河北省张家口市2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

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张家口市2019-2020学年第一学期阶段测试卷 高二数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（ ）‎ ‎ ① ② ③ ④‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由散点图的形状进行判定.‎ 详解：由散点图可以发现，图③中的变量负相关，‎ 图④的变量正相关.‎ 点睛：本题考查散点图、变量的相关性等知识，意在考查学生的识图、用图能力.‎ ‎2.一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为，则估计样本在内的数据个数为( )‎ 分组 频数 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本在内的频率列方程，解方程即得解.‎ ‎【详解】设样本在内的数据个数为x,‎ 则，‎ 所以x=15.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查频率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.为了解某社区居民有无收看“青运会开幕式”，某记者分别从某社区岁，岁，岁的三个年龄段中的人，人，人中，采用分层抽样的方法共抽查了人进行调查，若在岁这个年龄段中抽查了人，那么为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样对应比例关系列方程,解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以x=240.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎4.命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是( )‎ A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简命题p和命题q,再根据命题的真假得到x的不等式组，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】由题得命题p:x＞2，‎ 命题q:-1＜x＜5，‎ 因为为假命题，为真命题，‎ 所以p真q假或p假q真，‎ 所以，‎ 所以x≥5或，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.下面的茎叶图表示的是甲乙两人在次综合测评中的成绩、其中一个数字被污损，已知甲、乙的平均成绩相同，则被污损的数字为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算甲乙均值，根据相等列方程,解之即得解.‎ ‎【详解】设被污损的数字为x,‎ 由题得,‎ 解之得x=9.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查茎叶图和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）‎ A. A与C互斥 B. 任何两个均互斥 C. B与C互斥 D. 任何两个均不互斥 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案 解答：解：A为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B为“三件产品全是次品”，‎ C为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件 由此知，A与B是互斥事件，A与C是对立事件，也是互斥事件，B与C是包含关系，故选项B正确 故选A ‎7.已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到x＞0，再利用几何概型概率公式求解.‎ ‎【详解】由题得 所以x≥0，‎ 由几何概型的概率公式得的概率为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.从集合和集合中各取一个数，那么这两个数之和能被整除的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出所有基本事件数，以及两个数之和能被整除的基本事件数，再根据古典概型概率公式求解.‎ ‎【详解】从集合，3，5，7，，，4，6，各取一个数，基本事件有，，， ，，，，，，，，，，，， ，，，，共20个；‎ 其中两个数的和被3整除的基本事件有，，，，，，，（9，6）共7个，‎ 两个数的和能被3整除的概率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.下列判断正确的个数是( )‎ ‎①“”是函数“的最小正周期为”的充分不必要条件；‎ ‎②若为真命题，则，均为假命题；‎ ‎③，的否定是： ，‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题①，先求出函数f(x)中的的值，再利用充要条件的定义判断；对命题②，利用复合命题的真假进行判断；对命题③利用特称命题的否定解答.‎ ‎【详解】对于①，的最小正周期为2π，所以 所以“”是函数“的最小正周期为”的充分不必要条件，所以该命题是正确的；‎ 对于②，若为真命题，则，均为假命题，所以该命题是正确的；‎ 对于③，，的否定是： ，，所以该命题是错误的.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查充要条件的判断和复合命题真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.为激发学生学习其趣，老师上课时在板上写出三个集合：，，，然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于的正整数；乙：是成立的充分不必要条件；丙：是成立的必要不充分条件.若三位同学说的都对，则“”中的数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出两个集合，，再根据三位同学的描述确定集合与两个集合，之间的关系，推测出的可能取值.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由是成立的充分不必要条件知，真包含于，‎ 故，再由此数为小于6的正整数得出，‎ 由是成立的必要不充分条件得出真包含于，‎ 故，得出，‎ 所以，‎ 所以. ‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查集合的关系和充要条件的应用，考查分式不等式和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 二、填空题 ‎11.某班级有名学生，现采取系统抽样的方法在这名学生中抽取名，将这名学生随机編号号，并分组，第一组，第二组，，第十组，若在第三组中抽得的号码为号的学生，在第八组中抽得的号码为_____的学生.‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用系统抽样的特点得到第八组中抽取的号码为得解.‎ ‎【详解】由于系统抽样得到的号码是一个以6为公差的等差数列，‎ 所以第八组中抽取的号码为.‎ 故答案为：44‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎12.曙光中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出名学生，将其成绩(均为整数)分成六段，，，后画出如下部分频率分布直方图，则第四小组的频率为_______，从成绩是和的学生中选两人，他们在同一分数段的概率_______.‎ ‎【答案】 (1). 0.3 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用六个矩形的面积和为1求出第四小组的频率；（2）利用古典概型的概率公式求他们在同一分数段的概率.‎ ‎【详解】（1）第四小组的频率为1-10×0.01-10×0.015×2-10×0.025-10×0.005=0.3，‎ 所以第四小组的频率为0.3.‎ ‎（2）成绩在的学生有人，设他们为a,b,c,d,‎ 成绩在的学生有人，设他们为1,2.‎ 从6个人中选两个人，有 ‎,共15种，‎ 其中两个人在同一小组的有（1,2），共7种，‎ 由古典概型的概率公式得他们在同一分数段的概率为.‎ 故答案为： (1). 0.3 (2). ‎ ‎【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图求频率，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎13.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出正方形的边长，再由几何概型中的面积型得解．‎ ‎【详解】设，由则有，即，‎ 解得，‎ 设在上任取一点，则此点取自正方形为事件，‎ 由几何概型中的面积型得：‎ ‎（A），‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：‎ 日期 月日 月日 月日 月日 月日 温差 发芽数(颗)‎ 由表中根据月日至月的数据，求的线性回归方程中的，则为______，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程____.(填“可靠”或“不可幕”)‎ ‎【答案】 (1). (2). 可靠 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出样本中心点的坐标，再求出的值得解；（2）求出‎12月1日和‎12月5日的估计数据，再根据题意判断线性回归方程是否可靠.‎ ‎【详解】（1）由题得，‎ 所以样本中心点为（12,28），‎ 所以，‎ 所以. 所以.‎ ‎（2）由题得.‎ ‎12月1日的估计值为：,23-22=1,没有超过1.‎ ‎12月5日的估计值为：，16-16=0，没有超过1.‎ 所以求得的线性回归方程可靠.‎ 故答案为：(1). (2). 可靠 ‎【点睛】本题主要考查回归方程的求法和意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简命题p和q,再根据已知得到a的不等式组，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】由题得命题p: ,‎ q: 2＜x＜3，‎ 因为是的充分条件，‎ 所以q是p的充分条件，‎ 所以，‎ 解之得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.已知直线，与圆相交于、两点，的取值范围为_____，弦长的概率为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆心到直线的距离小于圆的半径得到k的不等式，解不等式得解；（2）利用几何概型求出弦长的概率.‎ ‎【详解】（1）由题得圆心到直线的距离 解之得.‎ ‎(2)因为，‎ 所以2，‎ 解之得，‎ 由几何概型的概率公式得弦长的概率为.‎ 故答案为： (1). (2). ‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎17.将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是的概率为_____，向上的点数之和不小于的概率为_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用古典概型的概率公式求解；（2）求出所有的基本事件和向上的点数之和不小于的基本事件的数量，再利用古典概型的概率公式即得解.‎ ‎【详解】（1）将两颗正方体型骰子投掷一次，共有6×6=36个结果，其中向上的点数之和是10的基本事件有（4,6），（5,5），（6,4），共3种，由古典概型的概率公式得向上的点数之和是的概率为.‎ ‎(2)‎ ‎ 将两颗正方体型骰子投掷一次，共有6×6=36个结果，其中向上的点数之和不小于10的基本事件有（4,6），（5,5），（6,4），（5,6），（6,5），（6,6），共6种，由古典概型的概率公式得向上的点数之和不小于的概率为.‎ 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎18.已知，命題对任意，不等式恒成立；命题存在，使得成立.‎ ‎(1)若为真命题，求的取值范围；‎ ‎(2)若为假，为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，解不等式即得解；（2）先由题得，‎ 由题得，中一个是真命题，一个是假命题，列出不等式组，解不等式组得解.‎ ‎【详解】(1)对任意，不等式恒成立，‎ 当，由对数函数的性质可知当时，的最小值为，‎ ‎，解得.‎ 因此，若为真命题时，的取值范围是.‎ ‎(2)存在，使得成立，.‎ 命题为真时，，‎ 且为假，或为真，‎ ‎，中一个是真命题，一个是假命题.‎ 当真假时，则解得；‎ 当假真时，，即.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数对数函数的性质和不等式的恒成立问题的解法，考查复合命题的真假和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.抽样得到某次考试中高二年级某班名学生的数学成绩和物理成绩如下表：‎ 学生编号 数学成绩 物里成绩 ‎(1)在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)建立关于回归方程：(系数保留到小数点后两位).‎ ‎(3)如果某学生的数学成绩为分，预测他本次的物理成绩(成绩取整数).‎ 参考公式：回归方程，其中，.‎ 参考数据：，，‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）物理成绩约为分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据表中的数据画出散点图；（2）利用最小二乘法求出关于的回归方程；（3）把代入回归方程即预测到他本次的物理成绩.‎ ‎【详解】(1)散点图如图 ‎(2)从散点图可以看出，这些点分布在一条直线附近，因此可以用公式计算.‎ 由，得，因 所以，由，，‎ 得，‎ 所以回归直线方程为.‎ ‎(3)当时，‎ 因此某学生数学成绩为分时，物理成绩约为分.‎ ‎【点睛】本题主要考查散点图和线性回归方程的求法，考查利用回归方程估计预测数据，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.某校高二年组组了一次专题培训，从参加考试的学生中出名学生，将其成(均为整数)分成为，，，，分为组，得到如图所示的率分布直方图：‎ ‎(1)求分数值不低于分的人数；‎ ‎(2)计这次考试的平均数和中位数(保留两位小数)；‎ ‎(3)已知分数在内的男性与女性的比为，为提高他们的成绩，现从分数在 的人中随机抽取人进行补课，求这人中只有一位男性的概率.‎ ‎【答案】（1）73人；（2）平均分：76.2，中位数：70.66；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题得分数值不低于分的人数为，计算即得解；（2）‎ 利用频率分布直方图中平均数和中位数公式求这次考试的平均数和中位数；（3）利用古典概型的概率公式求这2人中只有一位男性的概率.‎ ‎【详解】(1)由频率分布直方图可知满意度分数不低于分的人数为：‎ 人，‎ 所以分数不低于分的人数为人.‎ ‎(2)平均分：.‎ 中位数：，.‎ ‎(3)的样本内共有学生人，即有名男性，名女性，‎ 设三名男性分别表示为，，，四名女性分别表示为，，，，‎ 则从名学生中随机抽取名的所有可能结果为：，，，，，,，，，，,，，，,，，,，,，共种.‎ 设事件为“抽取人中只有一位男性”，则中所含的结果为：，，，,，，，,，，，共种.‎ 所以事件发生概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、平均数和中位数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若，都是从集合中任取的一个数，求函数没有零点的概率；‎ ‎(2)分别从集合和中随机取一个数和得到数对，若，，求函数在区间上是增函数的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用古典概型的概率公式求函数没有零点的概率；（2）利用几何概型的概率公式求函数在区间上是增函数的概率.‎ ‎【详解】(1)因为，都是从集合中任取的一个数，基本事件总数为个，‎ 设“函数有零点”为事件.‎ 则①当时， 取，，，时，函数均有零点，即，，.‎ ‎②当时，则即，‎ 时，，‎ 时，‎ 事件包含，，，，，共个基本事件，‎ 所以.‎ 则没有零点的事件为，‎ 则.‎ ‎(2)要使单调递增，所以即，‎ 可看成是平面区域中的所有点，‎ 而满足条件是在平面区域中的所有点，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩(分)‎ 乙的成绩(分)‎ ‎(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.‎ ‎(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：‎ 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.‎ 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.‎ 已知学生甲、乙都只会道备选题中的 道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）选方案二 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得以上(含分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.‎ ‎【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为；‎ 乙的平均成绩为，‎ 甲的成绩方差；‎ 乙的成绩方差为；‎ 由于，，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.‎ 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：‎ 从统计的角度看，甲获得以上(含分)的概率，乙获得分以上(含分)的概率 因为故派甲参赛比较合适，‎ ‎(2)道备选题中学生乙会的道分别记为，，，不会的道分别记为，.‎ 方案一：学生乙从道备选题中任意抽出道的结果有：，，，，共5种，抽中会的备选题的结果有，，，共3种.‎ 所以学生乙可参加复赛的概率.‎ 方案二：学生甲从道备选题中任意抽出道的结果有 ‎，，，，，，，，，，共种，‎ 抽中至少道会的备选题的结果有：‎ ‎，，，，，，共种，‎ 所以学生乙可参加复赛的概率 因为，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎