【数学】2018届高考一轮复习人教A版第八节二次函数与幂函数学案

【数学】2018届高考一轮复习人教A版第八节二次函数与幂函数学案

第八节 二次函数与幂函数 1． 了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．‎ 2． 理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．‎ 1． 利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题．‎ 2． 考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值．‎ 3． 运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系去分析和解决问题．‎ 一、二次函数 ‎1．二次函数的三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎ (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；‎ ‎ (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．‎ ‎2．二次函数的性质：‎ 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)‎ y＝ax2＋bx＋c(a＜0)‎ 图象 定义域 R R 值域 ‎[，)‎ ‎(，]‎ 单调性 在(,] 减 在[，）增 在[，) 减 在(,] 增 对称性 函数的图象关于x＝－对称 二、1．幂函数的定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．‎ ‎ ‎ ‎ 2．五种幂函数的图象：‎ ‎ ‎ ‎3．五种幂函数的性质：‎ 函数特征性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝‎ y＝x－1‎ 定义域 R R R ‎[0，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ 奇偶性 奇 偶 奇 奇 单调性 增 在(0，＋∞)上增 在(－∞，0)上减 增 增 在(0，＋∞)上减 在(－∞，0)上减 定点 ‎(1,1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限的图象特征(如图所示)：‎ ‎(1)α＞1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2；‎ ‎(2)0＜α＜1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝‎ ‎(3)α＜0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝ ‎ ‎5．幂函数的图象一定不会经过第四象限．‎ 考向一 二次函数的解析式 例1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间．‎ ‎2．已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；‎ ‎(3)f(x)＝0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式．‎ ‎3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．‎ 二次函数解析式的求法，选择规律如下：‎ ‎1．已知三个点坐标，宜选用一般式；2．已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；‎ ‎3．已知图象与x轴两交点坐标，宜选用两根式．‎ 考向二 二次函数的图象和性质 例1．设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)‎ A．x1＋x2>0，y1＋y2>0 B．x1＋x2>0，y1＋y2<0‎ C．x1＋x2<0，y1＋y2>0 D．x1＋x2<0，y1＋y2<0‎ ‎2．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：‎ ‎①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.‎ 其中正确的是(　　) ‎ A．②④ B．①④ C．②③ D．①③‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；‎ ‎(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；‎ ‎(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．‎ ‎1．分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．‎ ‎2．抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.‎ ‎3．由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.‎ 考向三 幂函数的图象和性质 例1．幂函数y＝(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)‎ ‎ ‎ A．－1x2f(x2)； ②x1f(x1)； ④<. 其中正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．①③ C．②④ D．②③‎ ‎ 幂的大小比较的常用方法：‎ 分类 考查对象 方法 底数相同，指数不同 与 利用指数函数y＝ax的单调性 指数相同，底数不同 x与x 利用幂函数y＝xα的单调性 底数、指数都不同 与 寻找中间变量0,1或或 数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论．‎ ‎☆答题模版1．已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．‎ ‎【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.‎ ‎(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝.‎ ‎①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象对称轴在[0,1]内，‎ ‎∴f(x)在[0，]上递减，在[，1]上递增．∴f(x)min＝f()＝－＝－.‎ ‎②当>1，即0－2x的解集为{x|1 ，所以③正确．法二：设f(x)＝xα，则有α＝即α＝，所以α＝，所以f(x)＝x.设g(x)＝xf(x)＝x，因为g(x)＝x在定义域内是增函数，当x1 ，所以③正确．【答案】D 基础自测：1-6．DCBBAD 7．【答案】④⑤ 8．【答案】(－∞，－2] 9．【答案】(－4,0]‎ ‎10．【答案】－2x2＋4‎