2021届高考数学一轮总复习课时作业55抛物线含解析苏教版

2021届高考数学一轮总复习课时作业55抛物线含解析苏教版

课时作业55　抛物线 一、选择题 ‎1．已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为(　C　)‎ A．y2＝－2x B．x2＝－2y C．y2＝－4x D．x2＝－4y 解析：由题意知抛物线开口向左，且p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x，故选C．‎ ‎2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　D　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ 解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为(，0)，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D．‎ ‎3．(2020·安徽省五校联盟质量检测)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(x0，)在C上，且|PF|＝，则p＝(　B　)‎ A． B． C． D．1‎ 解析：抛物线的准线方程为y＝－，因为P(x0，)在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B．‎ ‎4．以抛物线y2＝8x上的任意一点为圆心作圆与直线x＝－2相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是(　B　)‎ A．(0,2) B．(2,0)‎ C．(4,0) D．(0,4)‎ 解析：由题意得抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，因为动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且与抛物线的准线相切，所以动圆必过抛物线的焦点，即过点(2,0)．故选B．‎ ‎5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A(4，y0)作AA1⊥l于点A1，若∠A1AF＝，则p＝(　C　)‎ A．6 B．12‎ C．24 D．48‎ 6‎ 解析：∵∠A1AF＝，∴∠AA‎1F＝∠AFA1＝.‎ 设准线l与x轴的交点为B，‎ 则|BF|＝p，|A1B|＝|BF|tan＝p，‎ ‎∴|AF|＝＝＝4＋，‎ ‎∴p＝24，故选C．‎ ‎6．已知点F是抛物线y＝2x2的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|＋|NF|＝，则线段MN的中点的纵坐标为(　B　)‎ A． B．2‎ C． D．3‎ 解析：∵F是抛物线y＝2x2的焦点，∴F，准线方程为y＝－.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MF|＋|NF|＝y1＋＋y2＋＝，解得y1＋y2＝4，∴线段MN的中点的纵坐标为＝2.故选B．‎ ‎7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF||FM|等于(　A　)‎ A．12 B．13‎ C．1 D．1 解析：抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，M(2,2)，‎ ‎∴直线l的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴点N的横坐标为.∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|NF|＝，|MF|＝3，∴|NF||MF|＝12，故选A．‎ ‎8．(2020·合肥市模拟)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，＝3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为(　A　)‎ A．12 B．12‎ C．8 D．6 解析：‎ 6‎ 不妨设直线AB的倾斜角为锐角，过点B作BD⊥AM，交AM于点D，过点B作BN⊥l，垂足为N，则|AD|＝|AM|－|MD|＝|AF|－|FB|＝2|FB|，|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，所以|AD|＝|AB|，在Rt△ABD中，|AD|＝|AB|，则∠BAD＝60°，所以∠AFx＝60°，所以kAB＝，则直线AB：y＝(x－)，代入y2＝4x，得[(x－)]2＝4x，即3x2－10x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝，则xA＝3，yA＝2，则四边形AMCF的面积为×(4＋2)×2＝12，故选A．‎ 二、填空题 ‎9．(2019·北京卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ 解析：因为抛物线的标准方程为y2＝4x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.‎ ‎10．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为.‎ 解析：设P(x0，y0)，则x0＋1＝4，故x0＝3，所以y0＝±2.又F(1,0)，所以S△PFO＝×2×1＝.‎ ‎11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与其准线交于点M，且＝3，则||＝.‎ 解析：过P点作准线的垂线，垂足为H，则|PH|＝|PF|，由＝3有＝，所以＝＝＝，解得|PH|＝，所以||＝|PH|＝.‎ ‎12．(2020·湖南省五市十校联考)已知直线l：y＝2x＋b被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为(3,0)，则|MN|的最小值为2.‎ 解析：设直线l与抛物线C的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由直线l经过C的焦点(，0)，得2×＋b＝0，所以b＝－p，直线l的方程为y＝2x－p.联立得消去y得，4x2－6px＋‎ 6‎ p2＝0，所以x1＋x2＝＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＝5，得p＝2，即抛物线C：y2＝4x，设M(，y0)，则|MN|＝＝＝≥＝2，当且仅当y＝4，即y0＝±2时取等号，所以|MN|的最小值为2.‎ 三、解答题 ‎13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，‎ 于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．‎ 又∵F(1,0)，∴kFA＝，‎ ‎∵MN⊥FA，∴kMN＝－.‎ ‎∴FA的方程为y＝(x－1)，①‎ MN的方程为y－2＝－x，②‎ 联立①②，解得x＝，y＝，‎ ‎∴点N的坐标为.‎ ‎14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．‎ 解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，‎ ‎∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.‎ 由得y2－8y－‎8m＝0，‎ Δ＝64＋‎32m>0，∴m>－2.‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－‎8m，∴x1x2＝＝m2.‎ 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－‎8m＝0，‎ 6‎ ‎∴m＝8或m＝0(舍去)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0)．‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|‎ ‎＝3＝24.‎ ‎15．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为[1，＋∞)．‎ 解析：如图，设C(x0，x)(x≠a)，‎ A(－，a)，B(，a)，则＝(－－x0，a－x)，‎ ＝(－x0，a－x)．‎ ‎∵CA⊥CB，∴·＝0，即－(a－x)＋(a－x)2＝0，‎ 整理得(a－x)(－1＋a－x)＝0.‎ ‎∴x＝a－1≥0，∴a≥1.‎ ‎16．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．‎ ‎(1)证明：直线AB过定点；‎ ‎(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．‎ 解：(1)设D(t，－)，A(x1，y1)，则x＝2y1.‎ 由y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.‎ 整理得2tx1－2y1＋1＝0.‎ 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.‎ 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.‎ 所以直线AB过定点(0，)．‎ 6‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.‎ 由可得x2－2tx－1＝0.‎ 于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，‎ 设M为线段AB的中点，则M(t，t2＋)．‎ 由于⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝±1.‎ 当t＝0时，||＝2，所求圆的方程为x2＋(y－)2＝4；‎ 当t＝±1时，||＝，‎ 所求圆的方程为x2＋(y－)2＝2.‎ 6‎