甘肃省张掖市高台县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

甘肃省张掖市高台县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

高台一中2019-2020学年下学期期中模拟试卷 高二文科数学 测试范围：选修1-1，选修1-2，选修4-4，选修4-5.‎ 一、选择题（本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则 C. 若或，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题.‎ ‎【详解】根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：‎ 若，或，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】考查逆否命题的定义，以及写出原命题的逆否命题的方法.‎ ‎2.是虚数单位，复数满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.‎ ‎【详解】，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.‎ ‎3.曲线在点处切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需利用导数的几何意义计算曲线在点处的导数值即可.‎ ‎【详解】由已知，，故切线的斜率为，所以切线方程为，‎ 即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道基础题.‎ ‎4.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（ ）‎ A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验的概念判断．‎ ‎【详解】A.独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，A错；‎ B.与概率的含义不同，有99%把握不能说明有99%的可能，B错；‎ C. 独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，C错；‎ D. 独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的问题的确定性是存在差异的，D正确．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，掌握独立性检验的概念是解题关键．独立性检验只是说明有把握，不是可能性．‎ ‎5.已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎50‎ ‎34‎ ‎41‎ ‎31‎ 由上表可得线性回归方程，则（ ）‎ A. B. C. 109 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得与的值，代入线性回归方程求得，再由，得，结合，得，则，由此求得值．‎ ‎【详解】解：，．‎ 代入，得，则．‎ ‎，‎ 由，得，‎ 令，则，，则．‎ 故选：D ．‎ ‎【点睛】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎6.下列说法正确的是( )‎ A. 回归直线至少经过其样本数据中的一个点 B. 从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌 C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D. 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线的性质，可判断A的真假；根据独立性检验的相关知识，可判断B的真假；根据数据的残差越小，其模型拟合的精度越高，可判断C的真假；根据方差性质，可判断D的真假.‎ ‎【详解】回归直线可以不经过其样本数据中的一个点，则A错误；‎ 从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌，则B错误；‎ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，表示数据的残差越小，其模型拟合的精度越高，即C正确；‎ 将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其平均数也加上或减去同一个常数，则其方差不变，故D错误，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查统计案例中的概念辨析，考查回归方程、独立性检验、残差分析及方差，属于基础题.‎ ‎7.已知（是自然对数的底数），则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的结构特点，令，求导，可得在上递增，在上递减，再利用单调性求解.‎ ‎【详解】令，‎ 所以，‎ 当时， ，当时，，‎ 所以在上递增，在上递减.‎ 因为，‎ 所以 ，‎ 即.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性比较大小，还考查了推理论证的能力，属于中档题.‎ ‎8.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的，则的值可以是( )‎ ‎ (参考数据: ，，) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为.故.‎ 故选C．‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.‎ ‎【详解】令,则,‎ 所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,‎ 当时,,,‎ 由,得,由,得,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 结合图像分析,不正确.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了利用函数奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．‎ ‎【详解】由程序框图可知，输入，，，‎ 第一次运算：，；‎ 第二次运算：，；‎ 第三次运算：，；‎ 第四次运算：，；‎ 第五次运算：，；‎ 第六次运算：，；‎ 第七次运算：，；‎ 第八次运算：，；‎ 第九次运算：，；‎ 第十次运算：，，‎ 综上所述，输出的结果为，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．‎ ‎11.已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原题等价于函数的图象与直线有四个交点，当直线与函数相切时，，当直线与函数相切时，利用导数的几何意义可得，再结合图象即可得结果.‎ ‎【详解】作出的图象如图所示，‎ 方程有四个不相等的实根，‎ 等价于函数的图象与直线有四个交点，‎ 其临界位置和两段曲线相切时，‎ 当直线与函数相切时，‎ 联立得，‎ 由，解得或（由图可得舍负）‎ 当直线与函数相切时，‎ 设切点坐标为，‎ ‎，切线的斜率为：，‎ 切线方程为，‎ 由于切线恒过，代入可得，可得：，‎ 即由图知函数的图象与直线有四个交点时，‎ 实数的取值范围是，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，有一定难度.‎ ‎12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，‎ ‎∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，‎ 设PA的倾斜角为，则，‎ 当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，‎ 设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，‎ ‎∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），‎ ‎∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．‎ 故选B．‎ 点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.‎ 二、填空题（本题共4小题）‎ ‎13.若复数满足，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为的圆上，设圆上任意一点的坐标为.表示圆上的点到和两点距离之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎14.“光明天使”基金收到甲乙丙三兄弟24万、25万、26万三笔捐款（一人捐一笔款），记者采访这三兄弟时，甲说：“乙捐的不是最少.”乙说：“甲捐的比丙多.”丙说：“若我捐的最少，则甲捐的不是最多.”根据这三兄弟的回答，确定乙捐了_________万.‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三人的话进行推理可得．‎ ‎【详解】由甲乙两人的话知丙最小，再由丙的话知甲居中，因此乙最多为26万元．‎ 故答案为：26.‎ ‎【点睛】本题考查推理，掌握推理方法是解题基础．‎ ‎15.某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述：①甲只能承担第四项工作；②乙不能承担第二项工作；③丙可以不承担第三项工作；④丁可以承担第三项工作；其中错误的是______.‎ 一 二 三 四 五 甲 ‎15‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎15‎ 乙 ‎22‎ ‎23‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎20‎ 丙 ‎9‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ 丁 ‎7‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎9‎ ‎11‎ 戊 ‎13‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎11‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为，但不能同时取得．‎ 要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，‎ 所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，‎ 此时效益值总和为；‎ 乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，‎ 此时效益值总和为，所以乙不承担第二项工作，‎ 故答案为：①③④；‎ ‎【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设小圆柱体底面半径为，则高为，小圆柱体体积，设，则，利用导数性质能求出小圆柱体体积的最大值.‎ ‎【详解】根据题意画出图象：‎ 由题意，设小圆柱体底面半径为，‎ 则高为，‎ 小圆柱体体积，‎ 设，‎ 则 则 当时，‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查圆柱体体积的最值问题，根据圆柱体积公式构建函数，求导研究函数的性质，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于难题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知命题直线与焦点在轴上的椭圆无公共点，命题方程 表示双曲线．‎ ‎（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆方程的特征知，联立直线与椭圆的方程，根据列出不等式解出即可得的取值范围；‎ ‎（2）根据双曲线方程的特征得出为真时对应的的取值范围，结合命题是命题的充分不必要条件列出不等式即可得结果.‎ ‎【详解】（1）∵椭圆的焦点在轴上，∴，‎ 又∵直线与椭圆无公共点，‎ 由得，‎ ‎∴，结合，可得，‎ 即命题是真命题，实数的取值范围为.‎ ‎（2）方程表示双曲线，‎ ‎∴，解得或，‎ 又∵命题是命题的充分不必要条件，‎ ‎∴或，解得或，‎ 即实数的取值范围或.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；‎ ‎（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．‎ ‎【详解】解：（1）或或 解得或或无解 综上不等式的解集为．‎ ‎（2）时，，即 所以只需在时恒成立即可 令，‎ 由解析式得在上是增函数，‎ ‎∴当时，‎ 即 ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．‎ ‎19.某品牌汽车4S店为对厂家研发的一种辅助产品进行合理定价，对该产品进行试销售，如图1.在试销售期间对名顾客进行回访，由客户对该产品性能作出“满意”或“不满意”评价，如图2.‎ ‎（1）判断能否有的把握认为“客户购买产品对产品性能满意之间有关”？‎ ‎（2）请结合数据：，，，，求与的回归方程（精确到）‎ ‎【答案】（1）有；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入公式求得后，与进行比较即可得解；‎ ‎（2）由散点图可知，与的线性相关性较强，设，代入公式求得、后，即可得，由即可得解.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.‎ ‎（2）由散点图可知，与的线性相关性较强，设.‎ 由题设，‎ 所以，‎ 所以，又，所以关于的回归方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验和非线性回归方程的求解，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎20.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).‎ ‎（1）求曲线的直角坐标系方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）点在曲线上，且到直线的距离为，求符合条件的点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1),;(2), ,,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 两边同时乘以,结合 即可求解;对于直线,消除参数即可得普通方程.‎ ‎(2)由题意求出曲线的参数方程为,由到直线的距离为,可知,整理后可求出 的值,从而可得答案.‎ ‎【详解】解:(1)由曲线的极坐标方程为,则 即,得其标准方程为.‎ 直线参数方程为(为参数),则其普通方程为.‎ ‎(2)由(1)得曲线为圆心为,半径为5的圆,曲线的参数方程为 ‎(为参数),则,化简为 可得或.‎ 当时注意到,联立方程组得 或,此时对应的点坐标为.‎ 当时,同理可得或,即点坐标为.‎ 综上,符合条件的点坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的转化,考查了参数方程与普通方程的转化,考查了参数的应用.极坐标方程向普通方程转化时,代入公式;反之,由普通方程转化为极坐标方程时,代入公式;参数方程转化为普通方程时,关键是消参.‎ ‎21.已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）在轴上存在点，使得为定值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解.‎ ‎【详解】(1)依题意，得，‎ 则，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 代人椭圆的方程，可得 设，，则，‎ 设，则 若为定值，则，解得 此时 点的坐标为 ‎②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得 不妨设，若，则 综上所述，在轴上存在点，使得为定值 ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数（其中a是实数）．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎ （2）若设，且有两个极值点 ，，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2） ，‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)求出的定义域，，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出的单调区间.‎ ‎(2)推导出，令，，则恒成立，由此能求出的取值范围 试题解析：（1） (其中是实数)，‎ 的定义域，，‎ 令，=-16,对称轴，，‎ 当=-160，即-4时，，‎ 函数的单调递增区间为，无单调递减区间，‎ 当=-160,即或 若，则恒成立，‎ ‎ 的单调递增区间为，无单调递减区间．‎ 若4，令，得 ‎=，=，‎ 当(0,)(,+时，当（）时，‎ 的单调递增区间为（0，），（），单调递减区间为（）‎ 综上所述当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，‎ 当时，的单调递增区间为（0，）和（），单调递减区间为（）‎ ‎(2)由(1)知，若有两个极值点，则4，且，，又，，，，‎ 又，解得，‎ 令， 则恒成立 在单调递减，，‎ 即 故的取值范围为 点睛：在含有参量的导数求单调区间需要进行分类讨论，将所有的情况讨论完整．在求范围时往往要把参量消去，然后根据范围求出结果．‎