【数学】2020届一轮复习人教A版全称量词与存在量词学案理

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教A版全称量词与存在量词学案理

第三节 全称量词与存在量词 ‎[考纲传真] 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对会有一个量词的命题进行否定.‎ ‎1.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ‎∀‎ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ‎∃‎ ‎2.全称命题和特称命题 名称 形式 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ 否定 ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎∀x∈M,p(x)‎ 含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. ( )‎ ‎(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )‎ ‎(3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词. ( )‎ ‎(4)∃x0∈M,p(x0)与∀x∈M,非p(x)的真假性相反. ( )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.下列命题中全称命题的个数是( )‎ ‎①任意一个自然数都是正整数;‎ ‎②有的等差数列也是等比数列;‎ ‎③三角形的内角和是180°.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎[答案] C ‎3.下列命题中的假命题是( )‎ A.∀x∈R,2x-1>0‎ B.∀x∈N*,(x-1)2>0‎ C.∃x∈R,lg x<1‎ D.∃x∈R,tan x=2‎ B [对于B,当x=1时,(x-1)2=0,故B项是假命题.]‎ ‎4.命题:“∃x0∈R,x-ax0+1<0”的否定为________.‎ ‎∀x∈R,x2-ax+1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“∃x0∈R,x-ax0+1<0”的否定是“∀x∈R,x2-ax+1≥0”.]‎ ‎5.若命题“∀x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[-8,0] [当a=0时,不等式显然成立.‎ 当a≠0时,依题意知 解得-8≤a<0.‎ 综上可知-8≤a≤0.]‎ ‎ ‎ 全称命题与特称命题的辨析 ‎【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.‎ ‎(1)对任意x∈N,2x+1是奇数;‎ ‎(2)每一个矩形的对角线都互相平分;‎ ‎(3)对任意x∈R,-x2-1<0;‎ ‎(4)对某些实数x,有3x+2>0;‎ ‎(5)存在x0∈Q,x=3;‎ ‎(6)不相交的两条直线是平行直线.‎ ‎[解] (1)是全称命题.因为对任意x∈N,2x+1都是奇数,所以“对任意x∈N,2x+1是奇数”是真命题.‎ ‎(2)是全称命题.由矩形的性质可知此命题是真命题.‎ ‎(3)是全称命题.因为对任意x∈R,-x2-1<0恒成立,所以是真命题.‎ ‎(4)命题中含有存在量词“某些”,故为特称命题,又当x>-时,3x+2>0,故命题为真命题.‎ ‎(5)含有“存在”量词,故为特称命题,由于使x2=3成立的实数只有x=±,不属于有理数,故命题为假命题.‎ ‎(6)是全称命题.不相交的两条直线还可能是异面直线.故是假命题.‎ ‎[规律方法] 判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤,‎ ‎1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.‎ (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.‎ (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.‎ ‎ 用全称量词或存在量词表示下列语句:‎ ‎(1)有理数都能写成分数形式;‎ ‎(2)方程x2+2x+8=0有实数解;‎ ‎(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.‎ ‎[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式.‎ ‎(2)存在实数x,使方程x2+2x+8=0成立.‎ ‎(3)存在一个实数x,它乘以任意一个实数都等于0.‎ 含有一个量词的命题的否定 ‎【例2】 (1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( )‎ A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1‎ B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1‎ C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1‎ D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1‎ ‎(2)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是( )‎ A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2‎ B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2‎ C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2‎ D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2‎ ‎(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定,∃改为∀,x0改为x,否定结论,即ln x≠x-1,故选A.‎ ‎(2)结合全(特)称命题的否定形式可知,D选项正确.]‎ ‎[规律方法] 1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作 ‎(1)改写量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词.‎ ‎(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎2.全称命题、特称命题的真假判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.‎ ‎(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.‎ ‎ (1)命题:“∃x0>0,使2x0(x0-a)>1”,这个命题的否定是( )‎ A.∀x>0,使2x(x-a)>1‎ B.∀x>0,使2x(x-a)≤1‎ C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1‎ D.∀x≤0,使2x(x-a)>1‎ ‎(2)下列命题中,真命题是( )‎ A.∀x∈R,x2-x-1>0‎ B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sin α+sin β C.∃x∈R,x2-x+1=0‎ D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cos α+cos β ‎(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x>0,使2x(x-a)≤1,故选B.‎ ‎(2)因为x2-x-1=2-≥-,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1=2+≥,所以C是假命题.当α=β=时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D是真命题,故选D.]‎ 根据命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】 (1)已知命题“∃x0∈R,使2x+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )‎ A.(-∞,-1) B.(-1,3)‎ C.(-3,+∞) D.(-3,1)‎ ‎(2)已知p:∃x0∈R,mx+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p和q都是假命题,则实数m的取值范围为( )‎ A.m≥2 B.m≤-2‎ C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2‎ ‎(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,为真命题,‎ 则Δ=(a-1)2-4×2×<0,‎ 则-2<a-1<2,则-1<a<3,故选B.‎ ‎(2)依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.‎ 因此,由p,q均为假命题得 即m≥2,故选A.]‎ ‎[规律方法] 根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤 (1)求出当命题p,q为真时所含参数的取值范围.‎ (2)根据命题p,q的真假情况,利用集合的运算(并、交、补)求出参数的取值范围.‎ ‎ 已知命题p:∀x∈[1,2],使得ex-a≥0.若非p是假命题,则实数a的取值范围为( )‎ A.(-∞,e2] B.(-∞,e]‎ C.[e,+∞) D.[e2,+∞)‎ B [非p是假命题,则p是真命题,当x∈[1,2]时,e≤ex≤e2,由题意知a≤(ex)min,x∈[1,2],因此a≤e,故选B.]‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档