甘肃省张掖市临泽一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

甘肃省张掖市临泽一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

临泽一中2019-2020学年下学期期中模拟试卷 高一数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、 单项选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若，则点Q（cosα，sinα）位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（　　）‎ A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米 ‎3．已知向量，若，则在上的投影是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4． “剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”．“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则sin2α等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．平面向量，满足||＝4，||＝2，（2）24，则|2|＝（　　）‎ A．2 B．‎4 ‎C．8 D．16‎ ‎6．函数y＝lg（x2+10x+6）的零点是x1＝tanα，x2＝tanβ，则tan（α+β）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，]）的图象经过点（0，），若关于x的方程f（x）＝﹣1在[，π]上恰有一个实数解，则ω的取值范围是（　　）‎ A．[，） B．[，8] C．[，20] D．[，20]‎ ‎8．定义ad﹣bc，已知函数f（x）（x∈[0，π]），若f（x）的最大值与最小值的和为1，则实数m的值是（　　）‎ A．4+2或﹣4﹣2 B．4﹣2或﹣4+2 ‎ C．4﹣2 D．﹣4+2‎ ‎9．已知函数为其图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC＝5，则f（x）的解析式为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．若函数f（x）＝﹣2cos2x+2sinx+a在上的最小值为，则f（x）在上的最大值为（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C． D．‎ ‎11．如图所示为函数的部分图象，点M、N分别为图象的最高点和最低点，点P为该图象一个对称中心，点A（0，1）与点B关于点P对称，且向量在x轴上的投影恰为1，AP，则f（x）的解析式为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，，则||2的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．函数f（x）＝3tan（﹣2x）的最小正周期为　 　．‎ ‎14．若将函数的图象沿x轴向右平移φ（φ≥0）个单位后所得的图象与f（x）的图象关于x 轴对称，则φ的最小值为　 　．‎ ‎15．已知，，则与夹角的余弦值为　 　．‎ ‎16．如图，已知AC＝8，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC的同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点（不含端点A，B，C），且BM⊥BN，则的最大值为　 　．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知．‎ ‎（1）化简f（α）；‎ ‎（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知向量．‎ ‎（1）求向量，的夹角θ；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知平面向量，满足：||＝2，||＝1．‎ ‎（1）若（2）•（）＝1，求▪的值；‎ ‎（2）设向量，的夹角为θ．若存在t∈R，使得|t|＝1，求cosθ的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝4cosxsin（x）+a的最大值为2．‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值； ‎ ‎（Ⅱ）在给定的直角坐标系上作出函数f（x）在[0，π]上的图象：‎ ‎（Ⅲ）求函数f（x）在[，]上的零点，‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：‎ ωx+φ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将y＝f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．‎ ‎（Ⅲ）若，求的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝1，∠ABC，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．‎ ‎（1）用θ表示S1和S2；‎ ‎（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．‎ 高一数学·参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B D D B B A B A D B A ‎13． 14．‎ ‎15． 16．4‎ ‎17．【解析】（1）‎ ‎ ＝﹣cosα．‎ ‎（2）∵α是第三象限角，且，∴sinα，‎ ‎∴cosα，∴f（α）＝﹣cosα．‎ ‎18．【解析】（1）∵向量．‎ ‎∴（32）2＝912•436；‎ ‎∴9×22﹣12×2×3cosθ+4×32＝36⇒cosθ⇒ （向量夹角）；‎ ‎（2）23•22×22+3×2×32×32＝﹣1．‎ ‎19．【解析】（1）若（2）•（）＝1，则1，‎ 又因为||＝2，||＝1，所以42＝1，所以1；‎ ‎（2）若|t|＝1，则1，‎ 又因为||＝2，||＝1，所以t2+2（）t+3＝0，即t2+4tcosθ+3＝0，‎ 所以△＝16cos2θ﹣12≥0，解得cosθ或θ，‎ 所以cosθ∈[﹣1，]∪[，1]，‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）f（x）＝4cosxsin（x）+a＝4cosx（sinxcosx）+a＝2sinxcosx+2cos2x+asin2x+cos2x+a+1＝2sin（2x）+a+1‎ 则f（x）的最大值为2+a+1＝2，得a＝﹣1．‎ ‎（Ⅱ）∵a＝﹣1，∴f（x）＝2sin（2x）‎ 列表如下：‎ ‎ 2x ‎ ‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ x ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ π f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎﹣2‎ 用“五点法”画出函数f（x）在区间[0，π]的简图，如图所示；‎ ‎（Ⅲ）由f（x）＝0得2xkπ，k∈Z，‎ 则x，k∈Z，‎ 由，得k，即k＝0或k＝1，‎ 当k＝0时，x，当k＝1时，x，‎ 即函数在[，]上的零点为，和．‎ ‎21．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ．‎ 数据补全如下表：‎ ωx+φ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f（x）＝5sin（2x）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝5sin（2x），得g（x）＝5sin（2x+2θ）．‎ 因为函数y＝sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z．‎ 令2x+2θkπ，k∈Z，‎ 解得xθ，k∈Z，‎ 由于函数y＝g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，‎ 令θ，k∈Z，解得θ，k∈Z，‎ 由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值．‎ ‎（Ⅲ）由，可得，‎ 可得．‎ ‎22．【解析】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，‎ 又BC＝1，∴AB＝cosθ，AC＝sinθ，‎ 所以：S1•AB•ACsinθcosθ；‎ 设正方形的边长为x，则：BP，AP＝xcosθ，‎ 由BP+AP＝AB，得：xcosθ＝cosθ，‎ 解得：x，‎ 所以：S2＝x2＝（）2．‎ ‎（2）sin2θ+1，‎ 令t＝sin2θ，因为 0＜θ，‎ 所以：0＜2θ＜π，则t＝sin2θ∈（0，1]，‎ 所以：1，‎ 令g（t）1（0＜t≤1），‎ 则g′（t）0，‎ 所以函数g（t）在（0，1]上递减，‎ 因此：当t＝1时，g（t）取得最小值g（1）＝11，‎ 此时：sin2θ＝1，解得θ．‎ 所以：当θ时，的值最小，最小值为．‎