专题复习中考数学归纳与猜想含答案

专题复习中考数学归纳与猜想含答案

专题复习 归纳与猜想 归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。‎ 一、知识网络图 猜想性问题 猜想规律型 猜想结论型 猜想数式规律 猜想图形规律 猜想数值结果 猜想数量关系 猜想变化情况 二、基础知识整理 猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。‎ 相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。‎ ★ 范例精讲【归纳与猜想】‎ 例1观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：‎ ‎①1×＝1－ ‎②2×＝2－ ‎③3×＝3－ ‎④4×＝4－ ‎……‎ ‎⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：‎ ‎⑵猜想并写出与第n个图形相对应的等式。‎ 解：⑴5×＝5－ ‎⑵。‎ 例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：‎ 所剪次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ 正方形个数 ‎4‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎…‎ ‎⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？‎ ‎⑵如果剪n次共有An个正方形，试用含n、An的等式表示这个规律；‎ ‎⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？‎ ‎⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？‎ ‎⑸若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an；‎ ‎⑹试猜想a1＋a2＋a3＋…＋an与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．‎ 解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；‎ ‎1‎ a1‎ a2‎ a3‎ ‎⑵An＝3n＋1；‎ ‎⑶若An＝22，则3n＋1＝22，∴n＝7，故需剪7次；‎ ‎⑷若An＝2004，则3n＋1＝2004，此方程无自然数解，‎ ‎∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；‎ ‎⑸an＝；‎ ‎⑹a1＝＜1，a1＋a2＝＋＝＜1，a1＋a2＋a3＝＋＋＝＜1，……从而猜想到：‎ a1＋a2＋a3＋…＋an＜1.直观的几何意义如图所示。‎ 例3下图中，图⑴是一个扇形AOB，将其作如下划分：‎ 第一次划分：如图⑵所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1；‎ 第二次划分：如图⑶所示，在扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.‎ 图⑷第三次划分 图⑴‎ A B O 图⑵第一次划分 A B O A1‎ C B1‎ C1‎ 图⑶第二次划分 A B O A1‎ C B1‎ C1‎ ‎⑴根据题意，完成下表：‎ 划分次数 扇形总个数 ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎11‎ ‎3‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎21‎ ‎…‎ ‎…‎ n ‎5n＋1‎ ‎⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？‎ 解：由5n＋1＝2005，得n＝，∵n不是整数，∴不可能。‎ 优化训练 1． 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：‎ A6‎ ‎…‎ A5‎ ‎1‎ ‎1‎ A4‎ ‎1‎ A3‎ A2‎ ‎1‎ A1‎ ‎1‎ O S1‎ S2‎ S3‎ S4‎ S5‎ ‎（）2＋1＝2 S1＝ ‎（）2＋1＝3 S2＝ ‎（）2＋1＝4 S3＝ ‎⑴请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；‎ ‎⑵推算出OA10的长；‎ ‎⑶求出S12＋S22＋S32＋…＋S102的值．‎ 解：⑴（）2＋1＝n＋1，Sn＝；‎ ‎⑵∵OA1＝，OA2＝，OA3＝，…，∴OA10＝；‎ ‎⑶S12＋S22＋S32＋…＋S102＝（1＋2＋3＋…＋10）＝．‎ 1． 观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中的小黑点的个数为y.‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ 图5‎ 解答下列问题：‎ ‎⑴填表：‎ n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎…‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎…‎ ‎⑵当n＝8时，y＝ 57 ；‎ ‎⑶你能猜想y与n之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；‎ ‎⑷下边给出一种研究方法。请你根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。‎ 解：⑴观察y这一行，后面的数比前一个数依次增大2，4，6，…，2（n－1），‎ 所以当n＝5时，y＝13＋2（5－1）＝21；‎ ‎⑵由⑴知，当n＝8时，y＝21＋10＋12＋14＝57；‎ ‎⑶略；‎ ‎⑷根据点的排列情况，在一条曲线上，猜想是抛物线，图象略。‎ 设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由（1，1）、（2，3）、（3，7）三点可得，‎ ，解得，故所求的函数关系式为y＝x2－x＋1.‎ 反思：问题通过从“特殊”到“一般”的归纳过程来探究规律结果，先在坐标系中描出各点的位置，再依据点的位置特征判断变量之间可能的关系，最后根据猜想求解，这正是“课标”倡导的思想。‎ 2． 一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．若a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根．‎ 解：先从较小的数字探索：‎ a1＝12＋12×22＋22＝32＝（1×2＋1）2，a2＝22＋22×32＋32＝72＝（2×3＋1）2，‎ a3＝32＋32×42＋42＝132＝（3×4＋1）2，a4＝42＋42×52＋52＝212＝（4×5＋1）2，…‎ 于是猜想：a＝20022＋20022×20032＋20032＝（2002×2003＋1）2＝（4010007）2，‎ 证明采用配方法（略）．‎ 推广到一般，若n是正整数，则 a＝n2＋n2（n＋1）2＋（n＋1）2是一个完全平方数［n（n＋1）＋1］2．‎ 解题策略：猜想是数学中重要的思想和方法之一。较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题”。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一部分？这就是数学家解题时的“绝招”。‎ 1． 下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 图④‎ 仔细观察图形可知：‎ 图①有1块黑色的瓷砖，可表示为 图②有3块黑色的瓷砖，可表示为 图③有6块黑色的瓷砖，可表示为 实践与探索：⑴请在图④的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图）‎ ‎⑵第10个图形有 块黑色的瓷砖；（直接填写结果）‎ ‎⑶第n个图形有 块黑色的瓷砖．（用含n的代数式表示）‎ 解：⑴如右图；⑵55，n（n＋1）（n为正整数）；‎ 2． ‎【归纳猜想】观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中非阴影部分的面积为，第3个图形中非阴影部分的面积为，第4个图形中非阴影部分的面积为，……探究：第n个图形中非阴影部分的面积为多少（用字母n表示）？‎ ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ 解：当n＝1时，S＝1；当n＝2时，S＝＝（）2－1；‎ 当n＝3时，S＝＝（）3－1；当n＝4时，S＝＝（）4－1；‎ 所以，第n个图形中非阴影部分的面积为（）n－1；‎ 点拨：认真分析n、S与三者之间存在的内在关系探求其规律。‎ 1． 随着信息技术的高速发展，电话进入了千家万户，据调查某校初三⑴班的同学家都装上了电话，暑假期间全班每两个同学都通过一次电话，如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？‎ 为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示：‎ ‎⑴若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；‎ ‎⑵根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上？如果在，求出该函数的解析式；‎ ‎⑶根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话．‎ 解：⑴略；‎ ‎⑵根据图中各点的排列规律，猜想各点可能在一个二次函数的图象上，用待定系数法可求得 s＝n2－n；‎ ‎⑶当n＝56时，s＝1540；‎ 图1‎ 图2‎ 2． 在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图1所示的几何图形。‎ ‎⑴请你利用这个几何图形，‎ 求的值为 ；‎ ‎⑵请你利用图2，再设计一个能求的值的几何图形。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）如图1或如图2或如图3或如图4等，图形正确。‎ 1． 如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形．操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去．‎ ‎⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图；‎ ‎⑵设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S填入下表：‎ 分割次数n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ 最小直角三角形的面积S a2‎ ‎…‎ ‎⑶在条件⑵下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来．‎ 解：⑴现提供如下三种分割方案：‎ ‎⑵每次分割后得到的最小直角三角形的面积都是上一次最小直角三角形面积的，所以当n＝2时，S2＝×a2＝a2；当n＝3时，S3＝S2＝a2；‎ ‎⑶当分割次数为n时，Sn＝a2（n≥1，且n为正整数）．‎ 2． 下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的．‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎……‎ ‎⑴观察图形，填写下表：‎ 图形 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 正方形的个数 ‎8‎ ‎13‎ ‎18‎ 图形的周长 ‎18‎ ‎28‎ ‎38‎ ‎⑵推测第n个图形中，正方形的个数为 5n＋3 ，周长为 10n＋8 （都用含n的代数式表示）；‎ ‎⑶这些图形中，任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系式为 y＝2x＋2 ．‎ 1． 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形。‎ 探究：一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）……依次规则操作下去。n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.‎ ‎⑴若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜Sn＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）‎ ‎⑵当n＞1时，请写出一个反映Sn－1，Sn，Sn＋1之间关系的等式（不必证明）。‎ 解：⑴△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为，∴Sn＝‎ 当n＝5时，S5＝≈9.77；‎ 当n＝6时，S6＝≈2.44；‎ 当n＝7时，S7＝≈0.61；‎ ‎∴当n＝6时，2＜S6＜3；‎ ‎⑵S＝S×S；（写出S＝4S，S＝4S可得2分）‎ 1． 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。‎ ‎⑴观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算（9－1）、（9＋1）与（25－1）、（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；‎ ‎⑵根据⑴的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；‎ ‎⑶继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过。运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦。‎ ‎【考生注意】：除第⑵小题中已发现的相等关系之外，你还有其他新的发现，并能正确证明，将酌情另加1～3分。‎ 分析：本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比、猜想、验证和证明。‎ 解：⑴∵（9－1）＝4，（9＋1）＝5；（25－1）＝12，（25＋1）＝13；‎ ‎∴7，24，25的股的算式为：（49－1）＝（72－1）‎ 弦的算式为：（49＋1）＝（72＋1）；‎ ‎⑵当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2－1），（n2＋1）。‎ 例如关系式①：弦－股＝1；关系式②：勾2＋股2＝弦2；‎ 证明关系式①：弦－股＝（n2＋1）－（n2－1）＝［（n2＋1）－（n2－1）］＝1；‎ 或证明关系式②：勾2＋股2＝n2＋［（n2－1）］2＝n4＋n2＋＝（n2＋1）2＝弦2；‎ ‎∴猜想得证。‎ ‎⑶例如探索得，当m为偶数且m＞4时，‎ 股、弦的代数式分别为：（）2－1，（）2＋1。‎ ‎【另加分问题】‎ 例如：连结两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股。‎ 即上一组为：n，（n2－1），（n2＋1）（n为奇数且n≥3），分别记为：A1、B1、C1，‎ 下一组为：n＋2，［（n＋2）2－1］，［（n＋2）2＋1］（n为奇数且n≥3），分别记为：A2、B2、C2，则：‎ A1＋B1＋A2＝n＋（n2－1）＋（n＋2）＝（n2＋4n＋3）＝［（n＋2）2－1］＝B2.‎ 或B1＋C2＝B2＋C1等等（证略）。‎ 评阅注意：①本题⑵、⑶和另加分的解答，仅仅是提供一种参考案例。②考生只要有一个新的再发现，并能正确证明，均属另加分范围。由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和证明必然是多样化、多层次的，应尊重各层次考生经独立思考后的想法，保护考生的创新意识。‎