2018届二轮复习不等式选讲课件（全国通用）(1)

2018届二轮复习不等式选讲课件（全国通用）(1)

考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 解绝对值不等式 . 2. 不等式的证明 . 1. 能利用三个正数的算术平均 — 几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大 ( 小 ) 值的问题；了解基本不等式的推广形式 ( n 个正数的形式 ). 2. 理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式 . 3. 掌握 | ax ＋ b | ≤ c ， | ax ＋ b | ≥ c ， | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ， | x － a | ＋ | x － b | ≥ c 型不等式的解法 . 4. 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式 . 5. 能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大 ( 小 ) 值问题 . 6. 理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题 . 　　对本章的考查以绝对值不等式的解法、性质为主，解答题往往涉及含两个绝对值的问题，考查分类讨论、等价转化和数形结合等思想方法 . 　　预测 2016 年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查 . 知识点一 解绝对值不等式 1.| ax ＋ b | ≤ c ， | ax ＋ b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法 (1) 若 c >0 ，则 | ax ＋ b | ≤ c 等价于－ c ≤ ax ＋ b ≤ c ， | ax ＋ b | ≥ c 等价于 ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c ，然后根据 a ， b 的值解出即可 . (2) 若 c <0 ，则 | ax ＋ b | ≤ c 的解集为 ∅ ， | ax ＋ b | ≥ c 的解集为 R. 2.| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c >0) ， | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c >0) 型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解 . (1) 零点分区间法的一般步骤 ① 令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ② 将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③ 由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④ 取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 . (2) 利用绝对值的几何意义 由于 | x － a | ＋ | x － b | 与 | x － a | － | x － b | 分别表示数轴上与 x 对应的点到 a ， b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如 | x － a | ＋ | x － b |< c ( c >0) 或 | x － a | － | x － b |> c ( c >0) 的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 . 3.| f ( x )|> g ( x ) ， | f ( x )|< g ( x )( g ( x )>0) 型不等式的解法 (1)| f ( x )|> g ( x ) ⇔ f ( x )> g ( x ) 或 f ( x )< － g ( x ). (2)| f ( x )|< g ( x ) ⇔ － g ( x )< f ( x )< g ( x ). 知识点二 不等式的证明 1. 证明不等式的常用结论 (1) 绝对值的三角不等式 定理 1 ：若 a ， b 为实数，则 | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b | ，当且仅当 ab ≥ 0 ，等号成立 . 定理 2 ：设 a ， b ， c 为实数，则 | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ，当且仅当 ( a － b )( b － c ) ≥ 0 时，等号成立 . 推论 1 ： || a | － | b || ≤ | a ＋ b |. 推论 2 ： || a | － | b || ≤ | a － b |. 2. 证明不等式的常用方法 (1) 比较法 一般步骤：作差 — 变形 — 判断 — 结论 . 为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负 . (2) 综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法 . 即 “ 由因导果 ” 的方法 . (3) 分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法 . 即 “ 执果索因 ” 的方法 . (4) 反证法和放缩法 ① 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法 . ② 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法 . 【 名师助学 】 1 . | a ＋ b | 与 | a | － | b | ， | a － b | 与 | a | － | b | ， | a | ＋ | b | 之间的关系 (1)| a ＋ b | ≥ | a | － | b | ， 当且仅当 a > － b >0 时 ， 等号成立 . (2)| a | － | b | ≤ | a － b | ≤ | a | ＋ | b | ， 当且仅当 | a | ≥ | b | 且 ab ≥ 0 时 ， 左边等号成立 ， 当且仅当 ab ≤ 0 时 ， 右边等号成立 . 2 . 证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法 . 如果已知条件与待证结论直接联系不明显 ， 可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以 “ 至少 ”“ 至多 ” 等方式给出的 ， 则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关 ， 则考虑用数学归纳法等 . 在必要的情况下 ， 可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明 . 方法 1 含绝对值不等式的性质与解法 (1) 基本性质法：对 a ∈ R ＋ ， | x |< a ⇔ － a < x < a ， | x |> a ⇔ x < － a 或 x > a . (2) 平方法：两边平方去掉绝对值符号 . (3) 零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 ( 组 ) 求解 . (4) 几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解 . (5) 数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解 . 【 例 1 】 不等式 |2 x ＋ 1| － 2| x － 1|>0 的解集为 ________ . [ 点评 ] 　解决本题的关键是去绝对值号 ， 转化为一元一次不等式求解 . 方法 2 不等式的证明与应用 证明不等式的常用方法： (1) 比较法； (2) 综合法； (3) 分析法； (4) 反证法和放缩法； (5) 数学归纳法 . [ 点评 ] 　均值不等式的应用 方法 3 求解与绝对值不等式相关的最值问题的方法 解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的 x 即可 . 求解存在性问题需过两关： 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为 ∅ 的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f ( x )< a 恒成立 ⇔ a > f ( x ) max ， f ( x )> a 恒成立 ⇔ a < f ( x ) min . 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ① 利用绝对值的几何意义； ② 利用绝对值三角不等式，即 | a | ＋ | b | ≥ | a ± b | ≥ || a | － | b || ； ③ 利用零点分区间法 . 【 例 3 】 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ a | ＋ | x － 2|. (1) 当 a ＝－ 3 时，求不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集； (2) 若 f ( x ) ≤ | x － 4| 的解集包含 [1 ， 2] ，求 a 的取值范围 . [ 审题指导 ] (1) 将 a ＝－ 3 代入 f ( x ) 利用零点分段法去绝对值号 . (2) 根据 x ∈ [1 ， 2] 去绝对值号解关于 a 的不等式 . 当 x ≥ 3 时，由 f ( x ) ≥ 3 ， 得 2 x － 5 ≥ 3 ，解得 x ≥ 4 ； 所以 f ( x ) ≥ 3 的解集为 { x | x ≤ 1} ∪ { x | x ≥ 4}. (2) f ( x ) ≤ | x － 4| ⇔ | x － 4| － | x － 2| ≥ | x ＋ a |. 当 x ∈ [1 ， 2] 时， | x － 4| － | x － 2| ≥ | x ＋ a | ⇔ 4 － x － (2 － x ) ≥ | x ＋ a | ⇔ － 2 － a ≤ x ≤ 2 － a . 由条件得－ 2 － a ≤ 1 且 2 － a ≥ 2 ，即－ 3 ≤ a ≤ 0. 故满足条件的 a 的取值范围为 [ － 3 ， 0]. [ 点评 ] 　研究含有绝对值的函数问题时 ， 根据绝对值的定义 ， 分类讨论去掉绝对值符号 ， 转化为分段函数 ，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法 . 解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀 “ 找零点 ， 分区间 ， 逐个解 ， 并起来 ” .