2019版一轮复习文数通用版第二单元 函数的概念及其性质
第二单元 函数的概念及其性质
教材复习课 “函数”相关基础知识一课过
函数的基本概念
[过双基]
1．函数与映射的概念
函数 映射
两集合 A，B 设 A，B是非空的数集 设 A，B是非空的集合
对应关系 f：
A→B
如果按照某种确定的对应关系 f，使
对于集合 A 中的任意一个数 x，在
集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与
之对应
如果按某一个确定的对应关系 f，
使对于集合 A中的任意一个元素
x，在集合 B中都有唯一确定的元
素 y与之对应
名称
称 f：A→B为从集合 A到集合 B的
一个函数
称对应 f：A→B为从集合 A到集
合 B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A 对应 f：A→B
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x
的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
3．表示函数的常用方法
列表法、图象法和解析法．
4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这种函数
称为分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并
集．
1．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}，值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝
f(x)的图象可能是( )
答案：B
2．下列函数中，与函数 y＝x相同的函数是( )
A．y＝x2
x
B．y＝(
3
x2)3
2
C．y＝lg 10x D．y＝2log2x
解析：选 C A．y＝x2
x
＝x(x≠0)与 y＝x的定义域不同，故不是相同的函数；
B．y＝(
3
x2)3
2
＝|x|与 y＝x的对应关系不相同，故不是相同的函数；
C．y＝lg 10x＝x与 y＝x的定义域、值域与对应关系均相同，故是相同的函数；
D．y＝2log2x与 y＝x的对应关系不相同，故不是相同的函数．
3．已知函数 f(x)＝
log1
2
x，x>1，
2＋16x，x≤1，
则 f f
1
4 ＝( )
A．－2 B．4
C．2 D．－1
解析：选 A 因为函数 f(x)＝
log1
2
x，x>1，
2＋16x，x≤1，
所以 f
1
4 ＝2＋161
4
＝4，
则 f f
1
4 ＝f(4)＝log1
2
4＝－2.
4．已知 f
1
2
x－1
＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a等于( )
A.7
4
B．－
7
4
C.4
3
D．－
4
3
解析：选 A 令 t＝1
2
x－1，则 x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则 4a－1＝6，解得
a＝7
4
.
[清易错]
1．解决函数有关问题时，易忽视“定义域优先”的原则．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A到
B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
1．(2018·合肥八中模拟)已知函数 f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( )
A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)
B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)
C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)
D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
解析：选 B 因为 f(x)＝2x＋1，所以 f(x－1)＝2x－1.因为函数 f(x)的定义域为[1,3]，所
以 1≤x－1≤3，即 2≤x≤4，故 f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)．
2．下列对应关系：
①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x的平方根；
②A＝R，B＝R，f：x→x的倒数；
③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；
④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．
其中是 A到 B的映射的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．②③
解析：选 C 由映射的概念知①中集合 B中有两个元素对应，②中集合 A中的 0元素
在集合 B中没有对应，③④是映射．故选 C.
函数定义域的求法
[过双基]
函数 y＝f(x)的定义域
1.函数 f(x)＝ 1－|x－1|
ax－1
(a＞0且 a≠1)的定义域为________．
解析：由
1－|x－1|≥0，
ax－1≠0
⇒
0≤x≤2，
x≠0
⇒0＜x≤2，
故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2]
2．函数 y＝lg(1－2x)＋ x＋3的定义域为________．
解析：由题意可知
1－2x>0，
x＋3≥0，
求解可得－3≤x<0，
所以函数 y＝lg(1－2x)＋ x＋3的定义域为[－3,0)．
答案：[－3,0)
[清易错]
1.求复合型函数的定义域时，易忽视其满足内层函数有意义的条件.
2.求抽象函数的定义域时，易忽视同一个对应关系后的整体范围.
1．(2018·辽宁锦州模拟)已知函数 f(x2－3)＝lg x2
x2－4
，则 f(x)的定义域为________．
解析：设 t＝x2－3(t≥－3)，则 x2＝t＋3，所以 f(t)＝lg t＋3
t＋3－4
＝lgt＋3
t－1
，由
t＋3
t－1
>0，得
t>1或 t<－3，因为 t≥－3，所以 t>1，即 f(x)＝lg x＋3
x－1
的定义域为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
2．已知函数 f(x)的定义域为[0,2]，则函数 g(x)＝f(2x)＋ 8－2x的定义域为________．
解析：因为函数 f(x)的定义域为[0,2]，
所以对于函数 f(2x)，0≤2x≤2，即 0≤x≤1，
又因为 8－2x≥0，所以 x≤3，
所以函数 g(x)＝f(2x)＋ 8－2x的定义域为[0,1]．
答案：[0,1]
函数的单调性与最值
[过双基]
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D
上的任意两个自变量的值 x1，x2
当 x1
f(x2)，那
么就说函数 f(x)在区间 D 上是减
函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有
(严格的)单调性，区间 D叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
(3)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
(4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1．(2018·珠海摸底)下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是( )
A．y＝2－x B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝－
1
x
解析：选 B 由题知，只有 y＝2－x与 y＝x的定义域为 R，且只有 y＝x在 R上是增函数．
2．函数 f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞)
解析：选 A 由于 f(x)＝|x－2|x＝
x2－2x，x≥2，
－x2＋2x，x<2.
作出函数 f(x)的图象如图，
则结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
3．(2018·长春质量检测)已知函数 f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则 a的取值
范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选 A 因为函数 f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得 a≤1.
4．若函数 f(x)＝ 1
x－1
在区间[a，b]上的最大值是 1，最小值是
1
3
，则 a＋b＝________.
解析：易知 f(x)在[a，b]上为减函数，
∴
fa＝1，
fb＝1
3
，
即
1
a－1
＝1，
1
b－1
＝
1
3
，
∴
a＝2，
b＝4.
∴a＋b＝6.
答案：6
5．函数 f(x)＝
1
x
，x≥1，
－x2＋2，x<1
的最大值为________．
解析：当 x≥1时，函数 f(x)＝1
x
为减函数，所以 f(x)在 x＝1处取得最大值，为 f(1)＝1；
当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2在 x＝0 处取得最大值，为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值
为 2.
答案：2
[清易错]
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具
备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例
如，函数 f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定
是减函数，如函数 f(x)＝1
x
.
1．函数 f(x)＝ x
1－x
在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：选 C 函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝ x
1－x
＝
1
1－x
－1，根据函数 y＝－
1
x
的
单调性及有关性质，可知 f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．
2．设定义在 [－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝ f(x)的增区间为
________．
答案：[－1,1]，[5,7]
函数的奇偶性
[过双基]
1．定义及图象特征
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个
x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)是
偶函数
关于 y轴对称
奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个
x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)
是奇函数
关于原点对称
2．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0.
(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D是关
于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
1．下列函数中的偶函数是( )
A．y＝2x－ 1
2x
B．y＝xsin x
C．y＝excos x D．y＝x2＋sin x
解析：选 B 因为 f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，即函数 f(x)是偶函数，故选 B.
2．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－2)＝f(x＋2)，且当 x∈[－2,0]时，f(x)＝3x－1，则
f(9)＝( )
A．－2 B．2
C．－
2
3
D.2
3
解析：选 D 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以当 x∈[0,2]时，f(x)＝－f(－x)＝－3
－x＋1；设 x－2＝t，则 x＝t＋2，则 f(x－2)＝f(x＋2)可化为 f(t)＝f(t＋4)，即函数 f(x)是周期
为 4的周期函数，则 f(9)＝f(1)＝2
3
.
3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(2x－1)f(1)
C．f(m)＝f(1) D．f(m)与 f(1)大小不能确定
解析：选 A 由题意可知－3－m＋m2－m＝0，
所以 m＝3或 m＝－1，
又因为函数 f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，
所以 2－m是奇数，且 2－m>0，
所以 m＝－1，则 f(x)＝x3，定义域为[－2,2]且在[－2,2]上是增函数，
所以 f(m)0，
log2－x，x<0
的奇偶性为________．
解析：∵x≠0，故 f(x)的定义域关于原点对称．
当 x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝log2x＝f(x)．
当 x<0时，－x>0，
f(－x)＝log2(－x)＝f(x)．
故 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
答案：偶函数
函数的周期性
[过双基]
1．周期函数
对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)
的最小正周期．
3．重要结论
周期函数的定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的，若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则
函数 f(x)的周期为 T＝|a－b|.
若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝ 1
fx
，f(x＋a)＝－
1
fx
(a>0)．则 f(x)为周期
函数，且 T＝2a为它的一个周期．
4．对称性与周期的关系
(1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a
－b|是它的一个周期．
(2)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它
的一个周期．
(3)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a－b|
是它的一个周期．
1．已知函数 f(x)＝
sin x
4
π，x>0，
fx＋2，x≤0，
则 f(－5)的值为( )
A．0 B. 2
2
C．1 D. 2
解析：选 B 由 f(x)＝
sin x
4
π，x>0，
fx＋2，x≤0，
可得 f(－5)＝f(1)＝sin π
4
＝
2
2
.
2．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当 x∈[0,1]时，
f(x)＝log2(x＋1)，则 f(31)＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：选 C 由 f(－x)＝－f(x)可得函数 f(x)是奇函数，所以 f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－
1)．
令 x－1＝t，则 x＝t＋1，所以 f(t＋2)＝－f(t)，
则 f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，
即函数 f(x)的最小正周期为 4.
又因为当 x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，
所以 f(31)＝f(31－4×8)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.
3．(2018·晋中模拟)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)＝2，且对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)
＋f(3)成立，则 f(2 017)＝________.
解析：∵f(x)是 R 上的奇函数，
∴f(0)＝0，又对任意 x∈R 都有 f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，
∴当 x＝－3时，
有 f(3)＝f(－3)＋f(3)＝0，
∴f(－3)＝0，f(3)＝0，
∴f(x＋6)＝f(x)，周期为 6.
故 f(2 017)＝f(1)＝2.
答案：2
[清易错]
在利用周期性定义求解问题时，易忽视定义式 fx＋T＝fxT≠0的使用而致误.
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x＋2)＝－
1
fx
，当 2≤x≤3时，f(x)＝x，则
f(105.5)＝________.
解析：由已知，可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－
1
fx＋2
＝－
1
－
1
fx
＝f(x)．
故函数 f(x)的周期为 4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，
∴f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案：2.5
一、选择题
1．函数 f(x)＝lg(x－1)－ 4－x的定义域为( )
A．(－∞，4] B．(1,2)∪(2,4]
C．(1,4] D．(2,4]
解析：选 C 由题意可得
x－1>0，
4－x≥0，
解得 1f(x2)”，则 f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex
C．f(x)＝1
x
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选 C 根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于 A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除 A；
对于 B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除 B；
对于 C，f(x)＝1
x
在(0，＋∞)上单调递减，C正确；
对于 D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除 D.
7．已知函数 f(x)＝log1
3
(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围是
( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C.
－
1
2
，2
D.
－
1
2
，2
解析：选 D 令 t＝g(x)＝x2－ax＋3a，易知 y＝log1
3
t在其定义域上单调递减，要使 f(x)
＝log1
3
(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)上单调递减，则 t＝g(x)＝x2－ax＋3a在[1，＋∞)上单调递增，
且 t＝g(x)＝x2－ax＋3a>0，即
－
－a
2
≤1，
g1>0，
所以
a≤2，
a>－1
2
，
即－
1
2
0，则－x<0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－
9－x＋ a2
－x
＋7
＝9x＋a2
x
－7.由基
本不等式得 9x＋a2
x
－7≥2 9x·a
2
x
－7＝－6a－7，由 f(x)≥a＋1 对一切 x≥0 成立，只需－
6a－7≥a＋1，即 a≤－
8
7
，结合 a≤－1，所求 a的取值范围是
－∞，－
8
7 .
答案：
－∞，－
8
7
11．设 f(x)＝x3＋log2(x＋ x2＋1)，则对任意实数 a，b，a＋b≥0 是 f(a)＋f(b)≥0 的
________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要)．
解析：因为 f(－x)＝－x3＋log2(－x＋ x2＋1)＝－x3＋log2
1
x＋ x2＋1
＝－x3－log2(x＋
x2＋1)＝－f(x)，
所以函数 f(x)是奇函数，易知函数 f(x)在 R 上是增函数，
因为 a＋b≥0，所以 a≥－b，
所以 f(a)≥f(－b)＝－f(b)，即 f(a)＋f(b)≥0，反之亦成立，
因此，对任意实数 a，b，a＋b≥0是 f(a)＋f(b)≥0的充要条件．
答案：充要
12．设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；
③当 0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则 f
1
2 ＋f(1)＋f
3
2 ＋f(2)＋f
5
2 ＝________.
解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，
则 f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即 f(1)＝0.
∴f
1
2 ＋f(1)＋f
3
2 ＋f(2)＋f
5
2
＝f
1
2 ＋0＋f
－
1
2 ＋f(0)＋f
1
2
＝f
1
2 －f
1
2 ＋f(0)＋f
1
2
＝f
1
2 ＋f(0)
＝21
2
－1＋20－1
＝ 2－1.
答案： 2－1
三、解答题
13．设函数 f(x)＝
ax＋b，x<0，
2x，x≥0，
且 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求 f(x)的解析式；
(2)画出 f(x)的图象．
解：(1)由 f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得
－2a＋b＝3，
－a＋b＝2，
解得 a＝－1，b＝1，
所以 f(x)＝
－x＋1，x<0，
2x，x≥0.
(2)f(x)的图象如图所示：
14．设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当
0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求 f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求 f(x)的图象与 x轴所围成图形的面积．
解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)，得
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)是以 4为周期的周期函数．
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由 f(x)是奇函数与 f(x＋2)＝－f(x)，
得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即 f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称．
又当 0≤x≤1时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与 x轴围成的图形面积为 S，
则 S＝4S△OAB＝4×
1
2
×2×1
＝4.
高考研究课一函数的定义域、解析式及分段函数
[全国卷 5年命题分析]
考点 考查频度 考查角度
函数的概念 5年 1考 函数定义问题
分段函数 5年 4考 分段函数求值及不等式恒成立问题
函数的定义域问题
[典例] (1)(2018·长沙模拟)函数 y＝lgx＋1
x－2
的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1,2)∪(2，＋∞) D．[－1,2)∪(2，＋∞)
(2)若函数 f(x)＝ 2
2+2 -x ax a
－1的定义域为 R，则 a的取值范围为________．
[解析] (1)由题意知，要使函数有意义，需
x－2≠0，
x＋1>0，
即－12，所以函数
的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选 C.
(2)因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2x2＋2ax－a－1≥0 对 x∈R 恒成立，即 2x2＋2ax
－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
[答案] (1)C (2)[－1,0]
[方法技巧]
函数定义域问题的 3种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
[即时演练]
1．函数 f(x)＝ 4－|x|＋lg x2－5x＋6
x－3
的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
解析：选 C 由题意得
4－|x|≥0，
x2－5x＋6
x－3
>0， 解得 21， 则满足 f(x)≤2的 x的取值范围是________．
解析：因为 f(x)＝
21－x，x≤1，
log2
2
x
，x>1， 所以 f(x)≤2 等价于
x≤1，
21－x≤2
或
x>1，
log2
2
x
≤2， 即
x≤1，
1－x≤1
或
x>1，
2
x
≤4， 即 0≤x≤1或 x>1，则满足 f(x)≤2的 x的取值范围是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
3．(2018·厦门模拟)已知函数 f(x)＝
1－2ax＋3a，x<1，
2x－1， x≥1
的值域为 R，则实数 a 的
取值范围是________．
解析：当 x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，
∵函数 f(x)＝
1－2ax＋3a，x<1，
2x－1， x≥1
的值域为 R，
∴当 x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则
1－2a>0，
1－2a＋3a≥1，
解
得 0≤a<1
2
.
答案：
0，1
2
角度三：研究分段函数的性质
4．已知函数 f(x)＝
x2＋1，x>0，
cos x，x≤0，
则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选 D 因为 f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以 f(－π)≠f(π)，所以函数 f(x)不是偶
函数，排除 A；因为函数 f(x) 在(－2π，－π)上单调递减，排除 B；函数 f(x)在(0，＋∞)上
单调递增，所以函数 f(x)不是周期函数，排除 C；因为 x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，
所以函数 f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选 D.
5．已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝
2－x－1，x≤0，
fx－1，x>0，
若方程 f(x)＝x＋a 有两个
不同实根，则 a的取值范围为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(0,1) D．(－∞，＋∞)
解析：选 A 当 x≤0时，f(x)＝2－x－1，
当 00时，f(x)是周期函数，
如图所示．
若方程 f(x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a有两个不同
交点，
故 a<1，即 a的取值范围是(－∞，1)．
[方法技巧]
分段函数问题的 3种类型及求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应
段的自变量的取值范围．
(3)研究分段函数的性质
可根据分段函数逐段研究其性质，也可根据选项利用特殊值法作出判断．
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10lg x的定义域和值域
相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝ 1
x
解析：选 D 函数 y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数 y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数 y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数 y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数 y＝ 1
x
的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选 D.
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)＝
1＋log22－x，x<1，
2x－1，x≥1，
则 f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选 C ∵－2<1，
∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝12
2
＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝
2x－1－2，x≤1，
－log2x＋1，x>1，
且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝
( )
A．－
7
4
B．－
5
4
C．－
3
4
D．－
1
4
解析：选 A 由于 f(a)＝－3，
①若 a≤1，则 2a－1－2＝－3，整理得 2a－1＝－1.
由于 2x>0，所以 2a－1＝－1无解；
②若 a>1，则－log2(a＋1)＝－3，
解得 a＋1＝8，a＝7，
所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－
7
4
.
综上所述，f(6－a)＝－
7
4
.
4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝
－x2＋2x，x≤0，
lnx＋1，x＞0.
若|f(x)|≥ax，则 a 的取值范围
是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
解析：选 D 当 x≤0 时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax 化简为 x2
－2x≥ax，即 x2≥(a＋2)x，因为 x≤0，所以 a＋2≥x 恒成立，所以 a≥－2；当 x＞0 时，
f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为 ln(x＋1)＞ax恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，
当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立，故选 D.
一、选择题
1．(2018·广东模拟)设函数 f(x)满足 f
1－x
1＋x ＝1＋x，则 f(x)的表达式为( )
A. 2
1＋x
B. 2
1＋x2
C.1－x2
1＋x2
D.1－x
1＋x
解析：选 A 令
1－x
1＋x
＝t，则 x＝1－t
1＋t
，代入 f
1－x
1＋x ＝1＋x，得 f(t)＝1＋1－t
1＋t
＝
2
1＋t
，即
f(x)＝ 2
1＋x
，故选 A.
2．函数 f(x)＝ 1
ln2x＋1
的定义域是( )
A.
－
1
2
，＋∞
B.
－
1
2
，0
∪(0，＋∞)
C.
－
1
2
，＋∞
D．[0，＋∞)
解析：选 B 由题意，得
2x＋1>0，
2x＋1≠1，
解得－
1
2
0.
3．(2018·福建调研)设函数 f：R→R 满足 f(0)＝1，且对任意 x，y∈R 都有 f(xy＋1)＝f(x)f(y)
－f(y)－x＋2，则 f(2 017)＝( )
A．0 B．1
C．2 017 D．2 018
解析：选 D 令 x＝y＝0，则 f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令 y＝0，
则 f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将 f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得 f(x)＝1＋x，所以 f(2 017)＝2
018.
4．若 f(x)对于任意实数 x恒有 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则 f(1)＝( )
A．2 B．0
C．1 D．－1
解析：选 A 令 x＝1，得 2f(1)－f(－1)＝4，①
令 x＝－1，得 2f(－1)－f(1)＝－2， ②
联立①②得 f(1)＝2.
5．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选 B 设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴
a＋b＋c＝1，
a－b＋c＝5，
c＝0，
解得
a＝3，
b＝－2，
c＝0，
∴g(x)＝3x2－2x.
6．(2018·青岛模拟)已知函数 f(x)＝
2x，x≤0，
|log2x|，x>0，
则使 f(x)＝2的 x的集合是( )
A.
1
4
，4
B.{1，4}
C.
1，1
4 D.
1，1
4
，4
解析：选 A 由题意可知，f(x)＝2，即
2x＝2，
x≤0
或
|log2x|＝2，
x>0，
解得 x＝1
4
或 4，故
选 A.
7．(2018·莱芜模拟)已知函数 f(x)的定义域为[3,6]，则函数 y＝
f2x
log1
2
2－x
的定义域为
( )
A.
3
2
，＋∞
B.
3
2
，2
C.
3
2
，＋∞
D.
1
2
，2
解析：选 B 要使函数 y＝
f2x
log1
2
2－x
有意义，需满足
3≤2x≤6，
log1
2
2－x>0，
2－x>0
⇒
3
2
≤x≤3，
2－x<1，
2－x>0
⇒
3
2
≤x<2.故选 B.
8．(2018·武汉调研)函数 f(x)＝
sinπx2，－10对任意实数 x恒成立，
若 k＝0，不等式化为 4x＋3>0，即 x>－3
4
，不合题意；
若 k≠0，则
k>0，
16－4kk＋3<0，
解得 k>1.
∴实数 k的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
11．具有性质：f
1
x ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①f(x)＝x－1
x
；②f(x)＝x＋1
x
；③f(x)＝
x，01.
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
解析：对于①，f(x)＝x－1
x
，f
1
x ＝
1
x
－x＝－f(x)，满足题意；
对于②，f
1
x ＝
1
x
＋x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；
对于③，f
1
x ＝
1
x
，0<1
x
<1，
0，1
x
＝1，
－x，1
x
>1，
即 f
1
x ＝
1
x
，x>1，
0，x＝1，
－x，0a.
①若 a＝0，则 f(x)的最大值为________；
②若 f(x)无最大值，则实数 a的取值范围是________．
解析：当 x≤a时，由 f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1.
如图是函数 y＝x3－3x与 y＝－2x在没有限制条件时的图象．
①若 a＝0，则 f(x)max＝f(－1)＝2.
②当 a≥－1时，f(x)有最大值；
当 a<－1时，y＝－2x在 x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以 a<－1.
答案：①2 ②(－∞，－1)
三、解答题
13．已知 f(x)＝x2－1，g(x)＝
x－1，x>0，
2－x，x<0.
(1)求 f(g(2))与 g(f(2))；
(2)求 f(g(x))与 g(f(x))的表达式．
解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
因此 f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当 x>0时，g(x)＝x－1，
故 f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当 x<0时，g(x)＝2－x，
故 f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以 f(g(x))＝
x2－2x，x>0，
x2－4x＋3，x<0.
当 x>1或 x<－1时，f(x)>0，
故 g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；
当－11或 x<－1，
3－x2，－10.
解得 t>15＋ 21
2
或 t<15－ 21
2
，
从而 00，v(t)单调递增；
当 t∈(9,10)时，v′(t)<0，v(t)单调递减．
所以当 t＝9时，v(t)的最大值 v(9)＝ 1
240
×3×e9＋50＝150(亿立方米)，
故一年内该水库的最大蓄水量是 150亿立方米．
1．已知函数 f(x)＝
2x－1，0≤x≤1，
fx－1＋m，x>1
在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意 a
≥0，方程 f(x)＝a 有且只有一个实数解，则函数 g(x)＝f(x)－x 在区间[0,2n](n∈N*)上的所有零
点的和为( )
A.nn＋1
2
B．22n－1＋2n－1
C.1＋2n2
2
D．2n－1
解析：选 B 因为函数 f(x)＝
2x－1，0≤x≤1，
fx－1＋m，x>1
在定义域[0，＋∞)上单调递增，所
以 m≥1.
又因为对于任意 a≥0，方程 f(x)＝a有且只有一个实数解，且函数 f(x)
＝
2x－1，0≤x≤1，
fx－1＋m，x>1
在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图象连续，所
以 m＝1.
如图所示，函数 g(x)＝f(x)－x在区间
[0,2n](n∈N*)上的所有零点分别为 0,1,2,3，…，2n
，
所以所有的零点的和等于
2n1＋2n
2
＝22n－1＋2n－1.
2．设函数 f(x)＝
x－[x]，x≥0，
fx＋1，x<0，
其中[x]表示不超过 x的最大整数，如[－1.5]＝－2，
[2.5]＝2，若直线 y＝k(x－1)(k<0)与函数 y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，则 k的取值范
围为( )
A.
－
1
2
，－
1
3 B.
－
1
2
，－
1
3
C.
－1，－
1
2 D.
－1，－
1
2
解析：选 C 作出函数 f(x)＝
x－[x]，x≥0，
fx＋1，x<0
的图象如图所示．
因为直线 y＝k(x－1)(k<0)与函数 y＝f(x)的图象只有三个不同的交点，
所以
k0－1<1，
k－1－1≥1，
解得－10在(0，＋∞)内恒成立，故 y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，故选
A.
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ x
2
B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5x
解析：选 A y＝ x
2
在区间(0，＋∞)上为增函数，A项符合题意；y＝(x－1)2在(0,1)上
为减函数，y＝2－x，y＝log0.5x在(0，＋∞)上都是减函数，故 B、C、D选项都不符合题意．
3．(2018·广东佛山联考)讨论函数 f(x)＝ ax
x2－1
(a>0)在(－1,1)上的单调性．
解：法一：(定义法)
设－10，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.
又 a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
故函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二：(导数法)
f′(x)＝
ax′x2－1－axx2－1′
x2－12
＝
ax2－1－2ax2
x2－12
＝
a－x2－1
x2－12
＝－
ax2＋1
x2－12
.
∵a>0，x∈(－1,1)，
∴f′(x)<0.
∴f(x)在(－1,1)上是减函数．
[方法技巧]
确定函数单调性的常用方法
定义法 先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论
图象法
若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、
降写出它的单调性
导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性
[提醒] 复合函数 y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外
函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．
角度二：求函数的值域或最值
4．函数 y＝2x2＋2x的值域为( )
A.
1
2
，＋∞
B．[2，＋∞)
C.
0，1
2 D．(0,2]
解析：选 A 因为 x2＋2x≥－1，且 y＝2t是增函数，
所以 y＝2x2＋2x≥1
2
，
因此函数 y＝2x2＋2x的值域是
1
2
，＋∞
.
5．(2016·北京高考)函数 f(x)＝ x
x－1
(x≥2)的最大值为________．
解析：f′(x)＝x－1－x
x－12
＝－
1
x－12
，
当 x≥2时，f′(x)＜0，所以 f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故 f(x)max＝f(2)＝ 2
2－1
＝2.
答案：2
[方法技巧]
利用单调性求函数的最值的关键是准确判断其单调性，而判断方法常用定义法及导数
法．
角度三：比较两个函数值
6．(2017·天津高考)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若 a＝g(－log25.1)，
b＝g(20.8)，c＝g(3)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．a0时，f(x)>0，
所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 g(x)>0.
又 a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，
20．8<2＝log24x1>1 时，[f(x2)－
f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设 a＝f
－
1
2 ，b＝f(2)，c＝f(e)，则 a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
解析：选 D 由 f(x)的图象关于直线 x＝1对称，可得 f
－
1
2 ＝f
5
2 .由 x2>x1>1时，[f(x2)
－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知 f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<5
2
f
5
2 >f(e)，
∴b>a>c.
[方法技巧]
比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
角度四：解函数不等式
8．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足 f(2x－1)5，即 x<－2或 x>3.
9．已知函数 f(x)＝{x2＋x，x≥0， x－x2，x<0， 若 f(a)>f(2－a)，则 a的取值范围是
________．
解析：作出函数 f(x)＝{x2＋x，x≥0， x－x2，x<0 的图象，如图所
示，显然函数 f(x)是增函数，所以不等式 f(a)>f(2－a)等价于 a>2－a，则
a>1.
答案：(1，＋∞)
[方法技巧]
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转
化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
角度五：利用单调性求参数的取值范围
10．(2018·济宁模拟)函数 f(x)＝ ax，x>1，
4－a
2 x＋2，x≤1， 满足对任意的实数
x1≠x2都有
fx1－fx2
x1－x2
>0成立，则实数 a的取值范围为____________．
解析：由题意，函数 f(x)在(－∞，1]和(1，＋∞)上都是增函数，且 f(x)在(－∞，1]上
的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即
a>1， 4－a
2
>0， a≥4－a
2
＋2，
解得 a
∈[4,8)．
答案：[4,8)
[方法技巧]
利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单
调区间比较求参数；
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
函数的奇偶性
[典例] (1)(2018·重庆适应性测试)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x3＋3x2 B．y＝ex＋e－x
2
C．y＝xsin x D．y＝log2
3－x
3＋x
(2)(2018·湖北武汉十校联考)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝
ex，则 g(x)＝( )
A．ex－e－x B.1
2
(ex＋e－x)
C.1
2
(e－x－ex) D.1
2
(ex－e－x)
(3)若 f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则 a＝________.
[解析] (1)依题意，对于选项 A，注意到当 x＝－1时，y＝2；当 x＝1时，y＝4，因此
函数 y＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项 B，注意到当 x＝0时，y＝1≠0，因此函数 y＝ex＋e－x
2
不是奇函数．对于选项 C，注意到当 x＝－
π
2
时，y＝π
2
；当 x＝π
2
时，y＝π
2
，因此函数 y＝xsin
x 不是奇函数．对于选项 D，由
3－x
3＋x
>0 得－33成立的 x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：选 C ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即
2－x＋1
2－x－a
＝－
2x＋1
2x－a
，化简可得 a＝1，
则
2x＋1
2x－1
>3，即
2x＋1－3×2x＋3
2x－1
>0，
∴
2x－2
2x－1
<0，∴1<2x<2，解得 0b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
解析：选 C 由 f(x－1)＝f(x＋1)可知，函数的最小正周期为 2，由 f(x＋1)＝f(1－x)可
知，函数的图象关于直线 x＝1 对称，又因为当 x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x，所以 a＝f(－ 2)
＝f(2＋ 2)＝f( 2－2)＝e2－ 2，b＝f(3)＝f(－1)＝e，c＝f(8)＝f(0)＝1，则 b>a>c.
2．(2016·江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝
x＋a，－1≤x＜0， |25－x|，0≤x＜1， 其中 a∈R.若 f
－
5
2 ＝ f
9
2 ，则 f(5a)的值是
________．
解析：因为函数 f(x)的周期为 2，结合在[－1,1)上 f(x)的解析式，得
f
－
5
2 ＝f
－2－1
2 ＝f
－
1
2 ＝－
1
2
＋a，
f
9
2 ＝f
4＋1
2 ＝f
1
2 ＝|25－
1
2|＝ 1
10
.
由 f
－
5
2 ＝f
9
2 ，得－
1
2
＋a＝ 1
10
，解得 a＝3
5
.
所以 f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋3
5
＝－
2
5
.
答案：－
2
5
函数性质的综合应用
高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、
单调性的综合考查.
常见的命题角度有：
1单调性与奇偶性结合；
2周期性与奇偶性结合；
3单调性、奇偶性与周期性结合.
角度一：单调性与奇偶性结合
1．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( )
A．f
1
4 m2－1，
解得－20，则 x
的取值范围是________．
解析：由题可知，当－20.f(x－1)的图象是由 f(x)的图象向右平移 1个单
位长度得到的，若 f(x－1)>0，则－1y>0，则( )
A.1
x
－
1
y
>0 B．sin x－sin y>0
C.
1
2 x－
1
2 y<0 D．ln x＋ln y>0
解析：选 C A项，考查的是反比例函数 y＝1
x
在(0，＋∞)上单调递减，因为 x>y>0，
所以
1
x
－
1
y
<0，所以 A 错误；B 项，考查的是三角函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y
＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有 sin x>sin y，所以 B错误；C项，考查的是指
数函数 y＝
1
2 x在(0，＋∞)上单调递减，因为 x>y>0，所以有
1
2 x<
1
2 y，即
1
2 x－
1
2 y<0，
所以 C正确；D项，考查的是对数函数 y＝ln x的性质，ln x＋ln y＝ln xy，当 x>y>0时，xy>0，
不一定有 ln xy>0，所以 D错误．
4．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x＜0 时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1
时，f(－x)＝－f(x)；当 x＞1
2
时，f
x＋1
2 ＝f
x－1
2 ，则 f(6)＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：选 D 由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当 x>1
2
时，f(x＋1)＝f(x)，
所以 f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而 f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以 f(6)＝2.故选 D.
5．(2018·湖南联考)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若
a＝f
sin2π
7 ，b＝f
cos5π
7 ，c＝f
tan5π
7 ，则 a，b，c的大小关系为( )
A．b0，∴tan5π
7
f(2x－1)成立的 x的取值范围是( )
A.
1
3
，1
B.
－∞，
1
3 ∪(1，＋∞)
C.
－
1
3
，
1
3 D.
－∞，
1
3 ∪
1
3
，＋∞
解析：选 A 由题意知，f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)是偶函数，当 x≥0时，易得函数
f(x)＝ln(1＋x)－ 1
1＋x2
是增函数，所以不等式 f(x)>f(2x－1)等价于|2x－1|<|x|，解得
1
3
0.若 f
－
1
3 ＝
1
2
，2f
log1
8
x
<1，则 x的取值范围为________．
解析：由 f(－x)＝f(x)可知，函数 f(x)是偶函数，
因为对于任意 x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，均有
fx2－fx1
x1－x2
>0，即
fx2－fx1
x2－x1
<0，
所以函数 f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
又因为 f
－
1
3 ＝
1
2
，所以 2f
log1
8
x
<1＝2f
－
1
3 ，
所以|log1
8
x|>1
3
，即 log1
8
x>1
3
或 log1
8
x<－1
3
，
所以 02，
即 x的取值范围为
0，1
2 ∪(2，＋∞)．
答案：
0，1
2 ∪(2，＋∞)
12．(2017·江苏高考)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－1
ex
，其中 e是自然对数的底数．若 f(a
－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a的取值范围是________．
解析：由 f(x)＝x3－2x＋ex－1
ex
，
得 f(－x)＝－x3＋2x＋1
ex
－ex＝－f(x)，
所以 f(x)是 R 上的奇函数．
又 f′(x)＝3x2－2＋ex＋1
ex
≥3x2－2＋2 ex· 1
ex
＝3x2≥0，当且仅当 x＝0时取等号，
所以 f(x)在其定义域内单调递增．
因为 f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以 f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)，
所以 a－1≤－2a2，解得－1≤a≤1
2
，
故实数 a的取值范围是
－1，1
2 .
答案：
－1，1
2
三、解答题
13．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(0)＝0，当 x>0时，f(x)＝log 1
2
x.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)解不等式 f(x2－1)>－2.
解：(1)当 x<0时，－x>0，则 f(－x)＝log 1
2
(－x)．
因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)．
所以函数 f(x)的解析式为
f(x)＝
log1
2
x，x>0，
0，x＝0，
log －x，x<0.
(2)因为 f(4)＝log 1
2
4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式 f(x2－1)>－2可化为 f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－ 50,2x1＋x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
故 f(x)在(0,1)上是减函数．
1．已知奇函数 f(x)(x∈D)，当 x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：
①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得 f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得 f(x1)
＝1.
其中所有正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选 A 由奇函数 f(x)(x∈D)，当 x>0 时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与
定义域无关，故①错误；对于②，可能 f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当 0 不
在 D中，且 x轴为渐近线时，则不满足③；当 y＝1为渐近线时，不满足④，因此选 A.
2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0时，f(x)＝1
2
(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，
若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数 a的取值范围为( )
A.
－
1
3
，
1
3 B.
－
3
3
，
3
3
C.
－
1
6
，
1
6 D.
－
6
6
，
6
6
解 析 ： 选 D 当 x≥0 时 ， f(x) ＝
{－x，0≤x
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