广西钦州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

广西钦州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

钦州市第一中学 2020 年春季学期期中考试 高二数学（文科） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，答案填涂到答题卡） 1．向量 所对应的复数是（ ） A． B． C． D． 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） ① 是周期函数；②三角函数是周期函数；③ 是三角函数 A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②① 3．已知点的极坐标为 那么它的直角坐标为（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位 优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后 甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A．丁可以知道四人的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 5．在用反证法证明“已知 ，且 ，则 中至少有一个大于 1”时，假 设应为（ ） A． 中至多有一个大于 1 B． 全都小于 1 C． 中至少有两个大于 1 D． 均不大于 1 6．某工厂某产品产量 (千件)与单位成本 (元)满足回归直线方程 ,则以下 说法中正确的是(　　) A．产量每增加 件,单位成本约下降 元 B.产量每减少 件,单位成本约下降 元 C．当产量为 千件时,单位成本为 元 D.当产量为 千件时,单位成本为 ( )1, 2a = − 2z i= − + 1 2z i= + 1 2z i= − + 1 2z i= − cos ( )y x x R= ∈ cos ( )y x x R= ∈ 22, 3 π     ( 3, 1)− ( 3, 1)− − ( 1, 3)− ( 1, 3)− − , ,a b c∈R 3a b c+ + > , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c , ,a b c x y  77.36 1.82y x= − 1000 1.82 1000 1.82 1 75.54 2 73.72 元 7． 与 的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能比较大小 8．下列命题中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 9．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图 方案，则所用时间最少（ ） A．23 分钟 B．24 分钟 C．26 分钟 D．31 分钟 10．圆的极坐标方程为 ，则该圆的 圆心极坐标是（ ） A． B． C． D． 11．执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（ ） A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，若直线 与抛物线 交于 两点，点 的坐标为 ，则 等于（） A． B． C． D． 二、填空题：（共 4 小题，每小题 5 分，答案填到答题卡上） 13．设 ，则 ______. 3 5+ 4 3 5 4+ > 3 5 4+ < 3 5 4+ = 0ab > a b> 1 1 a b < a b> 2 2ac bc> a b> c d> a c b d− > − a b> c d< a b c d > 2(cos sin )ρ θ θ= + (1, )4 π ( 2, )4 π 1( , )2 4 π (2, )4 π n 5 7 9 11 l 4 5 32 5 x t y t  =  = − + t l 2 4y x= A B、 P (0, 2)− 1 1 | | | |PA PB + 7 5 4 5 7 25 4 25 1 21 iz ii −= ++ | |z = x 0 1 3 5 6 14．已知 ， 取值如表：画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ， 则 __________． 15．若 ，则 的最小值为________. 16．观察式子 ， ……，则可归纳出 __________． 三、解答题：（共 6 小题，第 17 题 10 分，其余小题每题 12 分，答案写在答题卡上） 17．2019 年末，武汉出现新型冠状病毒（ 肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区， 传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗 方法.防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除 新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一 户、不漏一人.在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 ， 两个小组，排查工 作期间社区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，根 据调查结果统计后，得到如下 的列联表. （1） 分别估计社区居民对 组、 组两个 排查组的工作态度满意的概率； （2） 根据列联表的数据，能否有 的把 握认为“对社区排查工作态度满意”与 “排查工作组别”有关？ 附表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附： 其中 是否满意 组别 不满意 满意 合计 A 组 16 34 50 B 组 5 45 50 合计 21 79 100 x y y x ˆ 1y x= + m = 2, 3a b> > 1 ( 2)( 3)a b a b + + − − 2 2 2 1 3 1 1 51 ,12 2 2 3 3 + < + + < 2 2 2 1 1 1 71 2 3 4 4 + + + < 2 2 2 1 1 11 2 3 ( 1)n + + +…+ <+ 2019 nCoV− A B 2 2× A B 99% ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + y 1 m 3m 5.6 7.4 18．已知定义在 R 上的函数 的最小值为 a. （1）求 a 的值. （2）若 p，q，r 为正实数，且 ，求证： . 19．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数，α∈R）， 在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线 C1 和曲线 C2 相交于 A，B 两点，求|AB|的值． 20．高血压､高血糖和高血脂统称“三高”.如图是西南某 地区从 2010 年至 2016 年患“三高”人数 y(单位：千人)的折线图. （1） 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关 系，请求出相关系数(精确到 0.01)并加以说明； （2） 建立 关于 的回归方程，预测 2018 年该地区患 “三高”的人数. 参考数据： ， ， ， . ( ) | 1| | 2 |f x x x= + + − p q r a+ + = 2 2 2 3p q r+ + ≥ 1 x cos y sin α α =  = + 2 24C sin： πρ θ − =   y t y t 7 1 30.1i i y = =∑ 7 1 134.4i i i t y = =∑ 7 2 1 ( ) 2.661i i y y = − ≈∑ 7 2.646≈ 参考公式：相关系数 ， 回归方程 中： ， . 21．已知曲线 （ 为参数），设曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ， 以直角坐标中的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若 是曲线 上的两个动点，且 ，求 的最小值． 22．已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围. = = = = = = − − − = = − − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i t t y y t y nt y r t t y y t t y y  = +y bt a  = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 22 2 1 1 ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i t t y y t y nt y t t b t nt 2cos ,: 2sin , xC y α α =  = α C , 1 2 x x y y =′ =′   C′ O x C′ ,A B C′ OA OB⊥ 2 2|OA OB+ ( ) 1 2 3f x x x= − − + ( ) 1f x < x ( )2 3 0m m f x− − < m 钦州市第一中学 2020 年春季学期期中考试高二数学（文科）参考答案 1．D【解析】向量 所对应的复数是 ，故选：D 2．A【解析】根据“三段论”的排列模式：“大前提” “小前提” “结论”，可知： ① 是周期函数是“结论”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③ 是三角函数是“小前提”；故“三段论”模式排列顺序为②③①.故选：A 3．C【解析】点的极坐标为 ，可得 ， ．即 ． 4．D【解析】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成 绩且还不知道自己的成绩，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的 成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则 丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：D. 5．D【解析】 中至少有一个大于 1 的反面为 均不大于 1，故假设应为: 均不 大于 1. 6．A【解析】令 ,因为 ,所以产量每增加 件, 单位成本约下降 元. 7．B【解析】 ， ，所以 .故 选：B 8．A【解析】因为 ， ，所以 ，A 正确，若 ，则 ，所以 B 错误；若 ， ，则 ，所以 C 错；若 ， ，则 ， D 错. 9．C【解析】起床穿衣—煮粥—吃早餐，所用时间为： （分钟）.故选 C. 10．B【解析】圆的极坐标方程 化为 ，则对应的 直角坐标方程为 ，即 ，圆心 ，对应的极坐 ( )1, 2a = − 1 2z i= − → → cos ( )y x x R= ∈ cos ( )y x x R= ∈ 2(2, )3 π 22cos 13x π= = − 22sin 33y π= = ( 1, 3)− , ,a b c , ,a b c , ,a b c ( ) 77.36 1.82f x x= − ( 1) ( ) 77.36 1.82( 1) 77.36 1.82 1.82f x f x x x+ − = − + − + = − 1000 1.82 3 5 0+ > ( )2 3 5 8 2 15 8 2 16 16+ = + < + = 3 5 4+ < 0ab > a b> 1 1,a b ab ab b a > > , 0a b c> = 2 2ac bc= 2 1> 2 1> 2 2 1 1− = − 2 1> 2 1− < − 1 1− = − 5 13 8 26+ + = ( )2 cos sinρ θ θ= + 2 2 cos 2 sin= +ρ ρ θ ρ θ 2 2 2 2x y x y+ = + ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = ( )1,1 标为 11．C【解析】执行如图所示的程序框图如下： 不成立， ， ； 不成立， ， ； 不成 立， ， ； 不成立， ， . 成立，跳出循环体，输出 的值为 ，故选 C. 12．A【解析】将直线 的参数方程为 ( 为参数)代入到抛物线方程 ，消 得： ,易得 ， 设 为此方程的两根，则 ， ，由直线 的参数方程中参数 的几何意义可得 ， , 则 = ，故答案为：A. 13．1.【解析】由复数的运算法则有： ， . 14． 【解析】计算 = ×（0+1+3+5+6）=3， = ×（1+m+3m+5.6+7.4）= ， ∴这组数据的样本中心点是（3， ），又 y 与 x 的线性回归方程 =x+1 过样本中 心点，∴ =1×3+1，解得 m= .故填 . 15．8【解析】令 ， ，即 ， 所以 ，当且仅当 ， 2, 4 π     40 9S = ≥ 1 1S 1 3 3 = =× 1 2 3n = + = 1 4 3 9S = ≥ 1 1 2 3 3 5 5S = + =× 3 2 5n = + = 2 4 5 9S = ≥ 2 1 3 5 5 7 7S = + =× 5 2 7n = + = 3 4 7 9S = ≥ 3 1 4 7 7 9 9S = + =× 7 2 9n = + = 4 4 9 9S = ≥ n 9 l 4 5 32 5 x t y t  =  = − + t 2 4y x= ,x y 29 140 100 0t t− + = 2140 400 0∆ = − > 1 2,t t 1 2 140 9t t+ = 1 2 100 9t t⋅ = l t 1t PA= 2t PB= 1 1 PA PB + 1 2 1 2 1 2 +1 1 140 7 100 5 t t t t t t + = = = ( )( ) ( )( ) 1 11 22 2 21 1 1 2 i ii iz i i i ii i i − −− −= + = + = + =+ + − 1z i= = 3 2 x 1 5 y 1 5 14 4 5 m+ 14 4 5 m+ y 14 4 5 m+ 3 2 3 2 2 , 3a t b m− = − = 2, 3a b> > 2 0, 3 0a b∴ − > − > 0, 0t m> > 31 1 15 3 5 8( 2)( 3) + + = + + + × × + =− −a b t m t ma b tm tm 1t m tm = = 即 ，即当 时等号成立. 16． 【解析】根据题意，每个不等式的右边的分母是 ，不等号的右边的分子是 ， 所以 ，所以答案是 . 17. 解：（1）由样本数据， 组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因 此社区居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 . 组排查对象对社区排查工作 态度满意的比率为 ，因此社区居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 . （2）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据， 得到 ， 因此有 的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关. 18. 解：(1)根据绝对值的三角不等式有 . 当且仅当 时取等号.故 . (2)证明：由(1)有 .利用三元的柯西不等式有 .故 19. 解：（Ⅰ）由 由 即 （Ⅱ）∵直线 与圆 相交于 两点， 又 的圆心为 ,半径为 1，故圆心到直线的距离 ， 12 3 ( 2)( 3)a b a b − = − = − − 3, 4a b= = 2 1 1 n n + + 1n + 2 1n + 2 2 2 2 1 1 1 1 2 11 2 3 4 ( 1) 1 n n n ++ + + +…+ <+ + 2 1 1 n n + + A 34 0.6850 = A 0.68 B 45 0.950 = B 0.9 ( )2 2 100 16 45 5 34 50 50 21 79k × − ×= × × × 7.294 6.635≈ > 99% ( ) ( )1 2 1 2 3x x x x+ + − ≥ + − − = 1 2x− ≤ ≤ 3a = 3p q r+ + = ( )( ) ( )22 2 2 2 2 21 1 1 9+ + + + ≥ + + =p q r p q r 2 2 2 3p q r+ + ≥ ( )22{ { 1 11 1 x cos x cos x yy sin y sin α α α α = =⇒ ⇒ + − == + − = 2 22 2 24 2 2sin sin cos y x πρ θ ρ θ ρ θ − = ⇒ − = ⇒ − =   2 : 2 0C x y− + = 2 0x y− + = ( )22 1 1x y+ − = ,A B ( )22 1 1x y+ − = ( )0,1 ( )22 0 1 2 2 21 1 d − += = + − ∴ ． 20. 解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， ， ， . 因为 与 的相关系数近似为 ，说明 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性 回归模型拟合 与 的关系. （2）根据题意结合（1）得， ， ， ，从而 ， ，所求回归方程为 . 将 2018 年对应的 代入回归方程得： .所以预测 2018 年该地区患“三高”的人数将约为 千人. 21. 解：（1）曲线 的普通方程为 ， 曲线 的普通方程为 ， 即 ， 曲线 的极坐标方程为 ，即 ． （2）设 ， ， ， 所以，当 时， 取到最小值 ． 2 2 22 1 22AB  = − =    ( )1 1 2 3 4 5 6 7 47t = + + + + + + = ( )7 2 1 28i i t t = − =∑ 7 2 1 ( ) 2.661i i y y = − ≈∑ 7 i=1 30.1=∑ iy 7 7 1 1 134.4 4 30.1 14 = = − = − × =∑ ∑i i i i i t y t y 14 1= 0.992.661 2 2.646 2.661 0.378r ≈ ≈× × × y t 0.99 y t y t 4t = 7 1 1 4.37 i i y y = = =∑ ( )7 2 1 28 = − =∑ i i t t  1 1 2 i =1 134. 4- 4 30. 1 1= =28 2( ) n n i i i i i n i t y t y t t b = = − ×= − ∑ ∑ ∑ ˆˆ 4.3 0.5 4 2.3a y bt= − = − × =  0.5 2.3y t= + 9t = ˆ 4.5 2.3 6.8y = + = 6.8 C 2 2 4x y+ = C′ 2 2(2 ) 4x y+ = 2 2 14 x y+ = C′ 2 2 23 sin 4ρ ρ θ+ = 2 2 1 3sin ρ θ = + ( )1,A ρ θ 2 , 2B πρ θ +   2 2 2 2 1 2 2 2 4 4| | | | 1 3sin 1 3cosOA OB ρ ρ θ θ+ = + = ++ + 2 20 16 9 54 sin 24 θ = ≥ + sin 2 1θ = ± 2 2| | | |OA OB+ 16 5 22. 解： .（1）当 时，由 ，解得 ，此时 ；当 时，由 ， 解得 ，此时 ；当 时，由 ，解得 ，此时 .综上所述，不等式 的解集 ;（2）当 时，函数 单调递增，则 ;当 时，函数 单 调递减， ，即 ；当 时，函数 单 调递减，则 . 综上所述，函数 的最大值为 ，由题知， ，解得 .因此，实数 的取值范围是 . ( ) 7, 3 1 2 3 3 5, 3 1 7, 1 x x f x x x x x x x + ≤ − = − − + = − − − < < − − ≥  3x ≤ − ( ) 7 1f x x= + < 6x < − 6x < − 3 1x− < < ( ) 3 5 1f x x= − − < 2x > − 2 1x− < < 1x ≥ ( ) 7 1f x x= − − < 8x > − 1x ≥ ( ) 1f x < ( ) ( ), 6 2,−∞ − − +∞ 3x ≤ − ( ) 7f x x= + ( ) ( )3 4f x f≤ − = 3 1x− < < ( ) 3 5f x x= − − ( ) ( ) ( )1 3f f x f< < − ( )8 4f x− < < 1x ≥ ( ) 7f x x= − − ( ) ( )1 8f x f≤ − = − ( )y f x= ( ) ( )max 3 4f x f= − = ( )2 max3 4m m f x− < = 1 4− <

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