【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式学案

【数学】2020届一轮复习人教A版基本不等式学案

基本不等式 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；‎ ‎2.会用基本不等式解决最大（小）值问题.‎ ‎3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 ‎【知识网络】‎ 基本不等式 重要不等式 最大（小）值问题 基本不等式 基本不等式的应用 ‎【考点梳理】‎ 考点一：重要不等式及几何意义 ‎1．重要不等式：‎ 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.‎ ‎2．基本不等式：‎ 如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.‎ 要点诠释：和两者的异同：‎ ‎（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；‎ ‎（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。‎ ‎（3）可以变形为：，可以变形为：.‎ ‎3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.‎ 易证，那么，即.‎ 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.‎ 要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.‎ ‎2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.‎ 考点二：基本不等式的证明 ‎1. 几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。‎ 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。‎ 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）‎ 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：‎ 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.‎ 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）‎ ‎2. 代数法 ‎ ∵，‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以，（当且仅当时取等号“=”）.‎ 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：‎ 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.‎ 通常我们把上式写作：‎ 如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.‎ 要点三、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。‎ ‎① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；‎ ‎② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；‎ ‎③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。‎ 要点四、几个常见的不等式 ‎1），当且仅当a=b时取“=”号。‎ ‎2），当且仅当a=b 时取“=”号。‎ ‎3）；特别地：；‎ ‎4） ‎ ‎5）；‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：基本不等式的理解 例1. ，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.‎ ‎ （1）的最小值为；‎ ‎（2）的最小值为；‎ ‎（3）的最小值为.‎ ‎【解析】（1）；（2）‎ ‎（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.‎ ‎（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.‎ ‎（3）∵，∴，‎ ‎（当且仅当即时取等号）‎ ‎∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即 ‎【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】给出下面四个推导过程：‎ ‎① ∵，∴； ‎ ‎② ∵，∴；‎ ‎③ ∵，，∴ ；‎ ‎④ ∵，，∴.‎ 其中正确的推导为（ ）‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.‎ ‎②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.‎ ‎③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.‎ ‎④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.‎ ‎【变式2】下列命题正确的是（ ）‎ A.函数的最小值为2. 　　 B.函数的最小值为2‎ C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2‎ ‎【答案】C ‎【解析】A选项中，∵，∴当时由基本不等式；‎ 当时.∴选项A错误.‎ B选项中，∵的最小值为2‎ ‎（当且仅当时，成立）‎ 但是，∴这是不可能的. ∴选项B错误.‎ C选项中，∵，∴，故选项C正确。‎ 类型二：利用基本不等式求最值 基本不等式394847 基础练习二】‎ 例2．设，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时取等号.‎ ‎【答案】D 举一反三：‎ ‎【变式1】若,求的最大值.‎ ‎【解析】因为,所以, 由基本不等式得:‎ ‎,‎ ‎（当且仅当即时, 取等号）‎ 故当时,取得最大值.‎ ‎【变式2】已知，求的最大值.‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎ ∴（当且仅当，即时，等号成立）‎ ‎∴（当且仅当，即时，等号成立）‎ 故当时，的最大值为4.‎ 例3.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是 A． B．4 C． D．5‎ ‎【解析】∵,，‎ ‎∴‎ 答案选C 举一反三：‎ ‎【变式1】若,,且,求的最小值 .‎ ‎【解析】∵,，‎ ‎∴‎ ‎（当且仅当即，时，等号成立）‎ ‎∴（当且仅当，时，等号成立）‎ 故当，时，的最小值为64.‎ ‎【变式2】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。‎ ‎【解析】∵，∴‎ ‎∵x＞0，y＞0，∴‎ ‎（当且仅当，即y=3x时，取等号）‎ 又，∴x=4，y=12‎ ‎∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16。‎ 类型三：基本不等式应用 例4. 设,,求证：‎ ‎【证明】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 成立 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，求证:‎ ‎【解析】‎ ‎（当且仅当即,等号成立）.‎ ‎【例5】(2015春 东城区期末)已知，且.‎ ‎(1)若则的值为 .‎ ‎(2)求证：‎ ‎【解析】(1)由题意可得带入计算可得 ‎(2)由题意和基本不等式可得，，‎ 举一反三：‎ ‎【变式】(2018 石家庄一模)已知函数的定义域为R.‎ ‎(1)求实数m的取值范围.‎ ‎(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为函数的定义域为R,‎ 恒成立 设函数则m不大于的最小值 即的最小值为4，‎ ‎(2)由(1)知n=4‎ 当且仅当时，即时取等号.‎ 的最小值为 类型四：基本不等式在实际问题中的应用 例6. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ ‎ ‎【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。‎ 设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，‎ 于是还需要建造新墙的长为 设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，‎ 则 ‎（当且仅当即时，等号成立）‎ 故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？‎ ‎【解析】设购买x张游泳卡，活动开支为y元， ‎ 则（当且仅当x=8时取“=”）‎ 此时每人最少交80元.‎