【数学】2018届一轮复习人教A版第4章重点强化课2平面向量学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第4章重点强化课2平面向量学案

重点强化课(二)　平面向量 ‎[复习导读]　从近五年浙江卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．‎ 重点1　平面向量的线性运算 ‎　(1)(2017·温州二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ 图1‎ A.　　　　　　　　 B. C. D．2‎ ‎(2)在▱ABCD中，AB＝a，＝b,3＝，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)‎ ‎(1)B　(2)－a－b　[(1)因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋，所以得所以λ＋μ＝，故选B.‎ ‎(2)如图所示，＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝b－a－b＝－a－b.]‎ ‎[规律方法]　1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．‎ ‎2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．‎ ‎3．O在AB外，A，B，C三点共线，且＝λ＋μ，则有λ＋μ＝1.‎ ‎[对点训练1]　设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)‎ A．3　　　 B．4　　　‎ C．5　　　 D．6‎ B　[因为D为AB的中点，‎ 则＝(＋)，‎ 又＋＋2＝0，‎ 所以＝－，所以O为CD的中点．‎ 又因为D为AB的中点，‎ 所以S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，‎ 则＝4.]‎ 重点2　平面向量数量积的综合应用 ‎　(2017·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足||＝2||.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f(a)＝·，求f(a)的取值范围. 【导学号：51062153】‎ ‎[解]　(1)设P的坐标为(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)．‎ ‎∵动点P满足||＝2||，‎ ‎∴＝2，‎ 整理得x2＋y2＝4.5分 ‎(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，)，B(a，－)，‎ ‎∴f(a)＝·＝(0，)·(0，－)＝a2－4；9分 ‎(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，‎ 代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴f(a)＝·＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4.‎ 由(a)(b)得f(a)＝a2－4.13分 ‎∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，‎ ‎∴－20)．]‎ ‎8．在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________. ‎ ‎【导学号：51062156】‎ ‎－　[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，又BC＝2，则AB·AC≤，所以·＝||·||·cos ≥－，(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号取得．]‎ 三、解答题 ‎9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵m＝n＝，＝(1,2)，＝(2,1)，‎ ‎∴＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，3分 ‎∴||＝＝2.6分 ‎(2)∵＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,‎2m＋n)，‎ ‎∴10分 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.15分 ‎10．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ ‎[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分 又x∈，从而sin x＝，所以x＝.6分 ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，12分 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·宁波镇海中学模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设＝a，＝b，＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m＝(　　)‎ A．－4 B．3 ‎ C．－11 D．10‎ C　[a·b＝2×3×cos 60°＝3，‎ ＝－＝b－a，＝－OA＝(m－1)a－2b.‎ ‎∵AB⊥AC，∴·＝0，‎ 即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，‎ ‎∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，‎ 即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，‎ 解得m＝－11.故选C.]‎ ‎2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．‎ 　[∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝，‎ ‎∴〈a，b〉＝60°.‎ 以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，‎ 则a＝(1,0)，b＝(1，)．‎ 设e＝(cos θ，sin θ)，‎ 则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋sin θ|‎ ‎≤|cos θ|＋|cos θ|＋|sin θ|‎ ‎＝2|cos θ|＋|sin θ|‎ ‎≤ ‎＝.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值. 【导学号：51062157】‎ ‎[解]　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x－sin 2x＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos，3分 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z).7分 ‎(2)∵f(A)＝1＋2cos＝－1，‎ ‎∴cos＝－1.10分 又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝.12分 ‎∵a＝，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①‎ ‎∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，‎ ‎∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②‎ 由①②可得b＝3，c＝2.15分