【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案

【数学】2018届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案

‎　‎ ‎1.理解命题的概念．‎ ‎2．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．‎ ‎3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．‎ 知识点一 命题及四种命题 ‎ ‎1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做________，判断为假的语句叫做________．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________．‎ 答案 ‎1．判断真假　真命题　假命题 ‎2．(1)若q，则p　若綈p，则綈q　若綈q，则綈p　(2)①相同　②没有关系 ‎1．(选修1－1P8习题‎1.1A组第2(1)题改编)命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题为________．‎ 解析：“a，b都是奇数”的否定为“a，b不都是奇数”，“a＋b是偶数”的否定为“a＋b不是偶数”，故其逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数”．‎ 答案：若a＋b不是偶数，则a，b不都是奇数 ‎2．命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是________．‎ 解析：命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．‎ 答案：周期函数不是单调函数 知识点二 充分条件与必要条件 ‎ ‎1．若p⇒q且q⇒p，则p是q的____________条件，q是p的__________条件；‎ 若p⇒q且q⇒p，则p是q的________条件，q也是p的________条件．‎ ‎2．若A、B为两个集合，满足AB，则A是B的__________条件，B是A的__________条件；‎ 若A＝B，则A是B的________条件．‎ 答案 ‎1．充分不必要　必要不充分　充分必要　充分必要 ‎2．充分不必要　必要不充分　充分必要 ‎3．(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．‎ 答案：C ‎4．(选修1－1P12习题‎1.2A组第4题改编)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是(　　)‎ A．ab＝0 B．a＝0且b＝0‎ C．a2＋b2＝r2 D．r＝0‎ 解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点的一个充要条件是：原点(0,0)是此方程的解，即a2＋b2＝r2，故选C.‎ 答案：C ‎5．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是(　　)‎ A．x>1 B．x<1‎ C．x>3 D．x<3‎ 解析：x>2⇒x>1，但x>1⇒x>2.‎ 答案：A 热点一　四种命题及其关系 ‎ ‎【例1】　(1)命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝‎4”‎的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝‎0”‎为真命题 B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠‎0”‎为真命题 C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠‎0”‎为假命题 D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝‎0”‎为假命题 ‎(2)给出以下四个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；‎ ‎④若ab是正整数，则a，b都是正整数．‎ 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎【解析】　(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．‎ ‎(2)①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝‎0”‎，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)①③‎ ‎【总结反思】‎ ‎1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．‎ ‎(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．‎ ‎2．命题真假的2种判断方法 ‎(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．‎ ‎(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断.‎ 设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 解析：“方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”；“m>0”的否定是“m≤0”，故命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤‎0”‎．‎ 答案：D 热点二 充分必要条件的判定 ‎ 考向1　定义法判断充分必要条件 ‎【例2】　(2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　由题意得，an＝a1qn－1(a1>0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q<0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n<0，即a1q2n－2(1＋q)<0，可得q<－1<0.故“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<‎0”‎的必要而不充分条件，选C.‎ ‎【答案】　C 考向2　集合法判断充分必要条件 ‎【例3】　(2017·中原名校联考)已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，‎ 所以綈q⇒綈p且綈p⇒綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．‎ ‎【答案】　B 考向3　等价转化法判断充分必要条件 ‎【例4】　已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，‎ 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1.‎ 因为綈q⇒綈p但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件. 故选A.‎ ‎【答案】　A ‎【总结反思】‎ 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题.‎ ‎(1)若p：φ＝＋kπ，k∈Z，q：f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q的(　　)‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)(2017·安徽合肥质检)“x>‎2”‎是“x2＋2x－8>‎0”‎成立的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(3)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(1)(定义法)若φ＝＋kπ，k∈Z，则f(x)＝sin＝cos(ωx＋kπ)＝所以函数f(x)是偶函数；若f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.故选A.‎ ‎(2)(集合法)记集合A＝{x|x>2}，由x2＋2x－8>0，可解得x<－4或x>2，记为集合B＝{x|x<－4或x>2}，因为AB，所以“x>‎2”‎是“x2＋2x－8>‎0”‎成立的充分不必要条件．故选B.‎ ‎(3)(等价法)因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈p⇒q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒p，所以p是綈q的充分不必要条件．‎ 答案：(1)A　(2)B　(3)A 热点三 充分必要条件的应用 ‎ ‎【例5】　(1)若“m－1‎0”‎的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．‎ ‎(2)若“xm＋‎1”‎是“x2－2x－3>‎0”‎的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)由不等式x2－2x－3>0，得x>3或x<－1.‎ 因为“m－1‎0”‎的充分不必要条件，所以{x|m－13或x<－1}，所以m＋1≤－1或m－1≥3，解得m≤－2或m≥4，故m的取值范围为(－∞，－2]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)由不等式x2－2x－3>0，得x>3或x<－1.因为“xm＋‎1”‎是“x2－2x－3>‎0”‎的必要不充分条件，所以{x|x>3或x<－1}{x|xm＋1}，所以解得0≤m≤2，故m的取值范围为[0,2]．‎ ‎【答案】　(1)(－∞，－2]∪[4，＋∞)　(2)[0,2]‎ ‎【总结反思】‎ 根据充分条件、必要条件求参数范围时，把问题转化为集合之间的包含关系，通过集合之间的包含关系确定参数范围，但要注意转化的准确性.‎ 设p：实数x满足x2－4ax＋‎3a2<0(a<0)，q：实数x满足x2－x－6<0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．‎ 解析：∵x2－4ax＋‎3a2<0(a<0)，∴‎3a0，∴‎ x<－4或x>2，∴q：{x|x<－4或x>－2}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，∴{x|‎3a－2}，∴a≤－4或‎3a≥－2，解得a≤－4或a≥－.又a<0，∴a的取值范围是(－∞，－4]∪.‎ 答案：(－∞，－4]∪[－，0)‎ ‎1．对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是：正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式．‎ ‎2．判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．‎ ‎【例】　命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)‎ A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 ‎【解析】　由于一个命题的否命题就是命题的条件与结论分别否定，故原命题的否命题是“①若f(x)不是奇函数；则②f(－x)不是奇函数”．‎ ‎【答案】　B 解题策略：①②中均可能出现否定不当的错误，对“f(x)是奇函数”的否定只能是“f(x)不是奇函数”，而不能是“f(x)是偶函数”，因为除了奇函数和偶函数之外，还有非奇非偶函数，所以在否定时要特别注意细微的差异．‎ ‎(1)命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<‎0”‎的逆否命题是(　　)‎ A．若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数 B．若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数 C．若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数 D．若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数 ‎(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝‎0”‎的否命题是(　　)‎ A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0‎ B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0‎ C．若a2＋b2＝0，则a≠0且b≠0‎ D．若a2＋b2＝0，则a≠0或b≠0‎ 解析：(1)易知原命题的逆否命题是“若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数”．‎ ‎(2)命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝‎0”‎的否命题是“若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠‎0”‎．‎ 答案：(1)A　(2)B