高考物理一轮复习 运动的图像 追及和相遇问题

高考物理一轮复习 运动的图像 追及和相遇问题

第3讲　运动的图象　追及和相遇问题 匀变速直线运动的图象　Ⅱ(考纲要求)‎ ‎1．直线运动的s－t图象 ‎(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律．‎ ‎(2)图线上某点切线的斜率的意义 ‎①斜率大小：表示物体速度的大小．‎ ‎②斜率的正负：表示物体速度的方向．‎ ‎(3)两种特殊的s－t图象 图1－3－1‎ ‎①若s－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态．(如图1－3－1甲所示)‎ ‎②若s－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动．(如图1－3－1乙所示)‎ ‎2．直线运动的v－t图象 ‎(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律．‎ ‎(2)图线上某点切线的斜率的意义 ‎①斜率的大小：表示物体加速度的大小．‎ ‎②斜率的正负：表示物体加速度的方向．‎ ‎(3)两种特殊的v－t图象 ‎①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行 的直线．(如图1－3－2甲所示)‎ 图1－3－2‎ ‎②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．(如图1－3－2乙所示)‎ ‎(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义 ‎①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移．‎ ‎②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段 时间内的位移方向为负．‎ 温馨提示　(1)s－t图象、v－t图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是s、v与t一一对应．‎ ‎(2)s－t图象、v－t图象的形状由s与t、v与t的函数关系决定．‎ ‎(3)无论是s－t图象还是v－t图象，所描述的运动情况都是直线运动．‎ 运动学图象“五看”‎ ‎1．看“线” ‎2．看“斜率” ‎3．看“面积” ‎4．看“纵截距” ‎5．看“特殊点” ‎1.‎ 图1－3－3‎ 甲、乙两车从同一地点出发，向同一方向行驶，它们的s－t图象如图1－3－3所示，则由图可看出(　　)．‎ A．乙比甲先出发，甲比乙先到达距出发点s0处 B．甲比乙先出发，乙比甲先到达距出发点s0处 C．两车的平均速度相同 D．两车行驶时的速度不相同 解析　甲车在t＝0开始运动，乙比甲后出发，但先到达距出发点s0处，选项A错误、B正确；甲、乙两车行驶的位移相同，但甲所用时间长，两车的平均速度不相同，选项C错误；从题图可以看出，直线的斜率相同，即两车行驶时的速度相同，选项D错误．‎ 答案　B ‎2．如图1－3－4所示为表示三个物体运动位置和时间的函数关系图象，其异同点是(　　)．‎ 图1－3－4‎ A．运动速率相同，3 s内经过路程相同，起点位置相同 B．运动速率相同，3 s内经过路程相同，起点位置不同 C．运动速率不同，3 s内经过路程不同，起点位置相同 D．无共同点 解析　它们的运动速率都是1 m/s，起始位置分别是s1＝3 m，s2＝3 m，s3＝－3 m，都做匀速直线运动，3 s内经过的路程都是3 m，所以选项B正确．‎ 答案　B ‎3.某质点做直线运动的速度v和时间t的关系如图1－3－5所示，那么该质点在3 s内通过的位移大小是(　　)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 图1－3－5‎ A．4.5 m 　　　　B．3 m C．1 m 　　　　 D．0.5 m 解析　图线与坐标轴围成图形的“面积”即为位移大小．s＝1×1＋×1＋1×2m＝4.5 m.‎ 答案　A ‎4.‎ 图1－3－6‎ 如图1－3－6所示，做直线运动的物体在t1、t3两时刻对应的纵坐标如图1－3－6所示，下列说法正确的是(　　)．‎ A．t1、t3两时刻速度相同 B．t2时刻速度和加速度均为零 C．t1、t3两时刻加速度等值反向 D．若t2＝2t1则可以求出物体的初速度为8 m/s 解析　t1、t3时刻的速度大小相同，但方向相反，A项错误；t2时刻速度为零，但斜率不为零，说明加速度不为零，B项错误；t1、t3时刻图象斜率相同，加速度相同，C项错误；若t2＝2t1，由于v－t图线为直线，所以Δt1和Δt2时间内速度的变化量Δv1＝Δv2＝－4 m/s，可得v0＝8 m/s，选项D正确．‎ 答案　D ‎5．下列所给的质点位移图象和速度图象中能反映运动质点回到初始位置的是(　　)．‎ A．①② B．③④ C．①④ D．②③‎ 解析　在位移图象中，初、末位置的坐标相同表示质点能回到初始位置，故①正确、③错误；在速度图象中，正向位移和负向位移的大小相等表示质点能回到初始位置，故②错误、④正确．‎ 答案　C 考点一　对s－t图象的认识及应用 ‎1．根据s－t图象判断物体运动情况，或从图象中判断出位移、速度等物理量．‎ ‎2．根据物体实际运动情况，画出s－t图象．‎ ‎【典例1】 ‎ 如图1－3－7所示为甲、‎ 图1－3－7‎ 乙两物体相对于同一参考系的s－t图象，下面说法错误的是(　　)．‎ A．甲、乙两物体的出发点相距s0‎ B．甲、乙两物体都做匀速直线运动 C．甲物体比乙物体早出发的时间为t1‎ D．甲、乙两物体向同方向运动 解析　逐项分析如下：‎ 选项 诊　断 结论 A 由图可知，甲从距原点s0处出发，乙由原点出发，故两物体出发点相距s0‎ ‎√‎ B 两图线都是倾斜直线，即两物体都做匀速直线运动 ‎√‎ C 甲开始计时就出发，乙在计时后t1时刻才出发，故甲比乙早出发时间为t1‎ ‎√‎ D 甲、乙图线的斜率分别为负值和正值，表明甲向负方向运动，乙向正方向运动，甲、乙运动方向相反 ‎×‎ 故选D.‎ 答案　D ‎——从s－t图象上判断物体的运动情况 图1－3－8‎ ‎(1)若图象不过原点，则在纵轴上的截距表示运动物体的初位移s0；在横轴上的截距表示过一段时间t1′才开始运动．如图1－3－8所示．‎ ‎(2)两图线相交说明两物体在同一位置，如图1－3－8中的E′、F′两点．‎ ‎(3)图线的斜率表示物体的速度，斜率的正、负表示物体的运动方向．‎ ‎(4)图线是直线表示物体做匀速直线运动；图线是曲线表示物体做变速运动．‎ ‎【变式1】 ‎ a、b两个质点相对于同一原点 图1－3－9‎ 在同一直线上运动的s－t图象如图1－3－9所示，关于a、b的运动，下列说法正确的是(　　)．‎ A．a、b两个质点运动的出发点相距5 m B．质点a比质点b迟1 s开始运动 C．在0～3 s时间内，a、b的位移大小相等，方向相同 D．质点a运动的速率比质点b的速率大 解析　质点a从s0＝5 m处，t0＝0时出发，‎ 质点b从s0＝0处，t0＝1 s时出发，‎ 选项A正确、B错误；‎ ‎0～3 s内，Δsa＝(0－5) m＝－5 m.‎ Δsb＝5 m－0＝5 m，选项C错误；‎ 因为b的斜率大于a的斜率，‎ 所以b运动的速率大于a运动的速率，选项D错误．‎ 答案　A 考点二　对v－t图象的理解及应用 ‎1．根据v－t图象判断物体运动情况，并能从图中得出速度、加速度、位移等物理量．‎ ‎2．能从图中判断两物体相遇的时刻．‎ ‎【典例2】 ‎ 甲、乙两物体从同一点开始做直线运动，‎ 图1－3－10‎ 其v－t图象如图1－3－10所示，下列判断正确的是(　　)．‎ A．在t0时刻两物体速度大小相等，方向相反 B．在t0时刻两物体加速度大小相等，方向相同 C．在t0时刻之前，乙物体在甲物体前，并且两物体间距离越来越大 D．在t0时刻之后，甲物体在乙物体前，并且两物体间距离越来越大 解析　t0时刻两物体速度大小相等，方向相同，故A项错误；在v－t图象中斜率代表加速度，故选项B错误；v－t图象中图线与时间轴所围成的面积表示位移的大小，在t0时刻之前，乙的位移大于甲的位移，且二者面积差越来越大，选项C正确；在t0时刻之后，两物体之间的距离越来越小，当甲超过乙之后，二者距离又越来越大，故选项D错误．‎ 答案　B ‎——通过v－t图象认识速度、加速度的方法 ‎【变式2】 ‎ ‎(2012·山东新泰高三模拟，8)四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如图1－3－11所示，下列说法中正确的是(　　)．‎ 图1－3－11‎ A．四个质点在第1秒内的平均速度相同 B．在第2秒末，质点(3)回到出发点 C．在第2秒内，质点(1)、(3)、(4)做加速运动 D．在第2秒末，质点(2)、(3)偏离出发点位移不同 解析　质点(1)在第1秒内向负方向运动，而其他三个质点在第1秒内均向正方向运动，而平均速度是矢量，所以选项A错误．质点(3)在前2秒内一直向正方向运动，不可能回到出发点，选项B错误．第2秒内，质点(1)、(3)、(4)的速度大小都在增大，选项C正确．前2秒内质点(2)、(3)都向正方向运动，且第2秒末位移相同，所以选项D错误．‎ 答案　C 考点三　追及、相遇问题 ‎　分析“追及”“相遇”问题时应注意 ‎1．一定要抓住“一个条件，两个关系”：‎ ‎“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．‎ ‎“两个关系”是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．‎ ‎2．分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．‎ ‎【典例3】 ‎ 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：‎ ‎(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？‎ ‎(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？‎ 解析　‎ 法一　用临界条件求解．‎ ‎(1)当汽车的速度为v＝6 m/s时，二者相距最远，所用时间为t＝＝2 s 最远距离为Δs＝v0t－at2＝6 m.‎ ‎(2)两车距离最近时有v0t＝at2‎ 解得t＝4 s 汽车的速度为v＝at＝12 m/s.‎ 法二　用图象法求解．‎ ‎(1)汽车和自行车的v－t图象如图所示，由图象可得t＝2 s时，二者相距最远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δs＝×6×2 m＝6 m.‎ ‎(2)两车距离最近时，即两个v－t图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v＝12 m/s.‎ 法三　用数学方法求解．‎ ‎(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为 Δs＝v0t－at2‎ 因二次项系数小于零，‎ 当t＝＝2 s时有最大值，‎ 最大值Δsm＝v0t－at2＝6×2 m－×3×22 m＝6 m.‎ ‎(2)当Δs＝v0t－at2＝0时相遇 得t＝4 s，汽车的速度为v＝at＝12 m/s.‎ 答案　(1)2 s　6 m　(2)12 m/s ‎——分析追及、相遇问题的常用方法 ‎(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景．‎ ‎(2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．‎ ‎(3)极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰．‎ ‎(4)图象法：将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．‎ ‎　　　3.运动图象的理解及应用 阅卷教师揭秘 ‎(1)命题分析 运动图象的应用是高考的高频考点，主要考查运动规律和运动图象在实际生活中的应用，使学生通过运动图象获取信息，进而分析物体的实际运动情况．例如2009广东3题，2010天津3题，2011海南8题等．‎ ‎(2)主要题型：选择题 ‎(3)卷面错因 ‎①对运动图象的意义理解不深刻不透彻；‎ ‎②不能从图象中获取有关信息 ‎(4)识图方法 要深刻理解x－t图象和v－t图象中“点”“线”“面”“轴”“斜”“截”的物理意义，对于给定的图象，首先要明确图象反映的是哪两个物理量间的关系(纵轴和横轴的物理量)，然后根据物理原理(公式)推导出两个量间的函数关系式，结合图象明确图象斜率的意义、截距的意义或“面积”的意义，从而由图象给出的信息求出未知量．【典例】 (2010·广东理综，17改编)图1－3－12‎ 图1－3－12‎ 是某质点运动的速度图象，由图象得到的正确结果是(　　)．‎ A．0～1 s内的平均速度是2 m/s B．0～2 s内的位移大小是2 m C．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度 D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反 教你审题 确定图象是v－t图象0～1 s匀加速运动；1～2 s匀速运动；2～4 s匀减速运动求加速度a求位移自己试一试！‎ 解析　0～1 s的位移s1＝×2×1 m＝1 m，故0～1 s内平均速度1＝＝ m/s＝1 m/s，A项错；0～2 s内位移为0～1 s内的位移与1～2 s内位移之和，1～2 s内位移s2＝2×1 m＝2 m．故0～2 s内位移为s1＋s2＝3 m，B项错误；0～1 s内加速度a1＝＝ m/s2＝2 m/s2,2～4 s内的加速度a2＝＝ m/s2＝－1 m/s2，故a1>a2，C项正确；0～1 s内和2～4 s内的速度方向均为正向，故D项错误．‎ 答案　C 一、对v－t图象的理解及应用(高频考查)‎ ‎1.‎ 图1－3－13‎ ‎(2009·广东单科，3改编)某物体运动的速度图象如图1－3－13所示，根据图象可知(　　)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0～2 s内的加速度为1 m/s2‎ B．0～5 s内的位移为10 m C．第1 s末与第3 s末的速度方向相反 D．第1 s末与第5 s末加速度方向相同 解析　0～2 s内的加速度等于直线的斜率，即a＝＝1 m/s2，选项A正确；0～5 s内的位移等于图象与坐标轴所围图象的面积，即s＝ m＝7 m，选项B错误；第1 s末与第3 s末的速度都是正值，即方向相同，选项C错误；第1 s末与第5 s末的加速度分别是正值、负值，即方向相反，选项D错误．‎ 答案　A ‎2．(2010·天津理综，3)质点做直线运动的v－t图象如图1－3－14所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为(　　)．‎ 图1－3－14‎ A．0.25 m/s　向右 B．0.25 m/s　向左 C．1 m/s　向右 D．1 m/s　向左 解析　由图象面积计算0～3 s内质点的位移大小为s1＝2×3× m＝3 m，方向向右，3～8 s内位移大小为s2＝2×5× m＝5 m，方向向左，所以前8 s总位移s＝s1－s2＝－2 m.＝＝ m/s＝－0.25 m/s，即大小为0.25 m/s，方向向左．B正确．‎ 答案　B ‎3.‎ 图1－3－15‎ ‎(2009·广东理科基础，3)图1－3－15是甲、乙两物体做直线运动的v－t图象．下列表述正确的是(　　)．‎ A．乙做匀加速直线运动 B．0～1 s内甲和乙的位移相等 C．甲和乙的加速度方向相同 D．甲的加速度比乙的小 解析　由题图知甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动甲图线的斜率比乙图线的斜率大，而其斜率值即为加速值，则甲的加速度比乙的大，且二者方向相反；又由题图知0～‎ ‎1 s内甲的位移比乙的大．故A正确，B、C、D错误．‎ 答案　A ‎4．(2011·海南卷，8改编)一物体自t＝0时开始做直线运动，其速度图线如图1－3－16所示．下列选项正确的是(　　)．‎ 图1－3－16‎ A．在0～6 s内，物体离出发点最远为30 m B．在0～6 s内，物体经过的路程为35 m C．在0～4 s内，物体的平均速率为7.5 m/s D．在5～6 s内，物体所受的合外力做负功 解析　根据v－t图象的“面积”表示位移和v－t图象的意义知，物体在第5 s时离出发点最远，最远距离为sm＝×‎ ‎(5＋2)×10 m＝35 m；0～6 s内的路程为s＝sm＋×1×10 m＝40 m；0～4 s内的路程(等于位移)s＝×(4＋2)×10 m＝30 m，故平均速率为＝＝ m/s＝7.5 m/s；在5～6 s内，物体的速度增加，根据动能定理，合外力做正功．综上所述C正确，A、B、D错误．‎ 答案　C 二、追及、相遇问题(低频考查)‎ ‎5．(四川理综)A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？‎ 解析　设A车的速度大小为vA，B车加速行驶的时间为t，两车在t0时相遇．则有 sA＝vAt0①‎ sB＝vBt＋at2＋(vB＋at)(t0－t)，②‎ 式中，t0＝12 s，sA、sB分别为A、B两车相遇前行驶的路程．依题意有sA＝sB＋s，③‎ 式中s＝84 m.‎ 由①②③式得t2－2t0t＋＝0，‎ 代入题给数据vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2，‎ 有t2－24t＋108＝0，式中t的单位为s.‎ 解得t1＝6 s，t2＝18 s．t2＝18 s不合题意，舍去．‎ 因此，B车加速行驶的时间为6 s.‎ 答案　6 s