北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

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北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

首都师大附中2019-2020学年第一期期末考试 一、选择题共10小题每小题5分共50分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 ‎1.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和之间能否推出的关系,得到答案.‎ ‎【详解】由可得,‎ 由,得到或,,不能得到,‎ 所以“”是“”的充分不必要条件,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,属于简单题.‎ ‎2.已知向量,在正方形网格中的位置如图所示,那么向量,的夹角为( )‎ A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标表示,求得的坐标,再利用向量的夹角公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,可得,,‎ 设向量,的夹角为,则,‎ 又因为,所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示,以及向量夹角公式的应用,其中解答中熟记向量的坐标表示,利用向量的夹角公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎3.设为第三象限角,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同角关系求得,再由正弦的二倍角公式变形后求值.‎ ‎【详解】∵设为第三象限角,,∴,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,考查正弦的二倍角公式.在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围,从而确定函数值的正负.‎ ‎4.下列函数既是偶函数,又在上单调递减的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性,由此判断正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项,为偶函数,且当时,为减函数,符合题意.‎ 对于B选项,为偶函数,根据幂函数单调性可知在上递增,不符合题意.‎ 对于C选项,为奇函数,不符合题意.‎ 对于D选项,为偶函数,根据复合函数单调性同增异减可知,在区间上单调递减,符合题意.‎ 故选:AD.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.‎ ‎5.已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数,设, ,,则的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为是定义在上的偶函数,且在上是增函数,所以在上是减函数,又因为,‎ 所以,选B.‎ ‎6.函数(且)的图像是下列图像中的( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数表示为分段函数的形式,由此确定函数图像.‎ ‎【详解】依题意,.由此判断出正确的选项为C.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别,考查分段函数解析式的求法,考查同角三角函数的基本关系式,属于基础题.‎ ‎7.如图,正方形中,为的中点,若,则的值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】因为E是DC的中点,所以,∴,‎ ‎∴,.‎ 考点:平面向量的几何运算 ‎8.已知函数(,)的最小正周期是,将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点,则函数( )‎ A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题,平移后得到的函数是,其图象过点,,因为,,,故选B.‎ 点睛:本题考查是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减,是x加减,还是2x加减,另一方面是根据图象过点确定的值时,要结合五点及确定其取值,得到函数的解析式,再判断其对称性和单调性.‎ ‎9.对于函数f(x),若存在区间M=[a,b](a<b)使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)一个“稳定区间,给出下列四个函数:‎ ‎①f(x),②f(x)=x3,③f(x)=cosx,④f(x)=tanx 其中存在“稳定区间”的函数有( )‎ A ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案.‎ ‎【详解】①f(x),取时,如图所示:函数在上单调递增,且,故满足;‎ ‎②f(x)=x3,函数单调递增,取,,故满足;‎ ‎③f(x)=cosx,函数在上单调递减,,故满足;‎ ‎④f(x)=tanx,函数在每个周期内单调递增,在每个周期内没有两个交点,如图所示,故不满足;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义问题,意在考查学生的综合应用能力和理解能力.‎ ‎10.延长正方形的边至,使得.若动点从点出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点,若,下列判断正确的是( )‎ A. 满足的点必为的中点 B. 满足的点有且只有一个 C. 的最小值不存在 D. 的最大值为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:设正方形的边长为1,建立如图所示直角坐标系,则的坐标为,则设,由得 ‎,所以,当在线段上时,,此时,此时,所以;当在线段上时,,此时,此时,所以;当在线段 上时,,此时,此时,所以;当在线段上时,,此时,此时,所以;由以上讨论可知,当时,可为的中点,也可以是点,所以A错;使的点有两个,分别为点与中点,所以B错,当运动到点时,有最小值,故C错,当运动到点时,有最大值,所以D正确,故选D.‎ 考点:向量的坐标运算.‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量线性运算,属中档题.平面向量是高考的必考内容,向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道,通过构建直角坐标系,使得向量运算完全代数化,通过加、减、数乘的运算法则,实现了数形的紧密结合,同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题,在解题过程中,还常利用向量相等则坐标相同这一原则,通过列方程(组)求解,体现方程思想的应用.‎ 二、填空题共6小题每小题5分共30分 ‎11.函数的定义域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数真数大于零,分式分母不为零列不等式组,解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意有,解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法,考查对数的性质,属于基础题.‎ ‎12.在△ABC中,cosA,cosB,则cosC=_____.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到,再利用和差公式计算得到答案.‎ ‎【详解】,则.‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系,和差公式,意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.已知tan(3π+α)=2,则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,化简得到原式,计算得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 原式.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式化简,齐次式,意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.若函数y=loga(2﹣ax)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数单调递减,再根据复合函数单调性和定义域得到答案.‎ ‎【详解】,故函数单调递减,函数y=loga(2﹣ax)在区间(0,1)上单调递.‎ 故,且满足,故.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数,忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.‎ ‎15.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度(单位:)随时间(单位:)的变化关系为,则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ C==5‎ 当且仅当且t>0,即t=2时取等号 考点:基本不等式,实际应用 ‎16.已知函数,任取,记函数在区间上的最大值为最小值为记. 则关于函数有如下结论:‎ ‎①函数为偶函数;‎ ‎②函数值域为;‎ ‎③函数的周期为2;‎ ‎④函数的单调增区间为.‎ 其中正确的结论有____________.(填上所有正确的结论序号)‎ ‎【答案】③④.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,其中分别是指函数在区间上的最大值、最小值,注意到函数是最小正周期为的函数,所以在区间的图像与在的图像完全相同,所以 ‎,所以,所以函数的一个周期为4,对该函数性质的研究,只须先探究的性质即可.‎ 根据的图像(如下图(1))与性质可知 当时,在区间的最小值为,最大值为,此时 当时,在区间的最小值为,最大值为,此时;‎ 当时,在区间的最小值为,最大值为,此时;‎ 当时,在区间的最小值为,最大值为1,此时;‎ 当时,在区间的最小值为,最大值为1,此时;‎ 当时,在区间的最小值为,最大值为,此时 作出的图像,如下图(2)所示 综上可知,该函数没有奇偶性,函数的值域为,从图中可以看到函数的最小正周期为2,函数的单调递增区间为,故只有③④正确.‎ 考点:1.三角函数的图像与性质;2.分段函数.‎ 三、解答题共4小题共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎17.已知不共线向量,满足||=3,||=2,(23)•(2)=20.‎ ‎(1)求•;‎ ‎(2)是否存在实数λ,使λ与2共线?‎ ‎(3)若(k2)⊥(),求实数k的值.‎ ‎【答案】(1)1;(2)存在,;(3)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用向量运算法则展开计算得到答案.‎ ‎(2)假设存在实数λ,使λ与2共线,则,计算得到答案.‎ ‎(3)计算(k2)•()=0,展开计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)向量,满足||=3,||=2,(23)•(2)=20,‎ 所以44•34×9﹣4•3×4=20,解得•1;‎ ‎(2)假设存在实数λ,使λ与2共线,则,‎ 故,.‎ 即存在λ,使得λ与2共线;‎ ‎(3)若(k2)⊥(),则(k2)•()=0,‎ 即k(2﹣k2)•2k0,所以9k+(2﹣k2)×1﹣2k•4=0,‎ 整理得k2﹣k﹣2=0,解得k=﹣1或k=2.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的运算,意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.已知函数f(x)=cosx(acosx﹣sinx)(a∈R),且f ().‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(3)求f(x)在区间[0,]上的最小值及对应的x的值.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)时,取得最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)代入数据计算得到答案.‎ ‎(2)化简得到,计算得到答案.‎ ‎(3)计算2x∈[,],再计算最值得到答案.‎ ‎【详解】(1)∵f(x)=cosx(acosx﹣sinx)(a∈R),且f ().‎ ‎∴f ()().解得a.‎ ‎(2)由(1)可得f(x)=cosx(cosx﹣sinx)cos2x﹣sinxcosxsin2xcos(2x),‎ 令2kπ+π≤2x2kπ+2π,k∈Z,解得:kπx≤kπ,k∈Z,‎ 可得f(x)的单调递增区间为:[kπ,kπ],k∈Z,‎ ‎(3)∵x∈[0,],可得:2x∈[,],‎ ‎∴当2xπ,即x时,f(x)=cos(2x)取得最小值为﹣1.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的求值,单调性和值域,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎19.如图所示,近日我渔船编队在岛周围海域作业,在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队,30分钟后到达处,此时观测站测得间的距离为21海里.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛?‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ) 在中,根据余弦定理求得余弦值,再求正弦值得到答案.‎ ‎(Ⅱ)首先利用和差公式计算,中,由正弦定理可得长度,最后得到时间.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由已知可得,‎ 中,根据余弦定理求得,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)由已知可得,‎ ‎∴.‎ 中,由正弦定理可得,‎ ‎∴分钟.‎ 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.‎ ‎【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用,意在考查学生的建模能力,实际应用能力和计算能力.‎ ‎20.f(x)是定义在D上的函数,若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1,x2,恒有f(αx1+(1﹣α)x2)≤αf(x1)+(1﹣α)f(x2),则称f(x)为定义在D上的C函数.‎ ‎(1)试判断函数f1(x)=x2,中哪些是各自定义域上的C函数,并说明理由;‎ ‎(2)若f(x)是定义域为的函数且最小正周期为T,试证明f(x)不是R上的C函数.‎ ‎【答案】(1)是C函数,不是C函数,理由见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数的新定义证明f1(x)=x2是C函数,再举反例得到不是C函数,得到答案.‎ ‎(2)假设f(x)是R上的C函数,若存在m<n且m,n∈[0,T),使得f(m)≠f(n,讨论f(m)<f(n)和f(m)>f(n)两种情况得到证明.‎ ‎【详解】(1)对任意实数x1,x2及α∈(0,1),有f1(αx1+(1﹣α)x2)﹣αf1(x1)﹣(1﹣α)f1(x2)=(αx1+(1﹣α)x2)2﹣αx12﹣(1﹣α)x22‎ ‎=﹣α(1﹣α)x12﹣α(1﹣α)x22+2α(1﹣α)x1x2=﹣α(1﹣α)(x1﹣x2)2≤0,‎ 即f1(αx1+(1﹣α)x2)≤αf1(x1)+(1﹣α)f1(x2),‎ ‎∴f1(x)=x2是C函数;‎ 不是C函数,‎ 说明如下(举反例):取x1=﹣3,x2=﹣1,α,‎ 则f2(αx1+(1﹣α)x2)﹣αf2(x1)﹣(1﹣α)f2(x2)=f2(﹣2)f2(﹣3)f2(﹣1)0,‎ 即f2(αx1+(1﹣α)x2)>αf2(x1)+(1﹣α)f2(x2),‎ ‎∴不是C函数;‎ ‎(2)假设f(x)是R上的C函数,若存在m<n且m,n∈[0,T),使得f(m)≠f(n).‎ ‎(i)若f(m)<f(n),‎ 记x1=m,x2=m+T,α=1,则0<α<1,且n=αx1+(1﹣α)x2,‎ 那么f(n)=f(αx1+(1﹣α)x2)≤αf(x1)+(1﹣α)f(x2)=αf(m)+(1﹣α)f(m+T)=f(m),‎ 这与f(m)<f(n)矛盾;‎ ‎(ii)若f(m)>f(n),‎ 记x1=n,x2=n﹣T,α=1,同理也可得到矛盾;‎ ‎∴f(x)在[0,T)上是常数函数,‎ 又因为f(x)是周期为T的函数,‎ 所以f(x)在上是常数函数,这与f(x)的最小正周期为T矛盾.‎ 所以f(x)不是R上的C函数.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义,意在考查学生的理解能力和综合应用能力.‎
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