【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章 第7讲 双曲线作业
第7讲 双曲线
[基础题组练]
1．(2019·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝( )
A. B．4
C．2 D.
解析：选D.由双曲线方程－y2＝1，
得b2＝1，
所以c2＝a2＋1.
所以5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
故选D.
2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
3．设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于( )
A．10 B．8
C．8 D．16
解析：选C.依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8×＝8.
4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选C.设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x，故选C.
5．(2019·高考天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．
解析：选D.由题意知F(1，0)，l：x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×，所以＝2，所以e＝＝＝＝，故选D.
6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．
解析：因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
7．(2020·陕西渭南期末改编)已知方程＋＝1，若该方程表示双曲线，则k的取值范围是 ，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是 ．
解析：方程＋＝1表示双曲线，若焦点在x轴上，则4－k>0，k－2<0，解得k<2；若焦点在y轴上，则4－k<0，k－2>0，解得k>4，则k的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－2>0，即2
0，b>0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为 ，其离心率为 ．
解析：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，点P(1，)在渐近线上，所以＝.在Rt△OPF中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a
2＋b2，所以b＝2，a＝2，所以双曲线C的方程为－＝1，离心率e＝＝2.
答案：－＝1 2
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解：(1)因为离心率e＝，
所以双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
则由点(4，－)在双曲线上，
可得λ＝42－(－)2＝6，
所以双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，
所以32－m2＝6，所以m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
所以MF1⊥MF2，
所以点M在以F1F2为直径的圆上．
[综合题组练]
1．(2020·河南鹤壁高中4月模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±y＝0 B．2x±y＝0
C.x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：选C.因为F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，所以由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos 60°＝，即＝，所以3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，所以＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，·＝0，则C的离心率为 ．
解析：法一：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
法二：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝
x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.
答案：2
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.
解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
所以解得c＝3，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝ × ＝.
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得，a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2与－＝1联立，得(1－3k2)x2－12kx
－36＝0.由题意知
解得
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