高考文科数学福建卷含详细答案

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‎---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------‎ 绝密★启用前 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)‎ 数学(文史类)‎ 姓名________________ 准考证号_____________‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 （　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2. 设点,则“且”是“点在直线上”的 （　　）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎3. 若集合,,则的子集个数为 （　　）‎ A. 2 B. 3‎ C. 4 D. 16 ‎ ‎4. 双曲线的顶点到其渐进线的距离等于 （　　）‎ A. B. ‎ C. 1 D. ‎ ‎5. 函数的图象大致是 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 若变量,满足约束条件则的最大值和最小值分别为 （　　）‎ A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0‎ ‎7. 若,则的取值范围是 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.如果输入某个正整数后,输出的,那么的值为 （　　）‎ A. 3 B. 4‎ C. 5 D. 6 ‎ ‎9. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若,的图象都经过点,则的值可以是 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10. 在四边形中,,,则该四边形的面积为 （　　）‎ A. B. ‎ C. 5 D. 10‎ ‎11. 已知与之间的几组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 设函数的定义域为,是的极大值点,以下结论一定正确的是 （　　）‎ A. , B. 是的极小值点 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13. 已知函数则________.‎ ‎14. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为________.‎ ‎15. 椭圆的左、右焦点分别为,,焦距为.若直线与椭圆的一个交点M满足,则该椭圆的离心率等于_________.‎ ‎16. 设,是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足：‎ ‎（ⅰ）；（ⅱ）对任意,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合：‎ ‎①,；‎ ‎②,；‎ ‎③,.‎ 其中,“保序同构”的集合对的序号是_________.（写出所有“保序同构”的集合对的序号）‎ 三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差,前项和为.‎ ‎（Ⅰ）若1,,成等比数列,求；‎ ‎（Ⅱ）若,求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图,在四棱锥中,平面,,,,,,.‎ ‎（Ⅰ）当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图（要求标出尺寸,并写出演算过程）；‎ ‎（Ⅱ）若M为的中点,求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分为5组：,,,,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：‎ ‎（注：此公式也可以写成）‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图,抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线交于不同的两点M,N.‎ ‎（Ⅰ）若点C的纵坐标为2,求；‎ ‎（Ⅱ）若,求圆C的半径.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图,在等腰直角中,,,点M在线段上.‎ ‎（Ⅰ）若,求的长；‎ ‎（Ⅱ）若点N在线段上,且,问：当取何值时,的面积最小？并求出面积的最小值.‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 已知函数（,为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅲ）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学(文史类)答案解析 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.【答案】C ‎【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定．因为点代入直线方程，符合方程，即“且”可推出“点在直线上”；而点在直线上，不一定就是点，即“点在直线上”推不出“且”．故“且”是“点在直线上”的充分而不必要条件．‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】本题考查的是集合的交集和子集．因为，有2个元素，所以子集个数为个．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为，取一条渐近线为，所以点到直线的距离为．‎ ‎5.【答案】A ‎【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知，即函数为偶函数，排除C；由函数过点，排除B，D．‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2.‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】本题考查的是均值不等式．因为，即，所以，当且仅当，即时取等号．‎ ‎8.【答案】B ‎【解析】本题考查的是程序框图．循环前：；第1次判断后循环：；第2次判断后循环：；第3次判断后循环：．故．‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把代入，解得，所以，把代入得，或，观察选项，故选B ‎10.【答案】C ‎【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长．因为，所以，所以四边形的面积为，故选C ‎11.【答案】C ‎【解析】本题考查的是线性回归方程．画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断．故选C ‎12.【答案】D ‎【解析】本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A错误；因为和关于原点对称，故是的极小值点，D正确．‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ ‎【解析】本题考查的是分段函数求值．．‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】本题考查的是几何概型求概率．，即，所以．‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，中，‎ ‎，所以有，整理得，故答案为．‎ ‎16.【答案】①②③‎ ‎【解析】本题考查的函数的性质．由题意可知为函数的一个定义域，为其所对应的值域，且函数为单调递增函数．对于集合对①，可取函数，是“保序同构”；对于集合对②，可取函数，是“保序同构”；对于集合对③，可取函数，是“保序同构”．故答案为①②③．‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得或．‎ ‎（2）因为数列的公差，且，所以；‎ 即，解得 ‎18.【答案】（1）在梯形中，过点作，垂足为，由已知得，四边形为矩形，‎ 在中，由，，依勾股定理得：，‎ 从而又由平面得，‎ 从而在中，由，，得 正视图如图所示：‎ ‎（2）取中点，连结，在中，是中点，∴，，‎ 又，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴‎ 又平面，平面∴平面 ‎（3）又，，所以 ‎19.【答案】（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名 所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），‎ 记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，‎ 从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，‎ 他们是：，，，，，，，，，‎ 其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，‎ 它们是：，，，，，，．‎ 故所求的概率：‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 周岁以上组 周岁以下组 合计 所以得：‎ 因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”‎ ‎20.【答案】（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，由点的纵坐标为，得点的坐标为 所以点到准线的距离，又．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）设，则圆的方程为，即．‎ 由，得 设，，则：‎ 由，得 所以，解得，此时 所以圆心的坐标为或 从而，，即圆的半径为 ‎21.【答案】（Ⅰ）在中，，，，由余弦定理得，‎ ‎，得，解得或．‎ ‎（Ⅱ）设，，在中，由正弦定理，得，所以，同理 故 因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．‎ ‎22.【答案】（1）由，得．‎ 又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得．‎ ‎（2），①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．‎ ‎②当时，令，得，．‎ ‎，；，．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．‎ 综上，当时，函数无极小值；‎ 当，在处取得极小值，无极大值．‎ ‎（3）当时，令，‎ 则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解．‎ 假设，此时，，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．‎ 又时，，知方程在上没有实数解．‎ 所以的最大值为．‎