【数学】2018届一轮复习人教A版4-3三角函数的图象与性质　学案

【数学】2018届一轮复习人教A版4-3三角函数的图象与性质　学案

‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．‎ 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．‎ ‎2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}‎ 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；‎ 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；‎ 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；‎ 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；‎ 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ，0)(k∈Z)‎ ‎(＋kπ，0) (k∈Z)‎ ‎(，0)(k∈Z)‎ 对称轴方程 x＝＋kπ(k∈Z)‎ x＝kπ(k∈Z)‎ 周期 ‎2π ‎2π π ‎【知识拓展】‎ ‎1．对称与周期 ‎(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．‎ ‎(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．‎ ‎2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 ‎(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　×　)‎ ‎(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　√　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)‎ ‎(5)y＝sin |x|是偶函数．(　√　)‎ ‎(6)若sin x>，则x>.(　×　)‎ ‎1．函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是(　　)‎ A. B．π C．2π D．4π 答案　B 解析　最小正周期为T＝＝＝π.故选B.‎ ‎2．(教材改编)函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为(　　)‎ A．[－，] B．[－，3]‎ C．[－，] D．[－，3]‎ 答案　B 解析　当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，‎ sin(2x－)∈[－，1]，‎ 故3sin(2x－)∈[－，3]，‎ 即f(x)的值域为[－，3]．‎ ‎3．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，‎ ‎∴y＝tan 2x的定义域为.‎ ‎4．(2016·开封模拟)已知函数f(x)＝4sin(－2x)，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递减区间是(　　)‎ A．[－π，－]‎ B．[－π，－]‎ C．[－π，－π]，[－，0]‎ D．[－π，－π]，[－，0]‎ 答案　C 解析　f(x)＝4sin(－2x)＝－4sin(2x－)．‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得 ‎－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．‎ 所以函数f(x)的递减区间是[－＋kπ，π＋kπ](k∈Z)．‎ 因为x∈[－π，0]，‎ 所以函数f(x)的递减区间是[－π，－π]，[－，0]．‎ ‎5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．‎ 答案　2或－2‎ 解析　∵f＝f，‎ ‎∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．‎ ‎∴f＝±2.‎ 题型一　三角函数的定义域和值域 例1　(1)函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是____________．‎ ‎(2)(2017·郑州月考)已知函数f(x)＝sin(x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1){x|x≠＋，k∈Z}　(2)[，π]‎ 解析　(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，‎ 所以f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．‎ ‎(2)∵x∈[－，a]，∴x＋∈[－，a＋]，‎ ‎∵x＋∈[－，]时，f(x)的值域为[－，1]，‎ ‎∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.‎ 思维升华　(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求；‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；‎ ‎③通过换元，转换成二次函数求值域．‎ ‎　(1)函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为　.‎ ‎(2)函数y＝2sin(－) (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________．‎ 答案　(1) ‎(2)2－ 解析　(1)要使函数有意义必须有 即解得 ‎∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴函数的定义域为.‎ ‎(2)∵0≤x≤9，∴－≤－≤，‎ ‎∴－≤sin(－)≤1，‎ 故－≤2sin(－)≤2.‎ 即函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.‎ ‎∴最大值与最小值的和为2－.‎ 题型二　三角函数的单调性 例2　(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ ‎(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ 答案　(1)B　(2) 解析　(1)由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，‎ 得－＜x＜＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.‎ ‎(2)由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，‎ 又y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，‎ 所以 k∈Z，‎ 解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.‎ 又由4k＋－(2k＋)≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，]．‎ 引申探究 本例(2)中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________．‎ 答案　[，]‎ 解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，‎ 则 k∈Z，‎ 解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，‎ 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，‎ 得k＝1，所以ω∈.‎ 思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ ‎　(1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．‎ ‎(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω等于(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 答案　(1)，k∈Z　(2)B 解析　(1)已知函数可化为f(x)＝－sin，‎ 欲求函数的单调减区间，只需求f(x)＝sin的单调增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所给函数的单调减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，‎ ‎∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，‎ y＝sin ωx是增函数；‎ 当≤ωx≤，即≤x≤时，‎ y＝sin ωx是减函数．‎ 由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，‎ 在上单调递减，知＝，‎ ‎∴ω＝.‎ 题型三　三角函数的周期性、对称性 命题点1　周期性 例3　(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②④ D．①③‎ ‎(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋)的最小正周期T满足10)的最小正周期为π，则f()等于(　　)‎ A．1 B. C．－1 D．－ 答案　A 解析　∵T＝π，∴ω＝2，‎ ‎∴f()＝sin(2×＋)＝sin ＝1.‎ ‎2．若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为(　　)‎ A．(－，0) B．(0，)‎ C．(，) D．(，π)‎ 答案　B 解析　由f(x)＝－cos 2x知递增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z，故只有B项满足．‎ ‎3．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)‎ A．是奇函数 B．在区间(0，)上单调递减 C．(，0)为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 答案　C 解析　函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错误；在区间(0，)上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误．‎ ‎∵当x＝时，tan(2×－)＝0，‎ ‎∴(，0)为其图象的一个对称中心，故选C.‎ ‎4．(2016·潍坊模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1 (x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝k＋，∴ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.‎ ‎5．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)‎ A．[－，] B．[，]‎ C．[－，] D．[，]‎ 答案　C 解析　由f()＝－2，得 f()＝－2sin(2×＋φ)＝－2sin(＋φ)＝－2，‎ 所以sin(＋φ)＝1.‎ 因为|φ|<π，所以φ＝.‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，－≤x≤，故选C.‎ ‎6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f()等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　C 解析　由题意得函数f(x)的周期T＝2(－)＝π，所以ω＝2，此时f(x)＝sin(2x＋φ)，将点(，1)代入上式得sin(＋φ)＝1 (|φ|<)，所以φ＝，‎ 所以f(x)＝sin(2x＋)，‎ 于是f()＝sin(＋)＝cos ＝.‎ ‎7．函数y＝的定义域为______________．‎ 答案　[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z 解析　由2sin x－1≥0，得sin x≥，‎ ‎∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.‎ ‎8．函数y＝cos2x＋sin x(|x|≤)的最小值为___________________．‎ 答案　 解析　令t＝sin x，∵|x|≤，‎ ‎∴t∈.‎ ‎∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，‎ ‎∴当t＝－时，ymin＝.‎ ‎9．函数y＝cos(－2x)的单调减区间为______________．‎ 答案　[kπ＋，kπ＋](k∈Z)‎ 解析　由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)，‎ 得2kπ≤2x－≤2kπ＋π (k∈Z)，‎ 解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，‎ 所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎10．(2016·威海模拟)若f(x)＝2sin ωx＋1 (ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是__________．‎ 答案　(0，]‎ 解析　方法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得f(x)的增区间是[－，＋]，k∈Z.‎ 因为f(x)在[－，]上是增函数，‎ 所以[－，]⊆[－，]．‎ 所以－≥－且≤，所以ω∈(0，]．‎ 方法二　因为x∈[－，]，ω>0.‎ 所以ωx∈[－，]，‎ 又f(x)在区间[－，]上是增函数，‎ 所以[－，]⊆[－，]，‎ 则又ω>0，得0<ω≤.‎ ‎11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<φ<)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；‎ ‎(2)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)∵f(x)的最小正周期为π，‎ 则T＝＝π，‎ ‎∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，‎ 将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，‎ 由已知上式对∀x∈R都成立，‎ ‎∴cos φ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.‎ ‎(2)f(x)的图象过点(，)时，‎ sin(2×＋φ)＝，即sin(＋φ)＝.‎ 又∵0<φ<，∴<＋φ<π，‎ ‎∴＋φ＝，φ＝，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋)．‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.‎ ‎12．(2015·北京)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－＝2sin－，‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．‎ 所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.‎ ‎*13.已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴－2asin∈[－2a，a]，‎ ‎∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ ‎∴4sin－1>1，∴sin>，‎ ‎∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，‎ g(x)单调递增，即kπ

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