四川省成都市双流区双流中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

四川省成都市双流区双流中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

四川省双流中学 2019-2020 学年高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共 12 小题） 1.直线 x-y+1=0 的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解． 【详解】直线 的斜率 ，设其倾斜角为 ， ，得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2.在空间直角坐标系中，点 P（1，2，3）关于 yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. 2, D. 2, 【答案】C 【解析】 【分析】 在空间直角坐标系中，点 关于 平面对称的点的坐标为 ． 【详解】在空间直角坐标系中，点 关于 平面对称的点的坐标为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系中对称的性质等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题． 3.命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ） A. 对任意 ，都有 B. 不存在 ，都有 C. 存在 ，使得 D. 存在 ，使得 【答案】D 30° 45° 135° 150° 1 0x y− + = 1k = 0 180θ θ° ≤ °（ ＜ ） tan 1θ∴ = 45θ = ° ( )1, 2, 3− − ( )1, 2,3− − ( 1,− 3) ( 1,− 3)− P x y z（ ， ， ） yOz x y z−（ ， ， ） 1 2 3P（，，） yOz 1 2 3−（ ，，） x∈R 2 ln2x ≥ x∈R 2 ln2x < x∈R 2 ln2x < x∈R 2 ln2x ≥ x∈R 2 ln2x < 【解析】 全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定， 的否定为 ，所以命题的 否定为：存在 ，使得 ，选 D. 4.如果椭圆 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离 A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 由椭圆 知椭圆长轴长为 设椭圆另一个焦点为 ，根据椭圆定义得： 故选 D 5.方程 x2+y2+2x-m=0 表示一个圆，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 把方程配方成圆的标准方程，利用半径大于零，即可得到不等式． 【详解】方程 ，配方得： 因为方程表示一个圆，所以 ，从而： 故选：A． 【点睛】主要考查二元二次方程表示圆的条件，一般通过配方，利用半径大于零即可解题． 6.直线 l：3x-y-6=0 被圆 C：x2+y2-2x-4y=0 截得的弦 AB 的长是（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将圆的方程化为标准方程从而确定圆心和半径．根据直线与圆截得的弦长公式求出弦 AB 的长． 2 ln2x ≥ 2 ln2x < x∈R 2 ln2x < 2 2 1100 36 x y+ = 2 2 1100 36 x y+ = 2 20.a = 2F 1 2 20PF PF+ = 2 120 20 6 14.PF PF= − = − = 1m > − 1m < − 1m ≥ − 1m ≤ − 2 2 2 0x y x m+ + − = 2 2( 1) 1x y m+ + = + 1 0m + > 1m > − 10 10 2 【详解】将圆的方程 化为标准方程，得 圆心坐标为 ，半径 ． ∴圆心到直线的距离 ．弦 的长 ． 故选：C． 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，以及弦长公式的应用．属于中档题． 7.已知向量 ,则 的充要条件是 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为向量 ,则 ，故其充要条件是选 D 8.椭圆 的焦点在 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为 的 正方形的顶点，则椭圆 的标准方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知， ，写出椭圆方程即可. 【详解】因为短轴上的两个顶点和两个焦点恰好为边长为 的正方形的顶点， 所以 ， 又焦点在 轴上， 2 2 2 4 0x y x y+ − − = 2 21 2 5x y− + − =（ ） （ ） 1 2（，） 5r = 2 2 3 2 6 10 21 3 d − −= = + AB 1022 55AB − == ( 1,2), (2,1)a x b= − = a b⊥  1 2x = − 1x = − 5x = 0x = ( 1,2), (2,1)a x b= − = 2( 1) 2 0 0a b x x⊥ ⇔ − + = ⇔ = E x 2 E 2 2 12 2 x y+ = 2 2 12 x y+ = 2 2 14 2 y x+ = 2 2 14 2 x y+ = 2, 2, 2c b a= = = 2 2, 2, 2c b a= = = x 所以椭圆方程为 . 故选 D. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，属于中档题. 9.已知命题：p：函数 y=x2-x-1 有两个不同的零点：命题 q：函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称．在下列四个命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由判别式法判定 p 为真命题，利用三角函数的图象和性质判定命题 q 是假命题，进一步求出 复合命题的真假即可． 【详解】方程 的判别式 ，故 有两个不同的零点，故 p 为 真命题； 命题 q：函数 的图象关于直线 对称，q 为假命题； 故￢p 为假，￢q 为真； A（￢p）∨q 为假；B，p∧q 为假； C，（￢p）∧（￢q）为假；D，（￢p）∨（￢q）为真； 故选：D． 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，同时考查函数零点的判定及三角函数的图象与性质， 是基础题． 10.已知椭圆 两个焦点是 ，点 在椭圆上，若 ，则 的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 的 2 2 14 2 x y+ = 2 π ( )p q∨￢ p q∧ ( ) ( )p q∧￢ ￢ ( ) ( )p q∨￢ ￢ 2 1 0x x− − = 5 0∆ = > 2 1y x x= − − y cosx= 2x π= 2 2 14 2 x y+ = 1 2F F、 P 1 2| | | | 2PF PF− = 1 2PF F∆ 3 1+ 2 1+ 3 2 【解析】 ， ，可得 ， ， 是 直 角 三 角 形 ， 的 面 积 ，故选 D. 11.已知实数 x，y 满足方程 x2+y2-8x+15=0．则 x2+y2 最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 9 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】 由配方可得原方程表示以 为圆心，1 为半径 圆, 表示点 与原点的距离的平方，由圆的性质可得所求最大值为 ． 【详解】 ，即为 ， 可得上式方程表示以 为圆心，1 为半径的圆， 表示点 与原点的距离的平方， 由圆的性质可得圆上的点与原点的距离的最大值为 ， 则 的最大值为 25． 故选：D． 【点睛】本题考查圆的方程和应用，注意运用两点的距离公式和圆的性质，考查转化思想和 运算能力，属于中档题． 12.焦点在 x 轴上的椭圆 的离心率 e= ，F，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则 的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 的 2 2 1 2+ 1, 4,2 2 24 2 x y PF PF c= ∴ + = = 1 2 2PF PF− = 1 23, 1PF PF= = ( )221 2 2 9+ = 2 1PF F∴∆ 1 2PF F∴∆ 2 1 2 1 1 1 2 2 22 2PF F F× = × × = 4 0C（ ，） 2 2 2 2 2( )x y x y+ = + x y（ ， ） 21OC +（ ） 2 2 8 15 0x y x+ − + = 2 24 1x y− + =（ ） 4 0C（ ，） 2 2 2 2 2( )x y x y+ = + x y（ ， ） 1 4 1 5OC + = + = 2 2x y+ 2 2 2 14 x y b + = 1 2 PF PA⋅  由椭圆 焦点在 x 轴，得 ，由离心率公式求出 c，再求出 ，利用坐 标法求出 为二次函数，配方法，利用 x 的范围求出最值． 【详解】椭圆 焦点在 x 轴，所以 ， 由离心率 ，所以 ， 设 则 ， ， 则 ，因为 ，代入化简得 = = ，又 ， 当 时， 的最大值为 4． 故选：A． 【点睛】考查椭圆的定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.已知椭圆 C 的标准方程为 ，则椭圆 C 的焦距为______． 【答案】10 【解析】 【分析】 由椭圆 C 的标准方程为 ， 求出 ，所以椭圆 C 的焦距为 ． 【详解】已知椭圆 C 的标准方程为 ， ， 所以 ，所以 ，所以椭圆 C 的焦距为 ， 故答案为：10 【点睛】考查椭圆的定义和 的关系，焦距的计算，基础题． 14.若圆 x2＋y2＝4 和圆 x2＋y2＋4x－4y＋4＝0 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 2 2 2 14 x y b + = 2 2 0a A= ，（ ，） b PF PA⋅  2 2 2 14 x y b + = 2 2 0a A= ，（ ，） 1 , 12 ce ca = = = 2 2 3b a c= − = 1 0F −（ ，） P x y（ ， ）， 2PA x y= − − （ ， ） 1PF x y= − − − （ ， ） 2(2 )( 1 )PF PA x x y⋅ = − − − +  2 2 33 4 xy = − PF PA⋅  21 14 x x− + 21 ( 2)4 x − 2 ][ 2x∈ − ， 2x = − PF PA⋅  2 2 149 24 x y+ = 2 2 149 24 x y+ = 2 249 24a b= =， 5c = 2 10c = 2 2 149 24 x y+ = 2 249 24a b= =， 2 2 2 49 24 25c a b= − = − = 5c = 2 10c = a b c， ， ____________． 【答案】x－y＋2＝0 【解析】 【分析】 设直线 l 方程为 y＝kx+b，由题意可得圆心 C1 和 C2 关于直线 l 对称，利用 得 k, 由 C1 和 C2 的中点在直线 l 上可得 b，从而得到直线方程． 【详解】由题意可得圆 C1 圆心为（0，0），圆 C2 的圆心为（﹣2，2）， ∵圆 C1：x2+y2＝4 和圆 C2：x2+y2+4x﹣4y+4＝0 关于直线 l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线 l 对称，设直线 l 方程为 y＝kx+b， ∴ ＝﹣1 且 ＝k• +b， 解得 k＝1，b＝2，故直线方程为 x﹣y＝﹣2， 故答案为：x－y＋2＝0． 【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础 题． 15.已知命题 P： [0,l], ，命题 q：“ R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真 命题，则实数 a 的取值范围是_____________________； 【答案】 【解析】 命题 P 为真： ；命题 q 为真： ，因为命题“p∧q”是真命题，所以 p，q 为真，即实数 a 的取值范围是 点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据 “p∨q”“p∧q”“非 p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 16.已知 F1，F2 分别是椭圆 C： （a＞b＞0）的左、右焦点，过原点 O 且倾斜角为 60°的直线 l 与椭圆 C 的一个交点为 M，且| + |=| - |，椭圆 C 的离心率为 ______． 【答案】 -1 1 2 1C C lk k× = − 2 0 2 0 k − − −  0 2 2 + 0 2 2 − x∀ ∈ xa e≥ x∃ ∈ [ ,4]e a e≥ 16 4 0, 4a a− ≥ ≤ [ ],4e 2 2 2 2 1x y a b + = 1MF 2MF 1MF 2MF 3 【解析】 【分析】 由 两 边 平 方 化 简 得 ： ， 中 ， 求 出 ，再利用椭圆的性质求出 的关系，求出离心率即可． 【 详 解 】 不 妨 设 M 在 第 一 象 限 ， 由 | 两 边 平 方 化 简 得 ： ， 中， 由 ，所以 ， 故答案为： ． 【点睛】考查了向量的数量积，椭圆的定义，离心率的求法，属于中档题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17.已知椭圆 C：4x2+9y2=36．求的长轴长，焦点坐标和离心率． 【答案】椭圆的长轴长 6，焦点坐标（- ，0），（ ，0），离心率 【解析】 【分析】 写出椭圆的标准方程，求出 a，b，c，代入求出长轴长，焦点坐标和离心率． 【详解】椭圆 C： 的标准方程为： ， 所以 ， 所以椭圆的长轴长 ，焦点坐标 ， 离心率 ． 【点睛】考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，及其离心率公式，属于基础题． 18.已知直线 经过点 （－2，5），且斜率为 （1）求直线 的方程； 1 2 1 2MF MF MF MF+ = −    1 2 0MF MF⋅ =  1 2Rt MF F 1 2MF MF， a c， 1 2 1 2MF MF MF MF+ = −    1 2 0MF MF⋅ =  1 2Rt MF F 2 1 1 260 , 2 sin 60 3 , 2 sin30MF F MF c c MF c c° ° °∠ = = = = = 1 2 2 ,( 3 1) 2MF MF a c a+ = + = 2 3 1 3 1 ce a = = = − + 3 1− 5 5 5 3 2 24 9 36x y+ = 2 2 19 4 x y+ = 2 23, 2, 9 4 5a b c a b= = = − = − = 2 6a = ( 5,0),( 5,0)− 5 3 ce a = = l P 3- 4 l （2）若直线 与 平行，且点 到直线 的距离为 3，求直线 的方程. 【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0 或 3x＋4y－29＝0. 【解析】 【分析】 （1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设 的方程为 ，将点 到直线的距离转化为平行线的距离求 . 【详解】（1）由点斜式方程得， ，∴ . （2）设 的方程为 ，则由平线间的距离公式得， ， 解得： 或 ∴ 或 【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型. 19.已知点 C（-1，-1），以 C 为圆心的圆与直线 x-y-2=0 相切． （1）求圆 C 的方程； （2）如果圆 C 上存在两点关于直线 ax+by+3=0 对称，求 3a+3b 的最小值． 【答案】（1）（x+1）2+（y+1）2=2（2）6 【解析】 分析】 （1）以 C 为圆心的圆的方程设为 ，由直线和圆相切的条件： ，（ 为圆心到直线的距离），即可得到所求圆的方程； （2）由题意可得直线 经过 C，再由指数函数 值域和基本不等式，即可得到 所求最小值． 【详解】（1）点 ，以 C 为圆心的圆的方程设为 ， 由圆 C 与直线 相切，可得 ， 则圆 C 的方程为 ； （2）如果圆 C 上存在两点关于直线 对称， . 【 的 m l P m m l m 3 4 0x y c+ + = c ( )35 24y x− = − + 3 4 14 0x y+ − = m 3 4 0x y c+ + = 14 35 c + = 1c = 29− 3 4 1 0x y+ + = 3 4 29 0x y+ − = 3 2 2 21 1 0x y r r+ + + =（ ） （ ） （ ＞ ） d r= d 3 0ax by+ + = 1 1C − −（ ， ） 2 2 21 1 0x y r r+ + + =（ ） （ ） （ ＞ ） 2 0x y− − = 1 1 2 2 2 r − + −= = 2 21 1 2x y+ + + =（ ） （ ） 3 0ax by+ + = 可得直线 经过 ，即有 ， 可得 ． 当且仅当 时， 取得最小值 ． 【点睛】本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的条件和基本不等式的应用：求最值， 考查运算能力，属于中档题． 20.设函数 的定义域为 ，函数 ， 的值域为 ． （1）当 时，求 ； （2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【详解】试题分析：（1）借助题设条件解二次不等式和求值域求出集合 求解；（2）借 助题设运用必要不充分条件的结论推断求解. 试题解析： （1）由 ，解得 ，所以 ， 又函数 在区间 上单调递减，所以 ， 即 当 时， ，所以 （2）首先要求 ，而“ ”是“ ”的必要不充分条件，所以 是 的真子集， 从而 ， 解得 考点：二次不等式及集合的求交计算和子集的包含关系等有关知识的综合运用. 21.已知 A（4，0）、B（1，0），动点 M 满足|AM|=2|BM|． （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）直线 l：x+y=4，点 N∈l，过 N 作轨迹 C 的切线，切点为 T，求 NT 取最小时的切线方 程． 3 0ax by+ + = 1 1C − −（ ， ） 3a b+ = 33 3 2 3 3 2 3 2 3 6 3a b a b a b++ ≥ ⋅ = = = 3 2a b= = 3 3a b+ 6 3 2lg( 4 3)y x x= − + − A 2 1y x= + (0, )x m∈ B 2m = A B∩ x A∈ x B∈ m (1,2)A B∩ = 0 1m< ≤ 2 4 3 0x x− + − > 1 3x< < ( )1,3A = 2 1y x= + ( )0,m 2 ,21y m  ∈ +  2m = 2 ,23B  =    ( )1,2A B∩ = 0m > x A∈ x B∈ B A 2 11m ≥+ 0 1m< ≤ 【答案】（1）x2+y2=4（2）x=2 或 x+2y-6=0 【解析】 【分析】 （1）直接利用两点间的距离公式的应用求出曲线的方程． （2）利用直线与圆的切线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论思 想的求出直线的方程． 【详解】（1）已知 ，动点 满足 ． 设点 ，所以 ，整理得 ． （2）由于 为圆的切线，所以连接 和 ， 在直角三角形 中， ，又有 为定值． 所以当 取最小值时， 取最小值． 的最小值为圆心 到直线 的距离 ． 所以|NT|的最小值为 ． 此时 与直线 垂直，且过原点，所以直线 ON 的直线方程为 ． 联立 和 ，解得 ． 即过点 做圆的切线，求出切线的方程． ①当直线的斜率存在时， ，由圆心到直线的距离 ， 解得 ，即切线的方程为 ． ②直线的斜率不存在时， ，满足题意． 故当 取最小值时切线的方程为 或 ． 【点睛】本题考查的知识要点有曲线的方程的求法和应用，点到直线的距离公式的应用，勾 股定理的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于中档题． 22.已知动点 M 到定点 F1（-2，0）和 F2（2，0）的距离之和为 ． 4 0 1 0A B（ ，）、（，） M 2AM BM= M x y（ ， ） 2 2 2 2( 4) 2 ( 1)x y x y− + = − + 2 2 4x y+ = NT ON OT OTN 2 2 2NT ON OT= − 2OT r= = ON NT ON 0 0（ ，） 4x y+ = 1 4 2 2 2 d = = 2 2 ON 4x y+ = y x= 4x y+ = y x= 2 2N（ ，） 2 2N（ ，） 2 2y k x− = −（ ） 2 2 2 2 2 1 kd r k − += = = + 1 2k = − 2 6 0x y+ − = 2x = NT 2x = 2 6 0x y+ − = 4 2 （1）求动点 M 轨迹 C 的方程； （2）设 N（0，2），过点 P（-1，-2）作直线 l，交椭圆 C 于不同于 N 的 A，B 两点，直线 NA， NB 的斜率分别为 k1，k2，问 k1+k2 是否为定值？若是的求出这个值． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的定义确定轨迹方程即可； (2)当直线斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理和斜率公式可得 k1+k2 的值， 当斜率不存在时，直接计算 k1+k2 的值，从而可以考查 k1+k2 是否为定值. 【详解】（1）由椭圆定义，可知点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，以 为长轴长的椭圆． 由 ，得 b=2． 故曲线 C 的方程为 ． （2）当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y+2=k（x+1）， 由 ， 得（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ， ． 从而 ． 当直线 l 的斜率不存在时，得 ， 得 k1+k2=4． 综上，恒有 k1+k2=4． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元 二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 2 2 18 4 x y+ = 4 2 2 2 2c a= =， 2 2 18 4 x y+ = ( ) 2 2 18 4 2 1 x y y k x  + =  + = + ( ) 1 2 2 4 2 1 2 k kx x k −+ = − + 2 1 2 2 2 8 1 2 k kx x k −= + ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2 4 4 22 2 2 4 42 8 kx x k x x k ky yk k k kx x x x k k + − + −− −+ = + = = − − =− 14 141 12 2A B    − − −          ， ， ， (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形．