【数学】2019届文科一轮复习人教A版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件教案

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文档介绍

【数学】2019届文科一轮复习人教A版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件教案

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎ [考纲传真] (教师用书独具)1.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ ‎(对应学生用书第3页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1.命题 ‎ 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎ (1)四种命题间的相互关系 图121‎ ‎ (2)四种命题的真假关系 ‎ ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;‎ ‎ ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件与必要条件 ‎ (1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎ (2)如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.‎ ‎ (3)如果pDq,且qD p,则p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1.充分条件、必要条件的两个结论 ‎ (1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r 的充分不必要条件;‎ ‎ (2)若p是q的充分不必要条件,则綈q是綈p的充分不必要条件.‎ ‎2.充分条件、必要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AB p是q的必要不充分条件 BA p是q的充要条件 A=B ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎ (1)“x2+2x-3<‎0”‎是命题.(  )‎ ‎ (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(  )‎ ‎ (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(  )‎ ‎ (4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(  )‎ ‎ [解析] (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.‎ ‎ (2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.‎ ‎ (3)正确.q是p的必要条件说明p⇒q,所以p是q的充分条件.‎ ‎ (4)正确.原命题与逆否命题是等价命题.‎ ‎ [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材改编)命题“若α=,则tan α=‎1”‎的逆否命题是(  )‎ ‎ A.若α≠,则tan α≠1‎ ‎ B.若α=,则tan α≠1‎ ‎ C.若tan α≠1,则α≠ ‎ D.若tan α≠1,则α= ‎ C [“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则 綈p”,显然綈q:tan α≠1,‎ 綈p:α≠,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠”.]‎ ‎3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=‎3”‎是“A⊆B”的(  )‎ ‎ A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ A [a=3时,A={1,3},显然A⊆B.‎ ‎ 但A⊆B时,a=2或3.‎ ‎ ∴“a=‎3”‎是“A⊆B”的充分不必要条件.]‎ ‎4.命题“若a>-3,则a>-‎6”‎以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(  ) 【导学号:79170004】‎ ‎ A.1     B.2 ‎ ‎ C.3     D.4‎ ‎ B [原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-‎3”‎是假命题,从而其否命题也是假命题.‎ ‎ 因此4个命题中有2个假命题.]‎ ‎5.(2017·天津高考)设x∈R,则“2-x≥‎0”‎是“|x-1|≤‎1”‎的(  )‎ ‎ A.充分而不必要条件 ‎ B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎ B [∵2-x≥0,∴x≤2.‎ ‎ ∵|x-1|≤1,∴0≤x≤2.‎ ‎ ∵当x≤2时不一定有x≥0,当0≤x≤2时一定有x≤2,‎ ‎ ∴“2-x≥‎0”‎是“|x-1|≤‎1”‎的必要而不充分条件.‎ ‎ 故选B.]‎ ‎(对应学生用书第3页)‎ 四种命题的关系及其真假判断 ‎ (1)命题“若x2-3x-4=0,则x=‎4”‎的逆否命题及其真假性为(  )‎ ‎ A.“若x=4,则x2-3x-4=‎0”‎为真命题 ‎ B.“若x≠4,则x2-3x-4≠‎0”‎为真命题 ‎ C.“若x≠4,则x2-3x-4≠‎0”‎为假命题 ‎ D.“若x=4,则x2-3x-4=‎0”‎为假命题 ‎ (2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(  )‎ ‎ A.真,假,真        B.假,假,真 ‎ C.真,真,假 D.假,假,假 ‎ (1)C (2)B [(1)根据逆否命题的定义可以排除A,D,由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题.‎ ‎ (2)由共轭复数的性质,原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.‎ ‎ 当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不共轭,所以逆命题为假命题,从而它的否命题亦为假命题.]‎ ‎ [规律方法]  1.已知原命题写出该命题的其他命题时,先要分清命题的条件与结论.特别注意的是,如果命题不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式.‎ ‎ 2.给出一个命题,要判断它是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反例即可.‎ ‎ 3.由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.‎ ‎[变式训练1] (1)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是(  )‎ ‎ A.不拥有的人们会幸福 ‎ B.幸福的人们不都拥有 ‎ C.拥有的人们不幸福 ‎ D.不拥有的人们不幸福 ‎ (2)原命题为“若<an,n∈N*,则{an}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(  )‎ ‎ A.真,真,真 B.假,假,真 ‎ C.真,真,假 D.假,假,假 ‎ (1)D (2)A [(1)等价命题即为逆否命题,故选D.‎ ‎ (2)由<an,得an+an+1<2an,即an+1<an.‎ ‎ 所以当<an时,必有an+1<an,‎ ‎ 则{an}是递减数列.‎ ‎ 反之,若{an}是递减数列,必有an+1<an,‎ ‎ 从而有<an.‎ ‎ 所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题也均是真命题.]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎ (1)(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<‎0”‎的(  )‎ ‎ A.充分而不必要条件 ‎ B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎ (2)设x∈R,则“1<x<‎2”‎是“|x-2|<‎1”‎的(  )‎ ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎ (1)A (2)A [(1)法一:由题意知|m|≠0,|n|≠0.‎ ‎ 设m与n的夹角为θ.‎ ‎ 若存在负数λ,使得m=λn,‎ ‎ 则m与n反向共线,θ=180°,‎ ‎ ∴m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.‎ ‎ 当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.‎ ‎ 故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<‎0”‎的充分而不必要条件.‎ ‎ 故选A.‎ ‎ 法二:∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.‎ ‎ ∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.‎ ‎ 反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,‎ ‎ 当〈m,n〉∈时,m,n不共线.‎ ‎ 故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<‎0”‎的充分而不必要条件.‎ ‎ 故选A.‎ ‎ (2)|x-2|<1⇔1<x<3.‎ ‎ 由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集,‎ ‎ 所以“1<x<‎2”‎是“|x-2|<‎1”‎的充分不必要条件.]‎ ‎ [规律方法]  充分条件、必要条件的三种判断方法 ‎ (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.‎ ‎ (2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.‎ ‎ (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.‎ ‎[变式训练2] (1)(2018·九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=‎0”‎是“f(x)=‎1”‎的(  ) 【导学号:79170005】‎ ‎ A.充要条件 ‎ B.充分不必要条件 ‎ C.必要不充分条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎ (2)(2018·东北三省四市联考)设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b‎3”‎的 ‎(  )‎ ‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 ‎ (1)B (2)A [(1)若x=0,则f(x)=1,‎ ‎ 若f(x)=1,则ex=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.‎ ‎ 故“x=‎0”‎是“f(x)=‎1”‎的充分不必要条件,故选B.‎ ‎ (2)a>|b|能推出a>b,进而得a3>b3;当a3>b3时,有a>b,但若b<a<0,则a>|b|不成立,所以“a>|b|”是“a3>b‎3”‎的充分不必要条件,故选A.]‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎ 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.‎ ‎ [解] 由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,‎ ‎ ∴P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎ ∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,‎ ‎ ∴∴0≤m≤3.‎ ‎ 综上,可知0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.‎ ‎[母题探究1] 本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.‎ ‎ [解] 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎ 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,‎ ‎ ∴ ‎ ∴ ‎ 这样的m不存在.‎ ‎[母题探究2] 本例条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.‎ ‎ [解] 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎ ∵綈P是綈S的必要不充分条件,‎ ‎ ∴P是S的充分不必要条件,‎ ‎ ∴P⇒S且SDP,‎ ‎ ∴[-2,10][1-m,1+m],‎ ‎ ∴或 ‎ ∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).‎ ‎ [规律方法]  ‎ 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:‎ ‎ (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.‎ ‎ (2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎[变式训练3] (1)(2017·长沙模拟)已知命题p:a≤x≤a+1,命题q:x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.‎ ‎ (2)方程ax2+2x+1=0(a∈R,a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________.‎ ‎ (1)(0,3) (2)a≤0或a=1 [(1)令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0
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