 到 C 所用的时间 t，用米尺测量 A、O 之间的距离 x。 (1)计算滑块离开弹簧时速度大小的表达式是________。 (2)为求出弹簧的弹性势能，还需要测量________。 A．弹簧原长 B．当地重力加速度 C．滑块(含遮光片)的质量 (3)增大 A、O 之间的距离 x，计时器显示时间 t 将________。 A．增大 B．减小 C．不变 解析：(1)滑块离开弹簧后做匀速直线运动，故滑块的速率 v＝s t 。 (2)根据功能关系，弹簧的弹性势能 Ep＝1 2 mv2，所以要求弹性势能，还需要测得滑块的 质量，故选项 C 正确。 (3)弹簧的形变量越大，弹性势能越大，滑块离开弹簧时的速度越大，滑块从 B 运动到 C 的时间越短，故 x 增大时，计时器显示时间 t 将变小，故选项 B 正确。 答案：(1)v＝s t (2)C (3)B 4．(2017·淮安月考)用自由落体验证机械能守恒定律，器材安装如图甲。 (1)请指出图甲中的错误及不妥之处(至少写出两处)： ①________________________________________________________________________； ②________________________________________________________________________。 (2)改进实验中错误及不妥之处后，打出如图乙所示一条纸带。已知打点计时器频率为 50 Hz，根据纸带所给数据，打 C 点时重物的速度为______m/s(结果保留两位有效数字)。 (3)某同学选用两个形状相同质量不同的重物 a 和 b 进行实验测得几组数据，画出v2 2 h 的图像如图丙所示，求出图线的斜率 k，由图像可知 a 的质量 m1________b 的质量 m2(选填“大 于”或“小于”)。 (4)通过分析发现造成 k2 值偏小的原因是实验过程中存在各种阻力，已知实验所用重物 的质量 m2 ＝0.052 kg，当地重力加速度 g＝9.78 m/s2 ，求出重物所受的平均阻力 Ff ＝ ________N。(结果保留两位有效数字)。 解析：(1)①打点计时器需要用交流电源，而图中使用的是直流电源；②重物离打点计 时器太远，得到的数据太少；③没有从上方提着纸带，而是用手托着纸带。 (2)根据匀变速直线运动过程中的平均速度规律可得 vC＝xBD 2T ，T＝1 f ＝0.02 s，故解得 vC≈2.3 m/s。 (3)根据公式 mgh＝1 2 mv2 可得 1 2 v2＝gh，斜率表示加速度，而质量越大，空气阻力越小， 加速度越大，故 m1＞m2。 (4)根据牛顿第二定律可得 mg－Ff＝mk2 代入数据可得 Ff≈0.031 N。 答案：(1)①使用的是直流电源 ②重物离打点计时器太远 ③没有从上方提着纸带，而是用手托着纸带 (2)2.3 (3)大于 (4)0.031 5．(2016·全国乙卷)某同学用图(a)所示的实验装置验证机械能守恒定律，其中打点计 时器的电源为交流电源，可以使用的频率有 20 Hz、30 Hz 和 40 Hz。打出纸带的一部分如 图(b)所示。 该同学在实验中没有记录交流电的频率 f，需要用实验数据和其他题给条件进行推算。 (1)若从打出的纸带可判定重物匀加速下落，利用 f 和图(b)中给出的物理量可以写出： 在打点计时器打出 B 点时，重物下落的速度大小为________，打出 C 点时重物下落的速度大 小为________，重物下落的加速度大小为________。 (2)已测得 s1＝8.89 cm，s2＝9.50 cm，s3＝10.10 cm；当地重力加速度大小为 9.80 m/s2， 实验中重物受到的平均阻力大小约为其重力的 1%。由此推算出 f 为________ Hz。 解析：(1)重物匀加速下落时，根据匀变速直线运动的规律得 vB＝s1＋s2 2T ＝1 2 f(s1＋s2) vC＝s2＋s3 2T ＝1 2 f(s2＋s3) 由 s3－s1＝2aT2 得 a＝f2 s3－s1 2 。 (2)根据牛顿第二定律，有 mg－kmg＝ma 根据以上各式，化简得 f＝ 2 1－k g s3－s1 代入数据可得 f≈40 Hz。 答案：(1)1 2 f(s1＋s2) 1 2 f(s2＋s3) 1 2 f2(s3－s1) (2)40 突破点(三) 实验的改进与创新 [典例 3] (2016·江苏高考)某同学用如图所示的装置验证机械 能守恒定律。一根细线系住钢球，悬挂在铁架台上，钢球静止于 A 点。 光电门固定在 A 的正下方，在钢球底部竖直地粘住一片宽度为 d 的遮 光条。将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时 间 t 可由计时器测出，取 v＝d t 作为钢球经过 A 点时的速度。记录钢球每次下落的高度 h 和 计时器示数 t，计算并比较钢球在释放点和 A 点之间的势能变化大小ΔEp 与动能变化大小 ΔEk，就能验证机械能是否守恒。 (1)用ΔEp＝mgh 计算钢球重力势能变化的大小，式中钢球下落高度 h 应测量释放时的钢 球球心到________之间的竖直距离。 A．钢球在 A 点时的顶端 B．钢球在 A 点时的球心 C．钢球在 A 点时的底端 (2)用ΔEk＝1 2 mv2 计算钢球动能变化的大小。用刻度尺测量遮光条 宽度，示数如图所示，其读数为________cm。某次测量中，计时器的 示数为 0.010 0 s。则钢球的速度为 v＝________m/s。 (3)下表为该同学的实验结果： ΔEp(×10－2 J) 4.892 9.786 14.69 19.59 29.38 ΔEk(×10－2 J) 5.04 10.1 15.1 20.0 29.8 他发现表中的ΔEp 与ΔEk 之间存在差异，认为这是由于空气阻力造成的。你是否同意他 的观点？请说明理由。 (4)请你提出一条减小上述差异的改进建议。 [由题引知·要点谨记] 1．实验器材的创新[对应题干部分] (1)利用细线系住钢球来验证机械能守恒定律。 (2)利用光电门测钢球经过光电门的速度。 2．实验原理的创新[对应第(1)、(2)题] (1)小球重力势能的减少量等于小球下摆过程中动能的增加量。 (2)mm 刻度尺读数时应估读到 mm 的十分位。 3．误差分析与实验改进[对应第(3)题] (1)因空气阻力做负功，导致ΔEk＜ΔEp，本题中第(3)问出现ΔEk＞ΔEp，是钢球的速 度计算方法引起的。 (2)改进方案应从修正钢球速度大小的角度来设计。 4．本实验还可以从以下两个方面创新 (1)利用气垫导轨验证。 (2)利用牛顿管和频闪照相进行验证。 [解析] (1)高度变化要比较钢球球心的高度变化。 (2)毫米刻度尺读数时要估读到毫米下一位，由 v＝d t 代入数据可计算出相应速度。 (3)从表中数据可知ΔEk＞ΔEp，若有空气阻力，则应为ΔEk＜ΔEp，所以不同意他的观 点。 (4)实验中遮光条经过光电门时的速度大于钢球经过 A 点时的速度，因此由ΔEk＝1 2 mv2 计算得到的ΔEk 偏大，要减小ΔEp 与ΔEk 的差异可考虑将遮光条的速度折算为钢球的速度。 [答案] (1)B (2)1.50(1.49～1.51 都算对) 1.50(1.49～1.51 都算对) (3)不同 意，因为空气阻力会造成ΔEk 小于ΔEp，但表中ΔEk 大于ΔEp。 (4)分别测出光电门和球心 到悬点的长度 L 和 l，计算ΔEk 时，将 v 折算成钢球的速度 v′＝l L v。 [集训冲关] 6.某同学利用竖直上抛小球的频闪照片验证机械能守恒定律，频闪仪每 隔 0.05 s 闪光一次，如图所标数据为实际距离，该同学通过计算得到不同时 刻的速度如下表。(当地重力加速度取 9.8 m/s2，小球质量 m＝0.2 kg，结果 保留 3 位有效数字) 时刻 t2 t3 t4 t5 速度(m/s) 4.99 4.48 3.98 (1)由频闪照片上的数据计算 t5 时刻小球的速度 v5＝________ m/s。 (2)从 t2 到 t5 时间内，重力势能增量ΔEp＝_____ J，动能减少量ΔEk＝______ J。 (3)在误差允许的范围内，若ΔEp 与ΔEk 近似相等，即可验证机械能守恒定律。由上述 计 算 得 ΔEp______ΔEk( 选 填 “>”“<” 或 “ ＝ ”) ， 造 成 这 种 结 果 的 主 要 原 因 是 ________________。 解析：(1)v5＝16.14＋18.66 2×0.05 ×10－2 m/s＝3.48 m/s。 (2)重力势能的增量ΔEp＝mgΔh，代入数据可得ΔEp≈1.24 J，动能减少量为ΔEk＝1 2 mv2 2 －1 2 mv5 2，代入数据可得ΔEk≈1.27 J。 (3)由计算可得ΔEp<ΔEk，主要是由于存在空气阻力。 答案：(1)3.48 (2)1.24 1.27 (3)< 存在空气阻力 7．(2017·邯郸一中高考一轮收官)如图甲所示，一位同学利用光电计时器等器材做“验 证机械能守恒定律”的实验。有一直径为 d、质量为 m 的金属小球由 A 处由静止释放，下落 过程中能通过 A 处正下方、固定于 B 处的光电门，测得 A、B 间的距离为 H(H≫d)，光电计 时器记录下小球通过光电门的时间为 t，当地的重力加速度为 g。则： (1)如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径 d＝______cm。 (2)多次改变高度 H，重复上述实验，作出1 t2随 H 的变化图像如图丙所示，当图中已知量 t0、H0 和重力加速度 g 及小球的直径 d 满足以下表达式：________________时，可判断小球 下落过程中机械能守恒。 (3)实验中发现动能增加量ΔEk 总是稍小于重力势能减少量ΔEp，增加下落高度后，则 ΔEp－ΔEk 将________(选填“增加”“减小”或“不变”)。 解析：(1)由题图乙可知，主尺刻度为 7 mm；游标对齐的刻度为 5；故读数为：(7＋5×0.05) mm＝7.25 mm＝0.725 cm。 (2)若减小的重力势能等于增加的动能时，可以认为机械能守恒；则有：mgH＝1 2 mv2，即： 2gH0＝ d t0 2 解得：2gH0t0 2＝d2。 (3)由于该过程中有阻力做功，而高度越高，阻力做功越多；故增加下落高度后，则ΔEp －ΔEk 将增大。 答案：(1)0.725 (2)2gH0t0 2＝d2 (3)增加 8．(2017·西工大附中模拟)某研究性学习小组利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实 验装置如图甲所示。在气垫导轨上相隔一定距离的两处安装两个光电传感器 A、B，滑块 P 上固定一遮光条，若光线被遮光条遮挡，光电传感器会输出高电压，两光电传感器采集数据 后与计算机相连。滑块在细线的牵引下向左加速运动，遮光条经过光电传感器 A、B 时，通 过计算机可以得到如图乙所示的电压 U 随时间 t 变化的图像。 (1)实验前，接通气源，将滑块(不挂钩码)置于气垫导轨上，轻推滑块，当图乙中的 Δt1________Δt2(选填“>”“＝”或“<”)时，说明气垫导轨已经水平。 (2)用游标卡尺测遮光条宽度 d，测量结果如图丙所示，则 d＝________mm。 (3)滑块 P 用细线跨过气垫导轨左端的定滑轮与钩码 Q 相连，钩码 Q 的质量为 m。将滑 块 P 由图甲所示位置释放，通过计算机得到的图像如图乙所示，若Δt1、Δt2 和 d 已知，要 验证滑块和砝码组成的系统机械能是否守恒，还应测出_________________________(写出物 理量的名称及符号)。 (4)若上述物理量间满足关系式____________________，则表明在上述过程中，滑块和 砝码组成的系统机械能守恒。 解析：(1)实验前，接通气源，将滑块(不挂钩码)置于气垫导轨上，轻推滑块，当题图 乙中的Δt1＝Δt2 时，说明滑块做匀速运动，说明气垫导轨已经水平。 (2)用游标卡尺测遮光条宽度 d，则 d＝5.0 mm。 (3)滑块经过两个光电门的速度分别为： d Δt2 和 d Δt1 ，滑块重力势能的减小量为 mgL，故 要验证的关系是 mgL＝1 2 (m＋M) d Δt2 2－1 2 (m＋M) d Δt1 2，故还应测出滑块质量 M 和两光电门 间距离 L。 (4)若上述物理量间满足关系式 mgL＝1 2 (m＋M) d Δt2 2－1 2 (m＋M) d Δt1 2，则表明在上述过 程中，滑块和砝码组成的系统机械能守恒。 答案：(1)＝ (2)5.0 (3)滑块质量 M 和两光电门间距离 L (4)mgL＝1 2 (m＋M) d Δt2 2－1 2 (m＋M) d Δt1 2 实 验 七 验 证 动 量 守 恒 定 律 实验目的：验证动量守恒定律。 实验原理：在一维碰撞中，测出物体的质量 m 和碰撞前后物体的速度 v、v′，找出 碰撞前的动量 p＝m1v1＋m2v2 及碰撞后的动量 p′＝m1v1′＋m2v2′，看碰撞前后动量是否守恒。 [实验方案一] 利用气垫导轨完成一维碰撞实验 [实验器材] 气垫导轨、光电计时器、天平、滑块(两个)、重物、弹簧片、细绳、弹性碰撞架、胶布、 撞针、橡皮泥等。 [实验步骤] 1．测质量：用天平测出滑块质量。 2．安装：正确安装好气垫导轨。 3．实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前后的速度(① 改变滑块的质量。②改变滑块的初速度大小和方向)。 4．验证：一维碰撞中的动量守恒。 [数据处理] 1．滑块速度的测量：v＝Δx Δt ，式中Δx 为滑块挡光片的宽度(仪器说明书上给出，也可 直接测量)，Δt 为数字计时器显示的滑块(挡光片)经过光电门的时间。 2．验证的表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。 [实验方案二] 利用等长摆球完成一维碰撞实验 [实验器材] 带细线的摆球(两套)、铁架台、天平、量角器、坐标纸、胶布等。 [实验步骤]1．测质量：用天平测出两小球的质量 m1、m2。 2．安装：把两个等大小球用等长悬线悬挂起来。 3．实验：一个小球静止，拉起另一个小球，放下时它们相碰。 4．测速度：可以测量小球被拉起的角度，从而算出碰撞前对应小球的 速度，测量碰撞后小球摆起的角度，算出碰撞后对应小球的速度。 5．改变条件：改变碰撞条件，重复实验。 6．验证：一维碰撞中的动量守恒。 [数据处理] 1．摆球速度的测量：v＝ 2gh，式中 h 为小球释放时(或碰撞后摆起的)高度，h 可用刻 度尺测量(也可由量角器和摆长计算出)。 2．验证的表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。 [实验方案三] 利用两辆小车完成一维碰撞实验 [实验器材] 光滑长木板、打点计时器、纸带、小车(两个)、天平、撞针、橡皮泥。 [实验步骤] 1．测质量：用天平测出两小车的质量。 2．安装：将打点计时器固定在光滑长木板的一端，把纸带穿过打点计时器，连在小车 的后面，在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥。 3．实验：接通电源，让小车 A 运动，小车 B 静止，两车碰撞时撞针插入橡皮泥中，把 两小车连接成一个整体运动。 4．测速度：通过纸带上两计数点间的距离及时间，由 v＝Δx Δt 算出速度。 5．改变条件：改变碰撞条件，重复实验。 6．验证：一维碰撞中的动量守恒。 [数据处理] 1．小车速度的测量：v＝Δx Δt ，式中Δx 是纸带上两计数点间的距离，可用刻度尺测量， Δt 为小车经过Δx 的时间，可由打点间隔算出。 2．验证的表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。 [实验方案四] 利用斜槽滚球验证动量守恒定律 [实验器材] 斜槽、小球(两个)、天平、复写纸、白纸等。 [实验步骤] 1．测质量：用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球。 2．安装：按照如图所示安装实验装置。调整固定斜槽使斜槽底端水平。 3．铺纸：白纸在下，复写纸在上且在适当位置铺放好。记下重垂线所指的位置 O。 4．放球找点：不放被撞小球，每次让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复 10 次。用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面。圆心 P 就是小球落点的平均位置。 5．碰撞找点：把被撞小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽同一高度自由滚下， 使它们发生碰撞，重复实验 10 次。用步骤 4 的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置 M 和被撞小球落点的平均位置 N。如图所示。 6．验证：连接 ON，测量线段 OP、OM、ON 的长度。将测量数据填入表中。最后代入 m1·OP ＝m1·OM＋m2·ON，看在误差允许的范围内是否成立。 7．结束：整理好实验器材放回原处。 [数据处理] 验证的表达式：m1·OP＝m1·OM＋m2·ON。 注意事项 1．前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。 2．方案提醒 (1)若利用气垫导轨进行验证，调整气垫导轨时，应注意利用水平仪确保导轨水平。 (2)若利用摆球进行验证，两摆球静止时球心应在同一水平线上，且刚好接触，摆线竖 直，将摆球拉起后，两摆线应在同一竖直面内。 (3)若利用两小车相碰进行验证，要注意平衡摩擦力。 (4)若利用平抛运动规律进行验证，安装实验装置时，应注意调整斜槽，使斜槽末端水 平，且选质量较大的小球为入射小球。 3．探究结论：寻找的不变量必须在各种碰撞情况下都不变。 误差分析 1．系统误差：主要来源于装置本身是否符合要求。 (1)碰撞是否为一维。 (2)实验是否满足动量守恒的条件，如气垫导轨是否水平，两球是否等大，用长木板实 验时是否平衡掉摩擦力。 2．偶然误差：主要来源于质量 m1、m2 和碰撞前后速度(或水平射程)的测量。 突破点(一) 实验原理与操作 [典例 1] 如图，用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水 平部分碰撞前后的动量关系。 (1)实验中，直接测定小球碰撞前后的速度是不容易的。但是，可以通过仅测量 ________(填选项前的符号)，间接地解决这个问题。 A．小球开始释放高度 h B．小球抛出点距地面的高度 H C．小球做平抛运动的射程 (2)图中 O 点是小球抛出点在地面上的垂直投影，实验时先让入射球 m1 多次从倾斜轨道 上 S 位置静止释放，找到其平均落地点的位置 P，测量平抛射程 OP，然后，把被碰小球 m2 静置于轨道的水平部分，再将入射球 m1 从斜轨上 S 位置静止释放，与小球 m2 相碰，并多次 重复。 接下来要完成的必要步骤是________。(填选项前的符号) A．用天平测量两个小球的质量 m1、m2 B．测量小球 m1 开始释放高度 h C．测量抛出点距地面的高度 H D．分别找到 m1、m2 相碰后平均落地点的位置 M、N E．测量平抛射程 OM、ON (3)若两球相碰前后的动量守恒，其表达式可表示为__________________[用(2)中测量 的量表示]； 若碰撞是弹性碰撞，那么还应满足的表达式为________________[用(2)中测量的量表 示]。 [解析] (1)小球碰前和碰后的速度都可用平抛运动来测定，即 v＝x t 。即 m1 OP t ＝m1 OM t ＋ m2 ON t ；而由 H＝1 2 gt2 知，每次下落竖直高度相等，平抛时间相等。则可得 m1·OP＝m1·OM＋ m2·ON。故只需测射程，因而选 C。 (2)由表达式知：在 OP 已知时，需测量 m1、m2、OM 和 ON，故必要步骤 A、D、E。 (3)若为弹性碰撞，则同时满足动能守恒。 1 2 m1 OP t 2＝1 2 m1 OM t 2＋1 2 m2 ON t 2 m1·OP2＝m1·OM2＋m2·ON2。 [答案] (1)C (2)ADE (3)m1·OM＋m2·ON＝m1·OP m1·OM 2＋m2·ON2＝m1·OP2 [集训冲关] 1．(2017·南宁模拟)如图所示为“验证碰撞中的动量守恒”实验装置示意图。 (1)入射小球 1 与被碰小球 2 直径相同，均为 d，它们的质量相比 较，应是 m1________m2。 (2)为了保证小球做平抛运动，必须调整斜槽使______________。 (3)继续实验步骤为： A．在地面上依次铺白纸和复写纸。 B．确定重锤对应点 O。 C．不放球 2，让球 1 从斜槽滑下，确定它落地点位置 P。 D．把球 2 放在立柱上，让球 1 从斜槽滑下，与球 2 正碰后，确定球 1 和球 2 落地点位 置 M 和 N。 E．用刻度尺量 OM、OP、ON 的长度。 F．看 m1 OM ＋m2 ON 与 m1 OP 是否相等，以验证动量守恒。 上述步骤有几步不完善或有错误，请指出并写出相应的正确步骤。 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。 解析：(1)入射小球 1 与被碰小球 2 直径相同，即 d1＝d2，为防止两球碰撞后入射球反 弹，入射球质量应大于被碰球质量，即：m1>m2。 (2)要使小球做平抛运动，则斜槽的末端必须水平。 (3)为使小球离开轨道时的初速度相等，每次释放小球时应从同一高度由静止释放，故 步骤 D 不完善；两球离开轨道后做平抛运动，它们抛出点的高度相等，在空中的运动时间 t 相等，若碰撞过程动量守恒，则有：m1v1＝m1v1′＋m2v2′，两边同乘以 t 得：m1v1t＝m1v1′t ＋m2v2′t， 即为：m1 OP ＝m1 OM ＋m2( ON －d)，故步骤 F 错误。 答案：(1)> (2)斜槽末端切线水平 (3)D 不完善，小球 1 应从斜槽的同一高度由静止 释放； F 错误，应验证：m1OP＝m1OM＋m2(ON－d) 2．(2017·黄冈检测)某同学利用打点计时器和气垫导轨做验证动量守恒定律的实验， 气垫导轨装置如图甲所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架等组成。在空腔导轨 的两个工作面上均匀分布着一定数量的小孔，向导轨空腔内不断通入压缩空气，空气会从小 孔中喷出，使滑块稳定地漂浮在导轨上，这样就大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起 的误差。 下面是实验的主要步骤： ①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平； ②向气垫导轨通入压缩空气； ③把打点计时器固定在紧靠气垫导轨左端弹射架的外侧，将纸带穿过打点计时器和弹射 架并固定在滑块 1 的左端，调节打点计时器的高度，直至滑块拖着纸带移动时，纸带始终在 水平方向； ④使滑块 1 挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳； ⑤把滑块 2 放在气垫导轨的中间；已知碰后两滑块一起运动； ⑥先__________________，然后________，让滑块带动纸带一起运动； ⑦取下纸带，重复步骤④⑤⑥，选出较理想的纸带如图乙所示； ⑧测得滑块 1(包括撞针)的质量为 310 g，滑块 2(包括橡皮泥)的质量为 205 g。 (1)请完善实验步骤⑥的内容(填到步骤⑥横线上)。 (2)已知打点计时器每隔 0.02 s 打一个点，计算可知两滑块相互作用前质量与速度的乘 积之和为______kg·m/s；两滑块相互作用以后质量与速度的乘积之和为______kg·m/s。(保 留 3 位有效数字) (3)试说明(2)问中两结果不完全相等的主要原因是______________________________。 解析：(1)使用打点计时器时应先接通电源，后放开滑块 1。 (2)作用前滑块 1 的速度 v1＝0.2 0.1 m/s＝2 m/s，其质量与速度的乘积为 0.310×2 kg·m/s ＝0.620 kg·m/s，作用后滑块 1 和滑块 2 具有相同的速度 v＝0.168 0.14 m/s＝1.2 m/s，其质 量与速度的乘积之和为(0.310＋0.205)×1.2 kg·m/s＝0.618 kg·m/s。 (3)相互作用前后动量减小的主要原因是纸带与打点计时器的限位孔有摩擦。 答案：(1)接通打点计时器的电源 放开滑块 1 (2)0.620 0.618 (3)纸带与打点计时器的限位孔有摩擦 突破点(二) 数据处理与误差分析 [典例 2] (2014·全国卷Ⅱ)现利用图所示的装置验证动量守恒定律。在图中，气垫导 轨上有 A、B 两个滑块，滑块 A 右侧带有一弹簧片，左侧与打点计时器(图中未画出)的纸带 相连；滑块 B 左侧也带有一弹簧片，上面固定一遮光片，光电计时器(未完全画出)可以记录 遮光片通过光电门的时间。 实验测得滑块 A 的质量 m1＝0.310 kg，滑块 B 的质量 m2＝0.108 kg，遮光片的宽度 d＝ 1.00 cm；打点计时器所用交流电的频率 f＝50.0 Hz。 将光电门固定在滑块 B 的右侧，启动打点计时器，给滑块 A 一向右的初速度，使它与 B 相碰。碰后光电计时器显示的时间为ΔtB＝3.500 ms，碰撞前后打出的纸带如图所示。 若实验允许的相对误差绝对值 |碰撞前后总动量之差 碰前总动量 |×100% 最大为 5%，本实验是否在误差范围内验证了动量守恒定律？写出运算过程。 [解析] 按定义，滑块运动的瞬时速度大小 v＝Δs Δt ① 式中Δs 为滑块在很短时间Δt 内走过的路程。 设纸带上打出相邻两点的时间间隔为ΔtA，则 ΔtA＝1 f ＝0.02 s② ΔtA 可视为很短。 设滑块 A 在碰撞前、后瞬时速度大小分别为 v0、v1。将②式和图给实验数据代入①式得 v0＝2.00 m/s③ v1＝0.970 m/s④ 设滑块 B 在碰撞后的速度大小为 v2，由①式有 v2＝ d ΔtB ⑤ 代入题给实验数据得 v2＝2.86 m/s⑥ 设两滑块在碰撞前、后的总动量分别为 p 和 p′，则 p＝m1v0⑦ p′＝m1v1＋m2v2⑧ 两滑块在碰撞前后总动量相对误差的绝对值为 δp＝|p－p′ p |×100%⑨ 联立③④⑥⑦⑧⑨式并代入有关数据，得 δp＝1.7%<5%⑩ 因此，本实验在允许的误差范围内验证了动量守恒定律。 [答案] 见解析 [集训冲关] 3．(2017·咸阳质检)利用气垫导轨做实验来验证动量守恒定律：开始时两个滑块静止， 它们之间有一根被压缩的轻弹簧，滑块用绳子连接，绳子烧断后，两个滑块向相反方向运动。 得到如图所示的两个滑块 A、B 相互作用后运动过程的频闪照片，频闪的频率为 10 Hz。已 知滑块 A、B 的质量分别为 200 g、300 g，根据照片记录的信息，A、B 离开弹簧后，A 滑块 做 匀 速 直 线 运 动 ， 其 速 度 大 小 为 ________m/s ， 本 次 实 验 中 得 出 的 结 论 是 ___________________________________________________。 解析：由题图可知，绳子烧断后，A、B 均做匀速直线运动。开始时有：vA＝0，vB＝0， A、B 被弹开后有：vA′＝ 0.009 1 10 m/s＝0.09 m/s，vB′＝ 0.006 1 10 m/s＝0.06 m/s，mAvA′＝ 0.2×0.09 kg·m/s＝0.018 kg·m/s，mBvB′＝0.3×0.06 kg·m/s＝0.018 kg·m/s，由此 可得 mAvA′＝mBvB′，即 0＝mBvB′－mAvA′。结论是：两滑块组成的系统在相互作用过程中动 量守恒。 答案：0.09 两滑块组成的系统在相互作用过程中动量守恒 4．某同学设计了一个用打点计时器“探究碰撞中的不变量”的实验，在小车 A 的前端 粘有橡皮泥，设法使小车 A 做匀速直线运动，然后与原来静止的小车 B 相碰并黏在一起继续 做匀速运动，如图所示。在小车 A 的后面连着纸带，电磁打点计时器的频率为 50 Hz。 (1)若已得到打点纸带如图所示，并测得各计数点间的距离。则应选图中________段来 计算 A 碰前的速度，应选________段来计算 A 和 B 碰后的速度。 (2)已测得小车 A 的质量 mA＝0.40 kg，小车 B 的质量 mB＝0.20 kg，则由以上结果可得 碰前 mAvA＋mBvB＝________kg·m/s，碰后 mAvA′＋mBvB′＝________kg·m/s。 (3)从实验数据的处理结果来看，A、B 碰撞的过程中，可能哪个物理量是不变的？ ________________________________________________________________________。 解析：(1)因为小车 A 与 B 碰撞前、后都做匀速运动，且碰后 A 与 B 黏在一起，其共同 速度比 A 原来的速度小。所以，应选点迹分布均匀且点距较大的 BC 段计算 A 碰前的速度， 选点迹分布均匀且点距较小的 DE 段计算 A 和 B 碰后的速度。 (2)由题图可知，碰前 A 的速度和碰后 A、B 的共同速度分别为：vA＝10.50×10－2 0.02×5 m/s ＝1.05 m/s， vA′＝vB′＝6.95×10－2 0.02×5 m/s＝0.695 m/s。 故碰撞前：mAvA＋mBvB＝0.40×1.05 kg·m/s＋0.20×0 kg·m/s＝0.420 kg·m/s。 碰 撞 后 ： mAvA′ ＋ mBvB′ ＝ (mA ＋ mB)vA′ ＝ (0.40 ＋ 0.20)×0.695 kg·m/s ＝ 0.417 kg·m/s。 (3)数据处理表明，mAvA＋mBvB≈mAvA′＋mBvB′，即在实验误差允许的范围内，A、B 碰撞 前后总的物理量 mv 是不变的。 答案：(1)BC DE (2)0.420 0.417 (3)mv 突破点(三) 实验的改进与创新 [典例 3] 为了验证动量守恒定律(探究碰撞中的不变量)，某同学选取了两个材质相 同、体积不等的立方体滑块 A 和 B，按下述步骤进行实验： 步骤 1：在 A、B 的相撞面分别装上橡皮泥，以便二者相撞以后能够立刻结为整体； 步骤 2：安装好实验装置如图，铝质轨道槽的左端是倾斜槽，右端是长直水平槽。倾斜 槽和水平槽由一小段圆弧连接，轨道槽被固定在水平桌面上，在轨道槽的侧面与轨道等高且 适当远处装一台数码频闪照相机； 步骤 3：让滑块 B 静置于水平槽的某处，滑块 A 从斜槽某处由静止释放，同时开始频闪 拍摄，直到 A、B 停止运动，得到一幅多次曝光的数码照片； 步骤 4：多次重复步骤 3，得到多幅照片，挑出其中最理想的一幅，打印出来，将刻度 尺紧靠照片放置，如图所示。 (1)由图分析可知，滑块 A 与滑块 B 碰撞发生的位置________。 ①在 P5、P6 之间 ②在 P6 处 ③在 P6、P7 之间 (2)为了探究碰撞中动量是否守恒，需要直接测量或读取的物理量是________。 ①A、B 两个滑块的质量 m1 和 m2 ②滑块 A 释放时距桌面的高度 ③频闪照相的周期 ④照片尺寸和实际尺寸的比例 ⑤照片上测得的 s45、s56 和 s67、s78 ⑥照片上测得的 s34、s45、s56 和 s67、s78、s89 ⑦滑块与桌面间的动摩擦因数 写出验证动量守恒的表达式____________________________________________。 [解析] (1)由图可知 s12＝3.00 cm，s23＝2.80 cm，s34＝2.60 cm，s45＝2.40 cm，s56 ＝2.20 cm，s67＝1.60 cm，s78＝1.40 cm，s89＝1.20 cm。根据匀变速直线运动的特点可知 A、 B 相撞的位置在 P6 处。 (2)为了探究 A、B 相撞前后动量是否守恒，就要得到碰撞前后的动量，所以要测量 A、 B 两个滑块的质量 m1、m2 和碰撞前后的速度。设照相机拍摄时间间隔为 T，则 P4 处的速度为 v4＝s34＋s45 2T ，P5 处的速度为 v5＝s45＋s56 2T ，因为 v5＝v4＋v6 2 ，所以 A、B 碰撞前 A 在 P6 处的速度 为 v6＝s45＋2s56－s34 2T ；同理可得碰撞后 AB 在 P6 处的速度为 v6′＝2s67＋s78－s89 2T 。若动量守恒 则有 m1v6＝(m1＋m2)v6′，整理得 m1(s45＋2s56－s34)＝(m1＋m2)(2s67＋s78－s89)。因此需要测量 或读取的物理量是①⑥。 [答案] (1)② (2)①⑥ m1(s45＋2s56－s34)＝(m1＋m2)(2s67＋s78－s89) [集训冲关] 5.某同学利用如图所示的装置验证动量守恒定律。图中两摆摆长相同， 悬挂于同一高度，A、B 两摆球均很小，质量之比为 1∶2。当两摆球均处于自 由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动 B 球使其摆线伸直并与竖直 方向成 45°角，然后将其由静止释放。结果观察到两摆球粘在一起摆动，且 最大摆角为 30°。若本实验允许的最大误差为±4%，此实验是否成功地验证了动量守恒定 律？ 解析：设摆球 A、B 的质量分别为 mA、mB，摆长为 l，B 球的初始高度为 h1，碰撞前 B 球 的速度为 vB。在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得 h1＝l(1－cos 45°) 1 2 mBvB 2＝mBgh1 设碰撞前、后两摆球的总动量的大小分别为 p1、p2。有 p1＝mBvB 联立得：p1＝mB 2gl 1－cos 45° 。 同理可得： p2＝(mA＋mB) 2gl 1－cos 30° 。 则有：p2 p1 ＝mA＋mB mB 1－cos 30° 1－cos 45° 。 代入已知条件得： p2 p1 2≈1.03 由此可以推出|p2－p1 p1 |≤4% 所以，此实验在规定的误差范围内验证了动量守恒定律。 答案：见解析 6.如图是用来验证动量守恒的实验装置，弹性球 1 用细线悬挂于 O 点，O 点下方桌子的边沿有一竖直立柱。实验时，调节悬点，使弹性球 1 静止时恰与立柱上的球 2 接触且两球等高。将球 1 拉到 A 点，并使之 静止，同时把球 2 放在立柱上。释放球 1，当它摆到悬点正下方时与球 2 发生对心碰撞，碰后球 1 向左最远可摆到 B 点，球 2 落到水平地面上 的 C 点。测出有关数据即可验证 1、2 两球碰撞时动量守恒。现已测出 A 点离水平桌面的距 离为 a、B 点离水平桌面的距离为 b，C 点与桌子边沿间的水平距离为 c。此处， (1)还需要测量的量是________、________和________。 (2)根据测量的数据，该实验中动量守恒的表达式为__________________。(忽略小球的 大小) 解析：(1)要验证动量守恒必须知道两球碰撞前后的动量变化，根据弹性球 1 碰撞前后 的高度 a 和 b，由机械能守恒可以求出碰撞前后的速度，故只要再测量弹性球 1 的质量 m1， 就能求出弹性球 1 的动量变化；根据平抛运动的规律只要测出立柱高 h 和桌面高 H 就可以求 出弹性球 2 碰撞前后的速度变化，故只要测量弹性球 2 的质量和立柱高 h、桌面高 H 就能求 出弹性球 2 的动量变化。 (2)根据(1)的解析可以写出动量守恒的方程 2m1 a－h＝2m1 b－h＋m2 c H＋h 。 答案：(1)弹性球 1、2 的质量 m1、m2 立柱高 h 桌面高 H (2)2m1 a－h＝2m1 b－h＋ m2 c H＋h [真题集训·章末验收] 高考真题集中演练——把脉命题规律和趋势 命题点一：功和功率 1．(多选)(2016·全国甲卷)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球 质量。两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速 率无关。若它们下落相同的距离，则( ) A．甲球用的时间比乙球长 B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小 C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小 D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功 解析：选 BD 设小球在下落过程中所受阻力 F 阻＝kR，k 为常数，R 为小球半径，由牛 顿第二定律可知：mg－F 阻＝ma，由 m＝ρV＝4 3 ρπR3 知：4 3 ρπR3g－kR＝4 3 ρπR3a，即 a＝g － 3k 4ρπ ·1 R2，故知：R 越大，a 越大，即下落过程中 a 甲＞a 乙，选项 C 错误；下落相同的距 离，由 h＝1 2 at2 知，a 越大，t 越小，选项 A 错误；由 2ah＝v2－v0 2 知，v0＝0，a 越大，v 越 大，选项 B 正确；由 W 阻＝－F 阻 h 知，甲球克服阻力做的功更大一些，选项 D 正确。 2．(2014·全国卷Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上。现用一大小为 F1 的水平拉力拉动 物体，经过一段时间后其速度变为 v。若将水平拉力的大小改为 F2，物体从静止开始经过同 样的时间后速度变为 2v。对于上述两个过程，用 WF1、WF2 分别表示拉力 F1、F2 所做的功，Wf1、 Wf2 分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( ) A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1 B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1 C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1 D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1 解析：选 C 因为物体做匀加速度直线运动，所以 x1＝v 2 t，x2＝2v 2 t，而 Wf1＝μmgx1，Wf2 ＝μmgx2，所以有 Wf2＝2Wf1，根据动能定理有：WF1－Wf1＝1 2 mv2，WF2－Wf2＝2mv2，所以有 WF2＜ 4WF1，C 项正确。 命题点二：动能定理和机械能守恒定律 3．(2014·全国卷Ⅱ)取水平地面为重力势能零点。一物块从某一高度水平抛出，在抛 出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹 角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.5π 12 解析：选 B 设物块水平抛出的初速度为 v0，高度为 h，由机械能守恒定律得 1 2 mv0 2＝mgh， 即 v0＝ 2gh。物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，故落地时的竖直分速度 vy＝ 2gh＝ vx＝v0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝π 4 ，故选项 B 正确，选项 A、C、 D 错误。 4．(2014·全国卷Ⅱ)如图，一质量为 M 的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内； 套在大环上质量为 m 的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下。重 力加速度大小为 g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为 ( ) A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg 解析：选 C 设大环半径为 R，质量为 m 的小环滑下过程中遵守机械能守恒定律，所以 1 2 mv2＝mg·2R。小环滑到大环的最低点时的速度为 v＝2 gR，根据牛顿第二定律得 FN－mg＝ mv2 R ，所以在最低点时大环对小环的支持力 FN＝mg＋mv2 R ＝5mg。根据牛顿第三定律知，小环对 大环的压力 FN′＝FN＝5mg，方向向下。对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力 T＝Mg＋FN′ ＝Mg＋5mg。根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为 T′＝T＝Mg＋5mg，故选项 C 正 确，选项 A、B、D 错误。 5．(多选)(2015·全国卷Ⅱ)如图，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套 在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上。a、b 通过铰 链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b 可视为质点，重 力加速度大小为 g。则( ) A．a 落地前，轻杆对 b 一直做正功 B．a 落地时速度大小为 2gh C．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于 g D．a 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为 mg 解析：选 BD 由题意知，系统机械能守恒。设某时刻 a、b 的速度分别为 va、vb。此时 刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将 va、vb 分解，如图。因为刚性杆不可伸长，所以沿杆 的分速度 v∥与 v∥′是相等的，即 vacos θ＝vb sin θ。当 a 滑至地面时θ＝90°，此时 vb ＝0，由系统机械能守恒得 mgh＝1 2 mva 2，解得 va＝ 2gh，选项 B 正确；同时由于 b 初、末速 度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对 b 先做正功后做负功，选项 A 错误；杆 对 b 的作用先是推力后是拉力，对 a 则先是阻力后是动力，即 a 的加速度在受到杆的向下的 拉力作用时大于 g，选项 C 错误；b 的动能最大时，杆对 a、b 的作用力为零，此时 a 的机械 能最小，b 只受重力和支持力，所以 b 对地面的压力大小为 mg，选项 D 正确。 6．(2016·全国乙卷)如图，一轻弹簧原长为 2R，其一端固定 在倾角为 37°的固定直轨道 AC 的底端 A 处，另一端位于直轨道上 B 处，弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为 5 6 R 的光滑圆弧轨道 相切于 C 点，AC＝7R，A、B、C、D 均在同一竖直平面内。质量为 m 的小物块 P 自 C 点由静止开始下滑，最低到达 E 点(未画出)随后 P 沿轨道被弹回，最高到达 F 点，AF＝4R。已知 P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝1 4 ，重力加速 度大小为 g。(取 sin 37°＝3 5 ，cos 37°＝4 5 ) (1)求 P 第一次运动到 B 点时速度的大小。 (2)求 P 运动到 E 点时弹簧的弹性势能。 (3)改变物块 P 的质量，将 P 推至 E 点，从静止开始释放。已知 P 自圆弧轨道的最高点 D 处水平飞出后，恰好通过 G 点。G 点在 C 点左下方，与 C 点水平相距 7 2 R、竖直相距 R，求 P 运动到 D 点时速度的大小和改变后 P 的质量。 解析：(1)根据题意知，B、C 之间的距离 l 为 l＝7R－2R① 设 P 到达 B 点时的速度为 vB，由动能定理得 mglsin θ－μmglcos θ＝1 2 mvB 2② 式中θ＝37°。联立①②式并由题给条件得 vB＝2 gR。③ (2)设 BE＝x。P 到达 E 点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为 Ep。P 由 B 点运动到 E 点的过程中，由动能定理有 mgxsin θ－μmgxcos θ－Ep＝0－1 2 mvB 2④ E、F 之间的距离 l1 为 l1＝4R－2R＋x⑤ P 到达 E 点后反弹，从 E 点运动到 F 点的过程中，由动能定理有 Ep－mgl1sin θ－μmgl1cos θ＝0⑥ 联立③④⑤⑥式并由题给条件得 x＝R⑦ Ep＝12 5 mgR。⑧ (3)设改变后 P 的质量为 m1。D 点与 G 点的水平距离 x1 和竖直距离 y1 分别为 x1＝7 2 R－5 6 Rsin θ⑨ y1＝R＋5 6 R＋5 6 Rcos θ⑩ 式中，已应用了过 C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。 设 P 在 D 点的速度为 vD，由 D 点运动到 G 点的时间为 t。 由平抛运动公式有 y1＝1 2 gt2⑪ x1＝vDt⑫ 联立⑨⑩⑪⑫式得 vD＝3 5 5gR⑬ 设 P 在 C 点速度的大小为 vC。在 P 由 C 点运动到 D 点的过程中机械能守恒，有 1 2 m1vC 2＝1 2 m1vD 2＋m1g 5 6 R＋5 6 Rcos θ ⑭ P 由 E 点运动到 C 点的过程中，由动能定理有 Ep－m1g(x＋5R)sin θ－μm1g(x＋5R)cos θ＝1 2 m1vC 2⑮ 联立⑦⑧⑬⑭⑮式得 m1＝1 3 m。⑯ 答案：(1)2 gR (2)12 5 mgR (3)3 5 5gR 1 3 m 命题点三：功能关系与能量守恒定律 7．(2015·全国卷Ⅰ)如图，一半径为 R、粗糙程度处处相同的半 圆形轨道竖直固定放置，直径 POQ 水平。一质量为 m 的质点自 P 点上 方高度 R 处由静止开始下落，恰好从 P 点进入轨道。质点滑到轨道最 低点 N 时，对轨道的压力为 4mg，g 为重力加速度的大小。用 W 表示 质点从 P 点运动到 N 点的过程中克服摩擦力所做的功。则( ) A．W＝1 2 mgR，质点恰好可以到达 Q 点 B．W>1 2 mgR，质点不能到达 Q 点 C．W＝1 2 mgR，质点到达 Q 点后，继续上升一段距离 D．W<1 2 mgR，质点到达 Q 点后，继续上升一段距离 解析：选 C 设质点到达 N 点的速度为 vN，在 N 点质点受到轨道的弹力为 FN，则 FN－mg ＝mvN 2 R ，已知 FN＝FN′＝4mg，则质点到达 N 点的动能为 EkN＝1 2 mvN 2＝3 2 mgR。质点由开始至 N 点的过程，由动能定理得 mg·2R＋Wf＝EkN－0，解得摩擦力做的功为 Wf＝－1 2 mgR，即克服摩 擦力做的功为 W＝－Wf＝1 2 mgR。设从 N 到 Q 的过程中克服摩擦力做功为 W′，则 W′

查看更多