【数学】2020届一轮复习人教A版第22课导数在实际问题中的应用学案（江苏专用）
____第22课__导数在实际问题中的应用____
能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.
1. 阅读：选修11第93～98页．
2. 解悟：①实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？②总结求解实际问题的一般步骤，其关键步骤是什么？
3. 践习：在教材空白处完成教材第96页练习第3、4题.
基础诊断
1. 如图，将边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒．当铁皮盒底边长为__40cm__时，盒子的容积最大，最大容积是__16__000cm3__.
解析：设铁皮盒底边长为xcm，容积为V，
所以V(x)＝x2＝(0
0；当x∈(40，60)时，V′(x)<0.所以V(x)在区间(0，40)上为增函数；在区间(40，60)上为减函数，所以V(x)max＝V(40)＝＝16 000.故当铁皮盒底边长40cm时，最大容积为16 000 cm3.
2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__3__．
解析：设圆柱的底面半径为r，则高为.
所以S表面积＝πr2＋2πr×＝πr2＋.
令f(r)＝πr2＋(r>0)，则f′(r)＝2πr＋＝.令f′(x)>0可得r>3，令f′(x)<0可得00，得0，函数f(x)在[1，15－3)上单调递增；
当15－3，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．
故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是 千元．
某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数y1＝17x2，生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产__6__千台．
解析：设利润为W万元，则W(x)＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3，所以W′(x)＝36x－6x2.令W′(x)＝0，解得x＝6或x＝0(舍去)．当x∈(0，6)，W′(x)>0，W(x)单调递增；当x∈(6，＋∞)，W′(x)<0，W(x)单调递减，故当x＝6时，W(x)取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产6千台．
考向❸ 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题
例3 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC＝.管理部门欲在该地从M到D修建小路．在上选一点P(异于M，N两点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.
(1) 设∠PBC＝θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；
(2) 求l的最小值．
解析：(1) 延长QP，交AB于点E，
则＝－θ.
在△BPE中，∠EPB＝θ，∠EBP＝－θ，∠BEP＝，所以EP＝sin，EB＝sinθ，
所以PQ＝2－sin，QD＝2－·sinθ，
所以l＝－θ＋2－sin＋2－·sinθ＝4－2sin＋－θ.
(2) l′＝－2cos－1，令l′<0，
即－2cos－1<0，解得0<θ<；
令l′>0，即－2cos－1>0，
解得<θ<.
所以当θ＝时，l有最小值4－＋，
故l的最小值为百米．
自测反馈
1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，当其表面积最小时，底面边长为____．
解析：设底面边长为a，高为h，表面积为S.
V＝a2×h，所以h＝，则表面积S＝3ah＋2×a2＝a2＋，所以S′＝a－.令S′＝a－＝0，解得a＝.当0时，S′>0，所以当a＝时，S取极小值也是最小值，所以底面边长为.
2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高度应为__cm__．
解析：设圆锥的高为h，则底面半径为，所以其体积V＝π(202－h2)h(00；当0，函数P(x)在区间[20，30)上单调递增，
所以当x＝20时，P(x)取得最小值为P(20)＝＋＝48.
②当x∈[30，50]时，P(x)＝x＋－40≥2－40＝40，当且仅当x＝，即x＝40时，P(x)取得最小值为P(40)＝40，
因为48>40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．
1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原．
2. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解．
3. 你还有哪些体悟，写下来：
