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文档介绍
【数学】2020届江苏一轮复习通用版14-3直线与圆、圆与圆的位置关系作业
14.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断与运用 2014江苏,9 与圆相关的弦长问题 点到直线的距离 ★★★ 2014江苏,18 直线与圆相切 2018江苏,12 直线与圆相交 平面向量数量积 2018江苏,18 直线与圆相切 直线与椭圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判断与运用 2017江苏,13 圆与圆的相交问题 平面向量数量积 ★★★ 分析解读 直线与圆、圆与圆的位置关系是江苏高考重点考查的内容之一,几乎是每年必考的.考查方式如下:一是填空题中,考查直线与圆的位置关系,或可转化为直线与圆、圆与圆的位置关系,如“隐形圆”问题;二是在解答题中,与向量、椭圆等结合,考查直线与曲线的位置关系. 破考点 【考点集训】 考点一 直线与圆的位置关系 1.(2018江苏淮阴中学期中)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 . 答案 -33,33 2.若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:x2+4x+y2-2y+3=0相切,则直线l与圆D:(x-2)2+y2=3的位置关系是 . 答案 相交 3.(2019届江苏启东中学质检)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为 . 答案 x-y+5=0 考点二 圆与圆的位置关系 已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为 . 答案 94 炼技法 【方法集训】 方法一 解决与圆有关的切线问题、弦长问题 1.(2018江苏泗阳中学期初)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点M(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 . 答案 206 2.已知直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A,B两点,弦AB的中点为M(0,1). (1)若圆C的半径为3,求实数a的值; (2)若弦AB的长为6,求实数a的值; (3)当a=1时,圆O:x2+y2=2与圆C交于M,N两点,求弦MN的长. 解析 (1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5-a,由圆的半径为3可知,5-a=3,所以a=2. (2)弦AB=2(5-a)-|CM|2=23-a=6,解得a=-6. (3)当a=1时,圆C为x2+y2+2x-4y+1=0,又圆O:x2+y2=2, 所以两圆的相交弦MN所在直线方程为2x-4y+3=0. 则圆心O到MN的距离d=322+42=3510,所以|MN|=2(2)2-35102=1555. 方法二 “隐形圆”问题的解决方法 1.(2018江苏南通中学期初)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(4,0).若直线x-y+m=0上存在点P使得|PA|=12|PB|,则实数m的取值范围是 . 答案 [-22,22] 2.(2018江苏盐城中学月考)已知线段AB的长为2,动点C满足CA·CB=λ(λ<0),且点C总不在以点B为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是 . 答案 -34 过专题 【五年高考】 A组 自主命题·江苏卷题组 1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD=0,则点A的横坐标为 . 答案 3 2.(2014江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为 . 答案 2555 3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 . 答案 [-52,1] 4.(2018江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点F1(-3,0),F2(3,0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; ②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为267,求直线l的方程. 解析 本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力. 解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-3,0),F2(3,0), 所以可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0). 又点3,12在椭圆C上, 所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1. 因此,椭圆C的方程为x24+y2=1. 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3. (2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=3. 所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0. 由x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0消去y,得 (4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*) 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0. 因为x0,y0>0,所以x0=2,y0=1. 因此,点P的坐标为(2,1). ②因为三角形OAB的面积为267, 所以12AB·OP=267,从而AB=427. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02), 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =1+x02y02·48y02(x02-2)(4x02+y02)2. 因为x02+y02=3, 所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,即2x04-45x02+100=0. 解得x02=52(x02=20舍去),则y02=12,因此P的坐标为102,22. 则直线l的方程为y=-5x+32. 解法二:(1)由题意知c=3,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点3,12在椭圆上, 所以2a=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4, 所以a=2. 因为a2=b2+c2,所以b=1, 所以椭圆C的方程为x24+y2=1. (2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0, 设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0), 将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3, 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3, 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得x24+(kx+m)2=1, 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 因为直线l与椭圆C相切, 所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0, 整理得m2=4k2+1, 所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-2,则m=3, 将k=-2,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 整理得x2-22x+2=0, 解得x1=x2=2,将x=2代入x2+y2=3, 解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(2,1). ②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0, 因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-2, 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 解得x1,2=-8km±44k2+1-m22(4k2+1), 所以|x1-x2|=44k2+1-m24k2+1, 因为AB=(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=|x1-x2|k2+1=44k2+1-m24k2+1·k2+1, O到l的距离d=|m|k2+1=3, 所以S△OAB=12·44k2+1-m24k2+1·k2+1·|m|k2+1 =12·4k2-24k2+1·k2+1·3=267, 解得k2=5,因为k<0,所以k=-5,则m=32, 即直线l的方程为y=-5x+32. 解后反思 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程. (2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可设出直线方程求解. ②因为△AOB的面积为267,而△AOB的高为3,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2·(x1-x2)2=1+k2·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解. 5.(2014江苏,18,16分,0.35)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=43. (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大? 解析 解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(170,0), 直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-43. 因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=34. 设点B的坐标为(a,b), 则kBC=b-0a-170=-43,kAB=b-60a-0=34. 解得a=80,b=120. 所以BC=(170-80)2+(0-120)2=150(m). 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60). 由条件知,直线BC的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=|3d-680|42+32=680-3d5. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以r-d≥80,r-(60-d)≥80,即680-3d5-d≥80,680-3d5-(60-d)≥80. 解得10≤d≤35. 故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F. 因为tan∠FCO=43,所以sin∠FCO=45,cos∠FCO=35. 因为OA=60 m,OC=170 m,所以OF=OCtan∠FCO=6803 m,CF=OCcos∠FCO=8503 m,从而AF=OF-OA=5003 m. 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=45. 又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=4003 m,从而BC=CF-BF=150 m. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD, 则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO=MDMF=MDOF-OM=r6803-d=35, 所以r=680-3d5. 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以r-d≥80,r-(60-d)≥80,即680-3d5-d≥80,680-3d5-(60-d)≥80. 解得10≤d≤35. 故当d=10时,r=680-3d5最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大. 解后反思 本题的数学背景是直线与圆,在解题时可以用直线与圆的位置关系求解,还可以用解三角形的方法加以解决. B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(2018课标全国Ⅲ理改编,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 . 答案 [2,6] 2.(2016课标全国Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|= . 答案 4 3.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= . 答案 4±15 4.(2016课标全国Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= . 答案 4 5.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= . 答案 6 6.(2015课标Ⅰ,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|. 解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1. 解得4-73查看更多
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