2018届二轮复习（理）　　推理与证明学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）　　推理与证明学案（全国通用）

第4讲　推理与证明 ‎1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．‎ ‎2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．‎ 热点一　归纳推理 ‎1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．‎ ‎2．归纳推理的思维过程如下：‎ →→ 例1　(1)(2017·日照市模拟)给出下列等式：‎ ＝2cos ，‎ ＝2cos ，‎ ＝2cos ，‎ ‎…，‎ 请从中归纳出第n(n∈N*)个等式：＝________.‎ ‎ n个根号 答案　2cos 解析　因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以＝2cos.‎ ‎(2)(2017·山西省大同市灵丘豪洋中学模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第15个图形中小正方形的个数是________．‎ 答案　120‎ 解析　∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n将等式进行累加得an＝⇒a15＝120.‎ 思维升华　归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．‎ 跟踪演练1　(1)(2017届陕西省咸阳市二模)观察下列式子： ‎ <2，‎ ＋<，‎ ＋＋<8，‎ ＋＋＋<，‎ ‎…，‎ 根据以上规律，第n个不等式是__________________．‎ 答案　＋＋…＋< 解析　不等式左边共有n项相加，第n项是，不等式右边的数依次是，，，，…，.‎ ‎(2)用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．‎ 答案　503　 解析　按拼图的规律，第1个图有白色地砖(3×3－1)块，第2个图有白色地砖(3×5－2)块，第3个图有白色地砖(3×7－3)块，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是.‎ 热点二　类比推理 ‎1．类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．‎ ‎2．类比推理的思维过程如下：‎ →→ 例2　(1)(2017届江西省鹰潭市模拟)我们知道：“平面中到定点等于定长的点轨迹是圆”拓展至空间：“空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A(－1,0,0)，B(1,0,0)，则点集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是(　　)‎ A．以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B．以A，B为焦点的椭球体 C．以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 D．以上都不对 答案　C 解析　由特殊到特殊进行类比推理可得：点集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空间中的轨迹描述正确的是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面．故选C.‎ ‎(2)若点P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为＋＝1.那么对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为__________________．‎ 答案　－＝1‎ 解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为－＝1，－＝1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为－＝1.‎ 思维升华　类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．‎ ‎跟踪演练2　(1)(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________.‎ 答案　 解析　由题设可得＝＝＝＝ (其中θ是射线PL与平面PAB所成的角)．‎ ‎(2)已知双曲正弦函数sh x＝和双曲余弦函数ch x＝与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________．‎ 答案　ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y(答案不唯一)‎ 解析　ch xch y－sh xsh y ‎＝·－· ‎＝(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y)‎ ‎＝(2ex－y＋2e－(x－y))‎ ‎＝＝ch(x－y)，‎ 同理可得ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y，‎ sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y，‎ sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y.‎ 热点三　直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法．‎ 例3　已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋21)，证明：方程f(x)＝0没有负根．‎ 证明　(1)要证＋＝，‎ 即证＋＝3，‎ 也就是＋＝1，‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2，‎ 又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，‎ 由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，‎ 故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ 于是原等式成立．‎ ‎(2)假设x0是f(x)＝0的负根，‎ 则x0<0，且x0≠－1，＝－，‎ 所以0<<1⇒0<－<1，‎ 解得1，f(2)>1.‎ 下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f(n)<1.‎ ‎①由(1)知当n＝3时， f(n)<1.‎ ‎②假设当n＝k(k≥3)时，f(n)<1，‎ 即f(k)＝＋＋…＋<1，‎ 那么f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋ ‎＝＋＋－ ‎<1＋＋ ‎＝1＋＋ ‎＝1－－<1.‎ 所以当n＝k＋1时，f(n)<1也成立．‎ 因此，当n≥3时，f(n)<1.‎ 综上，当n＝1和n＝2时，f(n)>1；‎ 当n≥3时，f(n)<1.‎ 真题体验 ‎1．(2017·全国Ⅱ改编)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则可推断知道自己成绩的是____________．‎ 答案　乙、丁 解析　由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．‎ ‎2．(2016·山东)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.‎ 答案　×n×(n＋1)‎ 解析　观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.‎ ‎3．(2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ 答案　1和3‎ 解析　由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．‎ 押题预测 ‎1．将正整数作如下分组：‎ ‎(1)，‎ ‎(2,3)，‎ ‎(4,5,6)，‎ ‎(7,8,9,10)，‎ ‎(11,12,13,14,15)，‎ ‎(16,17,18,19,20,21)，‎ ‎(22,23,24,25,26,27,28)，‎ ‎…‎ 分别计算各组包含的正整数的和如下：‎ S1＝1，‎ S2＝2＋3＝5，‎ S3＝4＋5＋6＝15，‎ S4＝7＋8＋9＋10＝34，‎ S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，‎ S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，‎ S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，‎ ‎…，‎ 试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2 015＝________.‎ 押题依据　数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度．‎ 答案　1 0084‎ 解析　由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；‎ 当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；‎ 当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；‎ 当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；‎ ‎……，‎ 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.‎ ‎∴S1＋S3＋S5＋…＋S2 015＝1 0084.‎ ‎2．已知下列不等式：x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，其中x>0，则第n个不等式为________________．‎ 押题依据　根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．‎ 答案　x＋≥n＋1‎ 解析　已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n＝1时，为；当n＝2时，为；当n＝3时，为；……‎ 显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，‎ 所以不等式左边的式子为x＋，‎ 显然不等式右边的式子为n＋1，‎ 所以第n个不等式为x＋≥n＋1.‎ ‎3．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列{Sn}不是等比数列．‎ 押题依据　反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法．‎ 证明　假设{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与q≠0矛盾，故{Sn}不是等比数列．‎ A组　专题通关 ‎1．(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)下面四个推理，不属于演绎推理的是(　　)‎ A．因为函数y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1]，2x－1∈R，所以y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也为[－1,1]‎ B．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿 ‎ C．在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，将此结论放到空间中也是如此 D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 答案　C 解析　C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理．‎ ‎2．(2017届三湘名校教育联盟联考)下面结论正确的是(　　)‎ ‎①一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式an＝n(n∈N*)；‎ ‎②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；‎ ‎③在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适；‎ ‎④“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．②④‎ 答案　D 解析　①所给条件无法确定整个数列满足通项公式．例如第四项是否为4，①错误；‎ ‎②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，是合情推理，②正确；‎ ‎③类比时，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适， ③错误；‎ ‎④所给命题满足三段论推理，但其结论却是错误的，④正确．故选D.‎ ‎3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)‎ A．都不大于－2‎ B．都不小于－2‎ C．至少有一个不大于－2‎ D．至少有一个不小于－2‎ 答案　C 解析　假设a＋，b＋，c＋都大于－2，‎ 即a＋>－2，b＋>－2，c＋>－2，‎ 将三式相加，得a＋＋b＋＋c＋>－6，‎ 又因为a＋≤－2，b＋≤－2，c＋≤－2，‎ 所以a＋＋b＋＋c＋≤－6，‎ 所以假设不成立，故选C.‎ ‎4．(2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市二模)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为(　　)‎ A．42 B．65‎ C．143 D．169‎ 答案　B 解析　由题设可知当n＝4时，对角线的条数f(4)＝2＝3－1＝－1；当n＝5时，对角线的条数f(5)＝5＝6－1＝－1；可以归纳：对角线的条数与边数的函数关系f(n)＝－1.‎ 当n＝13时，对角线的条数f(13)＝－1＝65，故选B.‎ ‎5．(2017·贵州省贵阳市适应性考试)富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是(　　)‎ A．曹雪芹、莎士比亚、雨果 B．雨果、莎士比亚、曹雪芹 C．莎士比亚、雨果、曹雪芹 D．曹雪芹、雨果、莎士比亚 答案　A 解析　假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；‎ 假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确，即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确，即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；‎ 前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果．‎ 故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.‎ ‎6．(2017届甘肃省兰州市模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.‎ 答案　n2‎ 解析　第一项和为1，第二项和为4，第三项和为9，第四项和为16，故第n项和为n2.‎ ‎7．(2017届宁夏石嘴山三中月考)已知a，b，c是△ABC的三边，若满足a2＋b2＝c2，即2＋2＝1，△ABC为直角三角形，类比此结论：若满足an＋bn＝cn (n∈N，n≥3)时，△ABC的形状为__________．(填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”)‎ 答案　锐角三角形 解析　由题易得c最大，则角C最大，‎ an＋bn＝cn (n∈N，n≥3)‎ ‎⇒n＋n＝1⇒2＋2>n＋n＝1⇒a2＋b2>c2⇒cos C＝>0⇒00.‎ 所以m>2，故m≤－1舍去，所以m≥.‎ B组　能力提高 ‎11．(2017·北京市海淀区期末)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i (i＝1,2,3,4)次，每次转动90°，记Ti (i＝1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若x1＋x2＋x3＋x4<0，y1＋y2＋y3＋y4<0，则以下结论正确的是(　　)‎ A．T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数 B．T1，T2，T3，T4中至少有一个为负数 C．T1，T2，T3，T4中至多有一个为正数 D．T1，T2，T3，T4中至多有一个为负数 答案　A 解析　根据题意可知，(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)＝T1＋T2＋T3＋T4>0，所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A.‎ ‎12．(2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：‎ ‎89＝2×44＋1，‎ ‎44＝2×22＋0，‎ ‎22＝2×11＋0，‎ ‎11＝2×5＋1，‎ ‎5＝2×2＋1，‎ ‎2＝2×1＋0，‎ ‎1＝2×0＋1.‎ 把以上各步所得余数从下到上排列，‎ 得到89＝1011001 这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的方法，称为“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化为七进制数为________．‎ 答案　155(7)‎ 解析　由题设中提供的计算方法可得 ‎89＝7×12＋5，‎ ‎12＝7×1＋5，‎ ‎1＝7×0＋1.‎ 把以上各步所得余数从下到上排列，得到89＝155.‎ ‎13．(2017届重庆市第一中学一诊)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用表示不超过x的最大整数，并用{x}＝x－[x]表示x的非负纯小数，则y＝[x]称为高斯函数，已知数列满足：a1＝，an＋1＝[an]＋ (n∈N*)，则a2 017＝________.‎ 答案　3 024＋ 解析　a1＝，a2＝1＋＝＋，a3＝2＋＝＋，a4＝4＋＝＋，‎ a5＝5＋＝＋，a6＝7＋＝＋，…，‎ 可归纳：当n为奇数时，an＝×3＋；当n为偶数时，an＝×3＋，‎ ‎∴a2 017＝×3＋＝3 024＋.‎ ‎14．已知每一项都是正数的数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．‎ ‎(1)用数学归纳法证明：a2n＋10，‎ an＋1＝>0 (n∈N*)．‎ ‎①当n＝1时，a1＝1，a2＝＝，‎ a3＝＝，a3…>a2n－1>a2n＋1，‎ 同理由数学归纳法可证a2na2n－2>…>a2＝.‎ 猜测：a2n<0，知a2n－1－>0，a2n－<0，‎ 即a2n<…>a2n－1>a2n＋1>>a2n>a2n－2>…>a2，‎ 从而可知≤an≤1.‎ ‎(3)|an＋2－an＋1|＝＝ ‎＝≤ ‎＝|an＋1－an|，‎ 所以|an＋1－an|≤|an－an－1|‎ ‎≤2|an－1－an－2|‎ ‎≤…≤n－1|a2－a1|＝n－1，‎ 所以Sn＝|a2－a1|＋|a3－a2|＋|a4－a3|＋…＋|an＋1－an|‎ ‎≤ ‎＝×<<＝6.‎