新疆实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

新疆实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

新疆实验中学2019-202 0学年第一学期 高二年级期中数学文科考试（试卷)‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、单选题 ‎1.已知数列前项和为，若（，且）且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，由题得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，得，再求的值.‎ ‎【详解】由及（，且），得，‎ 所以，‎ 所以. ‎ 因为，‎ 所以，‎ 则数列是以为首项，2为公比的等比数列. ‎ 所以. 则，‎ 即. ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和通项的求法，考查数列的前n项和和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎2. 设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）‎ A. （﹣∞，2） B. （﹣∞，2] C. （2，+∞） D. [2，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.‎ 考点：集合的关系 ‎3.已知向量，，，是线段上两点，且，，则向量与的关系是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与成夹角 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，，所以，即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以. ‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查基底法和向量坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4.已知且，函数与的图像只能是下列图中的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑函数的定义域，及指数函数和对数函数的函数图象特征，研究单调性．‎ ‎【详解】函数的定义域是，排除A，D，函数与的单调性正好相反．排除B，只有C满足．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象，可通过确定函数性质采用排除法确定，首先确定函数定义域，然后研究函数的性质如单调性、奇偶性，再有特殊的函数值，函数值的变化趋势等等．‎ ‎5.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.‎ ‎【详解】，‎ 又，‎ ‎，‎ 豆子落在图中阴影部分的概率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.‎ ‎6.函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以函数是定义在上的偶函数，排除A、B项；‎ ‎ 又，排除C，‎ ‎ 综上，函数大致的图象应为D项，故选D.‎ ‎7.如图的程序，当输入时，程序运行的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正确理解条件分支结构的算法语句的计算功能，代入，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，运行上述程序，可得当输入时，得到其运算结果为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了条件分支结构的算法语句的结果输出问题，其中解答中正确理解条件分支结构的算法语句的计算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.若，，且，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题时要充分利用定值条件，熟悉几种常见的利用基本不等式求最值的代数式类型，并对代数式进行合理配凑，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数诱导公式和二倍角的余弦公式逐步化简求值得解.‎ ‎【详解】因为. ‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎10.某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，你认为下面哪一个解释能表明气象局的观点（　　）‎ A. 明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨 B. 明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨 C. 明天本地下雨的机会是80%‎ D. 气象局并没有对明天是否下雨作出有意义的预报 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据概率的意义即可得出结论．‎ 详解：根据概率的意义可得“明天降水的概率为80%”的正确解释是明天下雨的机会是80%．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查概率意义的理解及应用，考查学生的理解能力，属于容易题．‎ ‎11.（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式和两角和公式得即为所求.‎ ‎【详解】.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础题.‎ ‎12.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（ ）‎ A. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 C. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛 D. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出甲乙两个学生的平均得分，再分析得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以.‎ 从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定，‎ 所以要派甲参加.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题)‎ 二、填空题 ‎13.在中，若，，则的值为_______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理和合分比定理即可求得的值.‎ ‎【详解】由正弦定理结合题意有：,‎ 结合合分比定理可知：.‎ 故答案2．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，属于中等题.‎ ‎14.若△ABC的内角，满足成等差数列，则cos C的最小值是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，再由正弦定理得，所以 ‎，当且仅当时，等号成立．‎ 考点：等差数列的性质，正弦定理与余弦定理，基本不等式．‎ ‎15.已知函数是奇函数，则实数的值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义得出关于a的方程，求解即可．‎ ‎【详解】方法一：函数是奇函数，所以，‎ 所以 即，‎ 则，‎ 方法二：因为函数是奇函数，所以，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 故填：．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的定义, 根据函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.‎ ‎16.已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m=_________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题得，因为，所以，解得．‎ 三、解答题 ‎17.昆明市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300），该社团将该校区在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图4，把该直方图所得频率估计为概率.‎ 空气质量指数 空气质量等级 ‎1级优 ‎2级良 ‎3级轻度污染 ‎4度中度污染 ‎5度重度污染 ‎6级严重污染 ‎（1）请估算2019年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法共抽取10天，则空气质量指数在，，的天数中各应抽取几天?‎ ‎（3）已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天需净化空气的费用为2000元，空气质量等级为3级时每天需净化空气的费用为4000元若在（2）的条件下，从空气质量指数在的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用的分布列 ‎【答案】(1)110天；(2)1，2，3天. (3)见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由根据直方图概率计算方法，即可求解全年空气质量优良的天数；‎ ‎（2）由频率分布直方图，分别求得空气质量指数在，和的概率即可求解.‎ ‎（3）根据题意，得到随机变量的取值为，分别求得相应的概率，即可得到随机变量的分布列，得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意，根据直方图可估算2019年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为：‎ ‎（天）.‎ ‎（2）由频率分布直方图，可得空气质量指数在的概率为，所以天中抽的天数为天，空气质量指数在的概率为，所以天中抽的天数为天，空气质量指数在的概率为，‎ 所以天中抽的天数为天，‎ 所以空气质量指数在，，的天数中各应抽取1，2，3天.‎ ‎（3）由题意知的取值为.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎2000‎ ‎4000‎ ‎6000‎ ‎8000‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图中概率的计算，以及正确求解相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18.某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价 ‎（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）‎ ‎（1）试估计该市市民的平均购房面积（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为，求的分布列与数学期望；‎ ‎（3）根据散点图选择和两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值，如表所示：‎ ‎0.005459‎ ‎0.005886‎ ‎0.006050‎ 请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.‎ 参考数据：，，，，，‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）1.2；（3）模型的拟合效果更好，预测2019年8月份的二手房购房均价万元/平方米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求解每一段的组中值与频率的乘积，然后相加得出结果；（2）分析可知随机变量服从二项分布，利用二项分布的概率计算以及期望计算公式来解答；（3）根据相关系数的值来判断选用哪一个模型，并进行数据预测.‎ ‎【详解】解：（1）.‎ ‎（2）每一位市民购房面积不低干100平方米的概率为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.216‎ ‎0.432‎ ‎0.288‎ ‎0.064‎ ‎∴‎ ‎（3）设模型和的相关系数分别为，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴模型的拟合效果更好，‎ ‎2019年8月份对应的，‎ ‎∴万元/平方米 ‎【点睛】相关系数反映的是变量间相关程度的大小：当越接近，相关程度就越大，当越接近，则相关程度越小.‎ ‎19.设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.‎ ‎（Ⅰ）求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{||}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得，则 又当时，由，‎ 得.‎ 所以，数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）设，，.‎ 当时，由于，故.‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时，，‎ 所以，‎ ‎【考点】等差、等比数列的基础知识.‎ ‎【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．‎ ‎20.已知分别是的角所对的边，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由余弦定理得值，再根据三角形内角范围求角；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：，再根据余弦定理得，代人解得，，，由勾股定理得，最后根据直角三角形面积公式得的面积．‎ 试题解析：解：（1）由余弦定理，得 ，‎ 又，所以．‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 得，‎ 再由正弦定理得，所以．①‎ 又由余弦定理，得，②‎ 由①②，得，得，得，‎ 联立，得，．‎ 所以．所以．‎ 所以的面积．‎ ‎21.已知点,,，是原点.‎ ‎（1）若点三点共线，求与满足的关系式；‎ ‎（2）若的面积等于3，且,求向量.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；‎ ‎(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由点A，B，C三点共线，知∥，‎ 所以，即；‎ ‎（2）由△AOC的面积是3，得，，‎ 由，得，‎ 所以，即,‎ 当时，， 解得或，‎ 当时，，方程没有实数根，‎ 所以或．‎ ‎【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎22.已知某山区小学有名四年级学生，将全体四年级学生随机按编号，并且按编号顺序平均分成组.现要从中抽取名学生，各组内抽取的编号按依次增加进行系统抽样.‎ ‎（1）若抽出的一个号码为，据此写出所有被抽出学生的号码;‎ ‎（2）分别统计这名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差.‎ ‎（注：，方差）‎ ‎【答案】（1）抽出的名学生的号码依次分别为：（2）样本方差为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可知第组抽出的号码为，进而可求出抽出的10名学生的号码; ‎ ‎（2）由茎叶图可得到这10名学生的成绩,进而可求出这10名学生的平均成绩,然后结合方差公式可求出答案.‎ ‎【详解】（1）因为，所以第组抽出的号码应该为，抽出的名学生的号码依次分别为：.‎ ‎（2）这名学生的平均成绩为： ，‎ 故样本方差为：.‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样,考查了茎叶图,考查了方差的求法,考查了学生的计算能力,‎ 属于基础题.‎