【数学】2018届一轮复习人教A版笔记九计数原理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版笔记九计数原理学案

笔记九　计数原理 易错点49　混淆两个基本原理 典例49　从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中原装与组装计算机至少各有两台,则不同的取法有　　　　种. ‎ ‎【错因分析】误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”方案,完成每类方案都有两个步骤.‎ ‎【正确解答】由分析,完成第一类方案可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取2台,有种方法;第二步在组装计算机中任意选取3台,有种方法,根据分步乘法计数原理知共有种取法.同理,完成第二类方案有种取法.根据分类加法计数原理知不同的取法共有=350种.故填350.‎ 易错点50　相邻与不相邻问题处理不当 典例50　四个男同学和三个女同学站成一排.‎ ‎(1)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?‎ ‎(2)甲、乙两人相邻,但都与丙不相邻,有多少种不同的排法?‎ ‎【错因分析】排列问题常见题型有相邻问题及不相邻问题,顺序一定问题等,如果对题意理解不够充分,往往选择错误的方法.‎ ‎【正确解答】(1)先将男生排好,共有种排法;再在这4个男生的中间及两头的5个空中插入3个女生,有种方案.故符合条件的排法共有=1440种.‎ ‎(2)先排甲、乙、丙3人以外的其他四人,有种排法,由于甲、乙要相邻,故把甲、乙排好,有种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当及两头,有种排法;这样,总共有=960种不同的排法.‎ 解决有限制条件的排列问题方法是:‎ 直接法:‎ 间接法:即排除不符合要求的情形,一般先从特殊元素和特殊位置入手..‎ 易错点51　题意理解不准确,盲目套用排列组合公式 典例51　在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有(　　)种.‎ A. B.43 C.34 D.‎ ‎【错因分析】错误把四个冠军,排在甲、乙、丙三个位置上,错选A.这是因为没有理解分步乘法计数原理的概念,盲目地套用公式.本题还有同学这样误解,甲、乙、丙夺冠均有4种情况,由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后,其他人就不再有4种夺冠可能.‎ ‎【正确解答】四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军的归属都有3种可能,由分步乘法计数原理知不同的夺冠情况共有3×3×3×3=34种.故选C.‎ 易错点52　混淆均匀分组与不均匀分组,重复计算、遗漏 典例52　某交通岗共有3人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值2天班,则不同的排法共有(　　)种. ‎ A.5040 B.1260 C.210 D.630‎ ‎【错因分析】容易计算重复:第一个人先挑选2天,第二个人再挑选2天,剩下的3天给第三个人,这三个人再进行全排列,共有= 1260种.这里是均匀分组问题.比如:第一人挑选的是周一、周二,第二人挑选的是周三、周四;也可能是第一个人挑选的是周三、周四,第二人挑选的是周一、周二,所以在全排列的过程中就重复计算了.‎ ‎【正确解答】=630种.故选D.‎ 易错点53　混淆项的系数与二项式系数 典例53　在的展开式中,x5的系数为　　　　,该项的二项式系数为　　　　. ‎ ‎【错因分析】在通项公式Tr+1=·(x3)5-r··2r·x15-5r中,是二项式系数,·2r是项的系数.考生要分清楚项的系数与二项式系数的区别,避免出现错误.‎ ‎【正确解答】令15-5r=5,得r=2,则x5的二项式系数为=10,项的系数为·22=40.故填40,10. ‎ 在二项展开式中,利用通项公式求展开式中具有某些特性的项是一类典型问题,其通常做法就是确定通项公式中r的取值或取值范围,需注意二项式系数与项的系数的区别与联系.‎