安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

www.ks5u.com 数学试题 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.在中，若 ， 则 A. B. C. D.‎ ‎2.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n项之和为Sn ， 则S21的值为 ‎ A.66 B‎.153 C.295 D.361‎ ‎3. 如图，△ADC是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD与AC交于E点．若AB＝2，则AE的长为 ‎ A．－ B． (－) C．＋ D． (＋)‎ ‎4.等差数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4 ， 设 ，则数列{bn}的前项和Tn为 A. B. C. D.‎ ‎5.等差数列{an}的公差为2，若a2 ， a4 ， a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn= A.n（n+1） B.n（n﹣1） C. D.‎ ‎6.已知等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=31，a2+a3+a4+a5+a6=62，则通项an等于 A.2n﹣1 B.2n C.2n+1 D.2n+2‎ ‎7.当 满足不等式组 时,目标函数 最小值是 A.-4 B.‎-3 C.3 D.‎ ‎8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若 =3，则 = A. B. C.2 D.3‎ ‎9.等比数列{an}中，a3=5，a8=2，则数列{lgan}的前10项和等于 A.2 B‎.5 C.10 D.lg50‎ ‎10.关于 的不等式 只有一个整数解，则 的取值范围是 A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎11.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若 ，则 = A. B‎.3 C. 或3 D.3或 ‎ ‎12.设正实数x，y满足x+y=1，则 的最小值为 A.4 B‎.5 C.6 D.‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. ， 时，若 ，则 的最小值为     ．‎ ‎14.在 中，内角 所对应的边分别为 ，已知 ，若 ，则 的值为     ．‎ ‎15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a3+a4=18﹣a6﹣a5 ， 则S8=     ．‎ ‎16.今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列 ，已知 ， ，且 ，则这30天因病请假的人数共有    人.‎ 三、解答题(共6小题,共70分) ‎ ‎17.（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 ． （1）求sinB的值； （2）求c的值．‎ ‎18. （12分）已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC= ． （1）判断△ABC的形状； （2）设三边a，b，c成等差数列且S△ABC=‎6cm2 ， 求△ABC三边的长．‎ ‎19. （12分）设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=2，an+1=Sn+2． （1）求数列{an}的通项公式． （2）令bn=（2n﹣1）•an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．‎ ‎20. （12分）已知在等差数列{an}中，a2=11，a5=5． （1）求通项公式an； （2）求前n项和Sn的最大值．‎ ‎21. （12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b} （1）求实数a、b的值； （2）解关于x的不等式 ＞0（c为常数）‎ ‎22. （12分）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为‎100 ‎ 米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）． ‎ ‎ （1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）； （2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？‎ 参考答案 ‎1.A 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.B 9.B 10.C 11.C 12.B ‎13.4 14. 15.36 16.‎ ‎17.（1）解：∵△ABC中，cosA= ＞0，‎ ‎∴A为锐角，sinA= = ‎ 根据正弦定理，得 ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ‎ ‎（2）解：根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎∴9=4+c2﹣2×2c× ，‎ ‎∴3c2﹣4c﹣15=0‎ 解之得：c=3或c=﹣ （舍去），‎ ‎∴c=3‎ ‎18.（1）解：法1：sinC= =tan = = ， ‎ ‎∵sinC≠0，∴cosC=0，‎ ‎∵0°＜C＜180°，∴C=90°，‎ ‎∴△ABC为直角三角形；‎ 法2：由已知等式变形得：cosA+cosB= ，‎ ‎∴利用正弦、余弦定理化简得： + = ，‎ 整理得：（a+b）（c2﹣a2﹣b2）=0，‎ ‎∴a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形 （2）解：由已知得：a2+b2=c2①，a+c=2b②， ab=6③， ‎ 由②得：c=2b﹣a，代入①得：a2+b2=（2b﹣a）2=a2﹣4ab+4b2，即3b2=4ab，‎ ‎∴3b=4a，即a= b，代入③得：b2=16，‎ ‎∴b=4cm，a=3cm，c=5cm ‎19.（1）解：∵a1=2，an+1=Sn+2． ‎ ‎∴a2=4，n≥2时，an=Sn﹣1+2，可得an+1﹣an=an，即an+1=2an，n=1时也满足．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎∴an=2n． （2）解：bn=（2n﹣1）•an=（2n﹣1）•2n． ‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=2+3×22+…+（2n﹣1）•2n，‎ ‎2Tn=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，‎ ‎∴﹣Tn=2+2（22+23++…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2× ﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，‎ ‎∴Tn=（2n﹣3）•2n+1+6‎ ‎20.（1）解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则 ，解得 ‎ ‎∴an=13+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+15‎ ‎ （2）解：由（1）可得Sn=13n+ ‎ ‎=﹣n2+14n=﹣（n﹣7）2+49‎ 当n=7时，Sn有最大值，为S7=49‎ ‎21.（1）解：由题意可得，1和b是ax2﹣3x+2=0的两个实数根，由韦达定理可得 1+b= ，且1×b= ，‎ 解得 a=1，b=2‎ ‎（2）解：关于x的不等式 ＞0 等价于 （x﹣c）（x﹣2）＞0，当c=2时，不等式的解集为{x|x≠2}；‎ 当c＞2时，不等式的解集为{x|x＞c，或 x＜2}；当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c，或 x＞2}‎ ‎22.（1）解：在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2， ‎ 所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，‎ 即x2+y2+xy=30000，‎ 又因为x＞0，y＞0，所以 ‎ ‎（2）解：要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小， ‎ 由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，‎ 因为 ，所以 ，‎ 则（x+y）2≤40000，即x+y≤200，‎ 当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．‎ 故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米