湖南省衡阳市衡阳县六中2019-2020学年高一实验班上学期期中考试数学试题

湖南省衡阳市衡阳县六中2019-2020学年高一实验班上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 衡阳县六中2019-2020年上学期高一625班期中数学试卷 时量：120分钟满分：150分 一、选择题（每小题只有一个正确选项：每小题5分，共60分）‎ ‎1.设全集,集合则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先求出集合，，进而求出的补集，进而根据交集的定义，可得答案．‎ ‎【详解】解：集合， ， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义，属于基础题．‎ ‎2.经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)‎ A. x＝－1 B. y＝1‎ C. y－1＝(x＋1) D. y－1＝2(x＋1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由条件知已知直线的斜率为，‎ 故所求直线的斜率是，‎ 因此所求直线的方程为y－1＝(x＋1)．选C．‎ ‎3.已知集合，.若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定，分和两种情况讨论，求的取值范围.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，‎ 当时，；‎ 当时， ， ，‎ 综上：，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.‎ ‎4.若, c=log23，则a，b，c大小关系是（　　）‎ A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. b＜c＜a D. c＜b＜a ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ 详解： c=log23＞1，‎ 则a＜b＜c，‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除法能求出正确选项．‎ ‎【详解】∵函数f（x），当x时，f（x）>0故D错误；‎ ‎∴x>1时，f（x）<0恒成立，故B和C错误．‎ 由排除法得正确选项是A．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的大致图象的判断，考查函数的性质、特殊值点等基础知识，是基础题．‎ ‎6.下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用异面直线的判定方法可得正确的选项.‎ ‎【详解】在A图中，分别连接，则，所以四点共面，‎ 在B图中，过可作一个正六边形，如图所示，故四点共面，‎ 在C图中，分别连接，则，所以四点共面，‎ 在D图中，与为异面直线，所以四点不共面，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查点共面的判断方法以及异面直线的判断方法，属于基础题.‎ ‎7.函数，满足，则的值为（ ）‎ A. B. 3 C. 5 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件构造函数，判断函数的奇偶性，进行求解即可．‎ ‎【详解】解：，‎ 是奇函数，‎ 设，则，‎ 即，‎ 即，‎ 且，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性是解决本题的关键．‎ ‎8.如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4,AC=6,BD=6，则线段CD的长为（ ）‎ A. B. 10 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，利用数量积运算性质可得．根据，，可得，，由二面角可得；，代入计算即可得出．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 ‎9.菱形边长为2，，沿将菱形进行翻折，使时，三棱锥外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，可知所得三棱锥为正三棱锥，求其高，设出三棱锥外接球的半径，利用勾股定理列式求得半径，则三棱锥的外接球的体积可求．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 由题意可知，，‎ 则三棱锥为正三棱锥，过作平面，则为的重心，‎ 连接并延长，交与，可得，则，‎ ‎，设三棱锥的外接球的半径为，‎ 则，解得，‎ 三棱锥的外接球的体积为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查外接球的体积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．‎ ‎10.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出分段函数图象，原题意等价于函数的图象与 有三个不同的交点．由图可解，注意y=1是一条渐近线．‎ ‎【详解】函数，作出函数图象，‎ 如图所示，方程有三个不同的实数根，‎ 等价于函数的图象与有三个不同的交点，‎ 根据图象可知，当时，函数的图象与有三个不同的交点，‎ 方程有三个不同的实数根，的取值范围是，故选A．‎ ‎【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎11.若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由外函数对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在上的最小值大于0，由此联立不等式组求解．‎ ‎【详解】解：令，其对称轴方程为，‎ 外函数对数函数是增函数，‎ 要使函数在上递减，‎ 则，即：．‎ 实数的取值范围是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．‎ ‎12.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：‎ ‎.‎ 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题在正确理解题意基础上，将有关式子代入给定公式，建立 的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．‎ ‎【详解】由，得 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以 ‎【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.设直线，直线.若，则实数的值为______，若∥，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意得到关于a的方程或方程组，据此求解方程即可求得最终结果.‎ 详解：若，则：，整理可得：，‎ 求解关于实数a的方程可得：.‎ 若∥，则，据此可得：.‎ 点睛：本题主要考查直线垂直、平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎14.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．‎ ‎【详解】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），‎ 则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）‎ ‎∴（﹣2，0，1），（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．‎ ‎∴cos，═．‎ ‎∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 故答案为．‎ ‎【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．‎ ‎15.若函数为定义在R上的奇函数，且在内是减函数，又，则不等式0的解集为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由奇函数的性质可得，结合函数的单调性可得在上，‎ ‎，在上，，结合函数的奇偶性可得在上，，在上，，又由或，分析可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数为定义在上的奇函数，且，则，‎ 函数在内是减函数，且，‎ 则在上，，在上，，‎ 又由函数为奇函数，则在上，，在上，，‎ 可得函数的大致图象为：‎ 或，‎ 解可得：或，‎ 即不等式解集为；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．‎ ‎16.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若，则；②若则；③若，则 ‎；④若，则.‎ 其中正确命题的序号是____.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．‎ ‎【详解】解：①若则与相交、平行或，故①错误；‎ ‎②若，，则由平面与平面平行的性质，得，故②正确；‎ ‎③若，则由平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的判定定理，得，故③正确；‎ ‎④若，则与相交或平行，所以④错误．‎ 故答案为：②③．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（）给定的直角坐标系内画出的图象．‎ ‎（）写出的单调递增区间（不需要证明）及最小值（不需要证明）．‎ ‎（）设，若有个零点，求得取值范围．‎ ‎【答案】（）见解析（）见解析（）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用对数函数的图象及二次函数的图象作出f（x）的图象． （2）结合（1）的图象写出f（x）的单调区间和最小值． （3）有个零点，即有三个根．可得a-1的范围，进而求得a的范围 试题解析：（）‎ ‎ ‎ ‎（）的单调增区间是和，‎ ‎．‎ ‎（），有个零点，即有三个根．‎ ‎∴，解得．‎ 故的取值范围是．‎ ‎18.已知直线l:kx-2y-3+k=0.‎ ‎(1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围.‎ ‎(2)设直线l与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程 ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的点斜式方程求出的方程即可；‎ ‎（2）求出，的坐标，得到关于的方程，解出即可．‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ 若直线不经过第二象限，‎ 则，解得：；‎ ‎（2）设直线与轴的负半轴交于点，‎ 则， ‎ 与轴的负半轴交于点，‎ 则，‎ 故，‎ 解得：，，‎ 当时，直线方程是：，‎ 当时，直线方程是：，‎ 综上，直线方程是：或 ‎【点睛】本题考查了直线方程问题，考查三角形的面积以及转化思想，是一道常规题．‎ ‎19.已知函数(-1≤x≤1)为奇函数,其中a为不等于1的常数.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若对任意的x∈[-1,1],f(x)>m恒成立,求m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的定义，代入函数解析式得恒等式，利用恒等式中的任意性即可得的值；‎ ‎（2）先将不等式恒成立问题转化为求函数在，时的最小值问题，再利用复合函数的单调性求最值即可 ‎【详解】解：（1）为奇函数 ‎，即 即对，恒成立；‎ 所以 ‎，‎ 因为为不等于1常数，所以 ‎（2）‎ 设，则，‎ 因为在，上递减所以，‎ 又因为，在上增函数，‎ 所以 因为对任意的，，恒成立，所以 所以 ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义及其应用，不等式恒成立问题的解法，复合函数的单调性及其最值的求法，转化化归的思想方法 ‎20.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.‎ ‎（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 ‎（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天.）‎ ‎【答案】(1) ；；(2) 从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据图像写出解析式即可;‎ ‎(2)得到后,分两段求得各段的最大值,再比较大小可得分段函数的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为 由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为 ‎（2）设时刻的纯收益为，则由题意得 即 当时，配方得到 所以，当时，取得区间上的最大值为100；‎ 当时，配方整理得到：‎ 所以，当时，取得区间上的最大值为．‎ 综上，在区间上的最大值为100，此时 即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数最大值的求法.属中档题.‎ ‎21.如图,四棱柱中,底面,底面是梯形,AB//DC,,‎ ‎(1).求证:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的平面角的正弦值 ‎(3).在线段上是否存在一点,使AP//平面.若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在点是的中点，使平面，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；‎ ‎（2）由（1）知，且平面，可知为二面角的平面角，在中利用勾股定理得到即可求得的正弦值；‎ ‎（3）根据线面平行的判定定理进行证明即可得到结论．‎ ‎【详解】证明：（1）因为底面，所以底面，‎ 因为底面，‎ 所以， ‎ 因为底面是梯形，，，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，，‎ 所以在中，，‎ 所以，‎ 所以， ‎ 又因为，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面平面，‎ ‎（2）由（1）知，且平面，则为二面角的平面角，‎ ‎，‎ 由勾股定理可得 即二面角的平面角的正弦值为.‎ ‎（3）存在点是的中点，使平面 证明如下：取线段的中点为点，连结，‎ 所以，且 因为，，‎ 所以，且 所以四边形平行四边形．‎ 所以．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面． ‎ ‎【点睛】本题主要考查面面垂直和线面平行的判定及二面角的正弦值的计算，要求熟练掌握相应的判定定理，考查学生的推理能力．‎ ‎22.如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=．‎ ‎（1）求证：AD⊥平面BCE；‎ ‎（2）求证：AD∥平面CEF；‎ ‎（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．‎ ‎（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．‎ ‎（3）由VA﹣CFD=VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．‎ ‎（1）证明：依题AD⊥BD，‎ ‎∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，‎ ‎∵BD∩CE=E，‎ ‎∴AD⊥平面BCE．‎ ‎（2）证明：Rt△BCE中，CE=，BC=，∴BE=2，‎ Rt△ABD中，AB=2，AD=，∴BD=3．‎ ‎∴．‎ ‎∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，‎ ‎∴AD∥平面CEF．‎ ‎（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，‎ 且ED=BD﹣BE=1，‎ ‎∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．‎ ‎∴S△FAD==．‎ ‎∵CE⊥平面ABD，‎ ‎∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．‎ 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎ ‎