2019届二轮复习　解三角形学案（全国通用）

2019届二轮复习　解三角形学案（全国通用）

第2讲　解三角形 高考统计·定方向 热点题型 真题统计 题型1：利用正、余弦定理解三角形 ‎2018全国卷ⅠT17；2018全国卷ⅡT16；2018全国卷ⅢT9；2017全国卷ⅠT17；2017全国卷ⅡT17；2017全国卷ⅢT17；2016全国卷ⅠT17；2016全国卷ⅡT13‎ 题型2：与三角形有关的最值范围问题 ‎2015全国卷ⅠT16；2014全国卷ⅠT16‎ 题型3：与解三角形有关的交汇问题 ‎2016全国卷ⅢT8；2015全国卷ⅡT17‎ 命题规律 分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：‎ ‎1.解三角形是每年必考题，重点考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用.‎ ‎2.解三角形常与三角恒等变换、平面几何图形、向量等知识交汇命题.‎ ‎3.若以解答题形式出现主要是考查三角函数与解三角形的综合问题，一般位于第17题.‎ 题型1　利用正、余弦定理解三角形 ‎(对应学生用书第13页)‎ ‎■核心知识储备·‎ ‎1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．‎ ‎2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝，‎ a2＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)．‎ ‎3．三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A．4　　　　 B． C． D．2 ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎(3)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎①求C；‎ ‎②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎(1)A　(2)A　[(1)因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A．‎ ‎(2)由bsin B－asin A＝asin C及正弦定理可得b2－a2＝ac，即b2＝a2＋ac，‎ ‎∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝a2＋4a2－a2－a×2a＝3a2，‎ 故cos B＝＝＝，‎ 又∵0＜B＜π，∴sin B＝＝＝.故选A．]‎ ‎(3)[解]　①2cos C(acos B＋bcos A)＝c，由正弦定理得：‎ ‎2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即 ‎2cos C sin(A＋B)＝sin C，∵A＋B＋C＝π，‎ A，B，C∈(0，π)，∴sin(A＋B)＝sin C＞0，‎ ‎∴2cos C＝1，cos C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎②由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab·cos C，‎ ‎7＝a2＋b2－2ab·，(a＋b)2－3ab＝7，‎ S＝ab·sin C＝ab＝，∴ab＝6，‎ ‎∴(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5.‎ ‎∴△ABC周长为a＋b＋c＝5＋.‎ ‎[方法归纳]‎ ‎1．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，只是角的范围受到了限制．同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．‎ ‎2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac两项，二者的关系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac经常用到．‎ ‎3．对于含有a＋b，ab及a2＋b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解．‎ ‎4．三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角．‎ 注意：已知两边和其中一边的对角，利用余弦定理求第三边时，应注意检验，否则易产生增根．‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bcos B，则△ABC为(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　[由题得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ ‎∴sin 2A＝sin 2B，∴sin 2A＝sin 2B，‎ ‎∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，‎ ‎∴A＝B，或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 故选D．]‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC．‎ ‎[解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.‎ 由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.‎ 由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.‎ ‎(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ‎＝25＋8－2×5×2× ‎＝25.所以BC＝5.‎ 题型2　与三角形有关的最值(范围)问题 ‎(对应学生用书第14页)‎ ‎■核心知识储备·‎ ‎1．△ABC中的常见的不等关系 ‎(1)内角A，B，C 满足：A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π；‎ ‎(2)三边a，b，c满足：b－c＜a＜b＋c；‎ ‎(3)三角形中大边对大角等．‎ ‎2．函数y＝sin x(或y＝cos x)的有界性、单调性、在区间[a，b]上的值域的求法等．‎ ‎3．不等式：a2＋b2≥2ab，ab≤等．‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎►角度一　长度的最值(范围)问题 ‎【例2－1】　(2018·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　 )‎ A． B．2 C．3 D．4 D　[由正弦定理，得＝＝＝＝4，‎ 又∵A＋B＝，‎ ‎∴AC＋BC＝4sin B＋4sin A ‎＝4sin B＋4sin ‎＝4sin B＋4 ‎＝2cos B＋10sin B＝4sin.‎ 故当B＋φ＝时， AC＋BC的最大值为4.故选D．]‎ ‎【教师备选】‎ ‎(2018·安庆二模)在锐角△ABC中，A＝2B，则的取值范围是(　　 )‎ A．(－1,3)　　　　 B．(1,3)‎ C．(，) D．(1,2)‎ D　[＝＝＝＝3－4sin2B，‎ 因为△ABC是锐角三角形，‎ 所以 得＜B＜⇒sin2 B∈ .所以＝3－4sin2 B∈(1,2)．故选D．]‎ ‎►角度二　面积的最值(范围)问题 ‎【例2－2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B．‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)由题意及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.‎ 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .‎ 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.‎ ‎【教师备选】‎ 在△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，BD＝1，则△ABC面积的最大值为________．‎ 　[在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝－，‎ 则sin A＝， 所以△ABC的面积为S＝b2sin A＝b2·＝≤，‎ 所以△ABC的面积的最大值为.]‎ ‎[方法归纳]　与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略 与三角形有关的最值(范围)问题一般涉及三角形的角度、边长、面积、周长等的最大、最小问题.常见求解策略如下：‎ 策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角形函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解.‎ 策略二：借助正余弦定理，化角的正余弦函数为边，然后借助均值不等式对含有a2＋b2，a＋b，ab的等式求最值.‎ ‎■对点即时训练·‎ ‎1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)‎ A．(3,6] B．(3,5)‎ C．(5,6] D．[5,6]‎ C　[由(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C及正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝，又A∈，∴A＝，‎ ‎∵＝＝＝2，‎ ‎∴b2＋c2＝4(sin2 B＋sin2 C)＝4[sin2 B＋sin2(A＋B)]‎ ‎＝4 ‎＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，‎ ‎∴2B－∈，‎ ‎∴＜sin≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C．]‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足＝2，若B＝，AD＝3，则2a＋c的最大值为________．‎ ‎6　[在△ABC中，如图所示，由点D满足＝2，‎ ‎∴点D在BC的延长线上且||＝2||，‎ 由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2ac×cos ＝32，‎ ‎∴(2a＋c)2－9＝3×2ac.‎ ‎∵2ac≤，‎ ‎∴(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，‎ 即(2a＋c)2≤36，∴2a＋c≤6，‎ 当且仅当2a＝c，即a＝，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.]‎ 题型3　与解三角形有关的交汇问题 ‎(对应学生用书第15页)‎ ‎■核心知识储备·‎ 解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等．其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系．‎ ‎■高考考法示例·‎ ‎【例3】　(1)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若|－|＝3，·＝6，则△ABC面积的最大值为________．‎ ‎(2)如图215，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC．‎ 图215‎ ‎①求sin∠ABD的值；‎ ‎②若∠BCD＝，求CD的长．‎ ‎(1)　[因为|－|＝3，所以|AB|＝3，又因为·＝6，所以abcos C＝6，∴cos C＝ 由余弦定理得9＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－12≥2ab－12.∴ab≤.‎ 所以S＝absin C＝ab＝ab＝ ‎＝≤＝.故面积的最大值为.]‎ ‎(2)[解]　①∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝.∴由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝＝＝.‎ ‎②∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，‎ ‎∴sin∠DBC＝，∵＝，‎ ‎∴CD＝＝.‎ ‎【教师备选】‎ ‎(1)在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　 )‎ A．　　　　 B． C． D．3 ‎(2)(2018·湖北八校联考)如图216，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，∠ABC＝，∠ACD＝.‎ 图216‎ ‎①求sin∠BAC；‎ ‎②求DC的长．‎ ‎(1)B　[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ ‎∵·＝|－|＝3，‎ ‎∴bccos A＝a＝3.‎ 又cos A＝≥1－＝1－，‎ ‎∴cos A≥，∴0b，所以B角一定是锐角，所以B＝.再由＝，‎ sin C＝，C＝或C＝，当C＝，A＝，a＝2，当C＝，为等腰三角形，所以a＝1，选C．]‎ ‎5．(2018·甘肃诊断性考试)设△ABC的面积为S，若·＝1，tan A＝2，则S＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C． D． A　[若·＝1，即bccos A＝1，tan A＝2⇒cos A＝⇒bc＝，sin A＝.故S＝×bc×sin A＝1.]‎ ‎6．(2018·四平市高三质量检测)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)‎ A．5＋ B．12‎ C．10＋ D．5＋2 A　[在△ABC中，∠A＝60°，∵2sin B＝3sin C，故由正弦定理得2b＝3c，再由 S△ABC＝＝bc·sin A，得bc＝6，∴b＝3，c＝2.‎ 再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，所以a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A．]‎