广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期统测数学试题

广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期统测数学试题

中山市第一中学 2019-2020 学年 第一学期 高二年级 第二次统测 数学 满分150分，时间120分钟 命题人： 审题人： ‎ 第Ⅰ卷（共52分）‎ 一、选择题（共10个小题,每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求．）‎ ‎1、不等式的解集是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、已知中,A：B：：1：4,则a：b：c等于(    )‎ A. 1：1： B. 2：2： C. 1：1：2 D. 1：1：4‎ ‎3、设,则“”是“”的     ‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎4、设、是椭圆的两焦点,P为椭圆上的点,若,则的面积为       ‎ A. 8 B. C. 4 D. ‎ ‎5、设为数列的前n项和, ,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎6、已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是(    )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎7、已知双曲线C：的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为   ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8、若实数满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是 ‎ ‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎9、已知数列是各项均为正数的等差数列,其前13项和,则的最小值为   　　‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 12 D. 16‎ ‎10、已知双曲线的左焦点为，点A的坐标为，点P为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为　　‎ A. B. C. 2 D. ‎ 二、选择题（共3个小题,每小题4分，共12分．每题有多个选项是符合题目要求．全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）‎ ‎11、对于实数a、b、c,下列命题正确的是：‎ A.若,则； B.若,则；‎ C.若,则； D.若,,则,‎ ‎12、已知曲线: ，则曲线：（ ）‎ A.关于轴对称 B 关于轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线轴对称 ‎13、数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：‎ ‎ ‎ ‎ 以下运算和结论正确的是：‎ A. ‎ B. 数列是等比数列；‎ C. 数列的前项和为 D. 若存在正整数，使 ‎ ‎ 第Ⅱ卷（共98分）‎ 三、填空题（每小题4分，满分16分.）‎ ‎14、命题“,都有”的否定是______．‎ ‎15、若实数满足,且,则的最小值为__________．‎ ‎16、已知抛物线,焦点为F,为平面上的一定点,P为抛物线上的一动点,则的最小值为______．‎ ‎17、已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为____.‎ 四、解答题 （本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18．（12分）已知命题，；命题，使得.若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围。‎ ‎19. （14分）在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为S, ．‎ 求角A的大小；若,,求的值．‎ ‎20．（14分）某化工企业年底投入万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．‎ ‎（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；‎ ‎（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ ‎ ‎ ‎ ‎21．（14分）已知是一个公差大于的等差数列，且满足.‎ ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）等比数列满足：，若数列，求数列的前项和.‎ ‎22．（14分）‎ 已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆C上 求C的方程；‎ 设直线l不经过点且与C相交于两点若直线与直线的斜率的和为,证明：l过定点．‎ ‎23．（14分）‎ 数列满足，设．‎ ‎（1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，数列的前项和为，求证：．‎ 中山一中2019-2020上学期高二年级第二次统测 数学 参考答案 一、选择题：（共10个小题,每小题4分，共40分．每题只有一项是符合题目要求．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B A A C D C B C B D 二、选择题：（共3个小题,每小题4分，共12分．每题有多个选项是符合题目要求．全对得4分，有错选的得0分，部分选对的得2分）‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 答案 BCD ABCD ACD 三、填空题：（每小题4分，满分16分.）‎ ‎14． ,使得；；15． ；16． ；17． ．‎ 四、解答题：（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎18．解 ：真，则 ……………2分 真，则即 ……………4分 ‎ “”为真，为假 中必有一个为真，另一个为假 ‎ ‎ 当时，有 ……………7分 当时，有 ‎ ……………10分 ‎ 实数的取值范围为. ……………12分 ‎ ‎ ‎19．解 , 由正弦定理可得, 是三角形内角, , , 又A是三角形内角, ．……………7分 , , ……………9分 ‎ 由余弦定理, 可得, ……………12分 ．……………14分 ‎ ‎ ‎20. 解：（1）‎ 即（）；……………7分 ‎ ‎ ‎ （2）由均值不等式得：‎ ‎（万元）‎ ‎ 当且仅当，即时取到等号．‎ 答：该企业10年后需要重新更换新设备．……………14分 ‎ ‎ ‎21.解. (Ⅰ)设等差数列的公差为d，则依题设d>0 ‎ 由.得 ① ‎ 由得 ② ‎ 由①得将其代入②得。即 ‎∴,又,代入①得, ‎ ‎∴. ……………7分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ∴, ‎ ‎ ‎ ‎ ……………10分 错位相减可得：‎ 整理得：‎ ‎ ‎ ‎∴ ……………14分 ‎ ‎ ‎22．解： 根据椭圆的对称性,,两点必在椭圆C上, 又的横坐标为1, 椭圆必不过,,,三点在椭圆C上． 把,代入椭圆C,得：,解得,, 椭圆C的方程为；……………6分 ‎ 证明：当斜率不存在时,设l：,,, 直线与直线的斜率的和为, , 解得,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足．……………8分 ‎ 当斜率存在时,设l：,,,, 联立,整理,得, ,, ……………10分 ‎ 则 ,又, ,此时,存在k,使得成立, 直线l的方程为, 当时,, 过定点．……………14分 ‎ ‎ ‎23．解：解：（1）由得 ‎ ‎，即 ， 又 ‎ 是以２为公比的等比数列 ……………‎ ‎ （2） 又 ‎ 即 ， ‎ ‎ 故 …………… ‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 又 ……………14分 ‎ ‎ ‎ ‎