【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案
第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
2016·全国卷Ⅱ，4
2016·全国卷Ⅲ，16
2015·重庆卷，8
2015·江苏卷，10
圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题．但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程，数形结合及转化与化归思想的应用.
分值：5分
1．直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系：__相交__、__相切__、__相离__．
(2)两种研究方法
(3)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
__d>r1＋r2__
__无解__
外切
__d＝r1＋r2__
__一组实数解__
相交
|r1－r2|
4，∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，
∴直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
四 圆与圆的位置关系
(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
【例4】 已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1.
(1)若圆C1与圆C2外切，求ab的最大值；
(2)若圆C1与圆C2内切，求ab的最大值；
(3)若圆C1与圆C2相交，求公共弦所在的直线方程；
(4)若圆C1与圆C2有四条公切线，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置关系．
解析 (1)由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤2＝，当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为.
(2)由C1与C2内切得＝1，
即(a＋b)2＝1，又ab≤2＝，
当且仅当a＝b时等号成立，可知ab的最大值为.
(3)由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．
圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，①
圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②
由②－①，得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，
即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在的直线方程．
(4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离，
故>3.
∴(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.
又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，
∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相离．
1．(2018·广东揭阳一模)已知直线x＋y－k＝0(k>0)与x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|＋|≥||，则k的取值范围是( B )
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
解析 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即，又k>0，故00，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知＝＝1⇒a＝1.
4．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则的最小值为 3－3－ .
解析 圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0的标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝6.
|PQ|min＝两圆圆心距－R－r(R，r分别为两圆半径)，
圆心距d＝＝3，
∴|PQ|min＝3－3－.
易错点 缺乏转化思想致误
错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解．
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为________．
解析 因为与点A(2,2)的距离为1的直线都是以点A(2,2)为圆心，半径为1的圆的切线，与点B(m,0)的距离为3的直线都是以点B(m,0)为圆心，半径为3的圆的切线，所以与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，即圆A与B有两条公切线，也即两圆相交，所以2＜＜4，解得2－2＜m＜2或2＜m＜2＋2.
答案 (2－2，2)∪(2,2＋2)
【跟踪训练1】 在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x－1)2＋y2＝2__.
解析 由mx－y－2m－1＝0可得m(x－2)＝y＋1，易知该直线过定点(2，－1)，当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
课时达标 第49讲
[解密考纲]直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现．
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( A )
A．－ B．－
C． D．2
解析 由圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.
2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( B )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析 两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r<0)，
∵圆心(2，－1)到直线x－y－1＝0的距离d＝，
∴r2＝d2＋2＝4，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
由解得弦的两端点为(2,1)和(0，－1)．
∴过弦的两端点的圆的切线方程为y＝1和x＝0.
12．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y＝x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切．
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
解析 (1)易知直线l1：y＝2，设l1交l于点D，则D(2，2)，
因为直线l的斜率为，
所以l的倾斜角为30°，所以l2的倾斜角为60°，所以k2＝，
所以反射光线l2所在的直线方程为y－2＝(x－2)，
即x－y－4＝0.
由题意，知圆C与l1切于点A，设圆心C的坐标为(a，b)，
因为圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
所以b＝－a＋8，①
又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，所以a＝3，②
由①②得a＝3，b＝－1，所以圆C的半径r＝3，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9.
综上，l2所在直线的方程为x－y－4＝0，
圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9.
(2)设点B(0，－4)关于l对称的点为B′(x0，y0)，
即＝·，且＝－，
解得x0＝－2，y0＝2，故B′(－2，2)．
由题意易知，当B′，P，Q三点共线时，|PB|＋|PQ|最小，
故|PB|＋|PQ|的最小值为
|B′C|－3＝－3＝2－3，
由得P，
故|PB|＋|PQ|的最小值为2－3，
此时点P的坐标为.
