中考数学几何压轴题

中考数学几何压轴题

‎1．（1）操作发现·‎ 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．‎ G B C E F A D ‎（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求的值；‎ ‎（3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求的值．‎ ‎2．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75º，以CD 为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．‎ ‎（1）求∠AED的度数；‎ ‎（2）求证：AB＝BC；‎ ‎（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC＝30º．‎ A B C D E 图2‎ F A B C D E 图1‎ 求 的值．‎ ‎3.如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．AD＝2cm，BC＝6cm，AE＝4cm．点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接B、P、Q、C，线段BP、PQ、QC、CB所围成的封闭图形记为M．若点P在线段AE上运动时，点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变，但面积始终为10cm2．设EP＝x cm，FQ＝y ‎ cm，解答下列问题：‎ ‎（1）直接写出当x＝3时y的值；‎ ‎（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）当x取何值时，图形M成为等腰梯形？图形M成为三角形？‎ ‎（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积．‎ A B C D E F ‎（备用图）‎ A B C D E F Q P 图①‎ ‎4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．‎ 图 ①‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ ‎（1）将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．‎ C1‎ C B1‎ B A ‎(A1)‎ E 图 ②‎ ‎（2）若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．‎ C1‎ C A1‎ B A ‎(B1)‎ F 图 ③‎ ‎5．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝，P是AC上的一个动点．‎ ‎（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；‎ ‎（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；‎ A B C D ‎（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．‎ ‎6．如图1，已知长方形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD．‎ ‎（1）判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）保持图1中ABC的固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；‎ ‎（3）保持图2中△ABC的固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．‎ A B C D E 图2‎ N M A B C D E 图3‎ N M A B C D E 图1‎ ‎7．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM、AN分别交直线BC、CD于E、F两点．‎ （1） 当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．‎ ‎①如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论；‎ ‎②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由．‎ 图2‎ A B C D M N E F 图1‎ A B C D M N 图4‎ A B C D 图3‎ A B C D M F E N ‎（2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE、DF、EF的数量关系．‎ ‎8．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．‎ ‎（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF＝CD；‎ ‎（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；‎ F E A B C D 图②‎ F E A B C D 图①‎ ‎（3）若点D是BC边的任意一点（除B、C外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎9．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＜AB＜2BC．在AB边上取一点M，使AM＝BC，过点A作AD⊥AB且AD＝BM，连接DC，再过点A作AN∥DC，交直线CM、CB于点E、N．‎ ‎（1）求证：∠AEM＝45°；‎ ‎（2）若将题中的条件“BC＜AB＜2BC”改为“AB＞2BC”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM的度数，并说明理由．‎ N E D C A B M 图1‎ C A B 图2‎ ‎10．在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．‎ ‎（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；‎ ‎（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；‎ ‎（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．‎ 图2‎ A B C Q P M 图1‎ A B C Q M ‎(P)‎ ‎11．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F为线段AD的中点，连接CF．‎ ‎（1）如图1，当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是____________，位置关系是____________，请证明；‎ ‎（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；‎ A B C D E F 图2‎ A B C D E F 图1‎ ‎12.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎ ‎ F B A D C E G 第24题图②‎ ‎13. 如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.‎ ‎（1）求点到的距离；‎ ‎（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.‎ ‎①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.‎ A D E B F C 图4（备用）‎ A D E B F C 图5（备用）‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎（第25题）‎