2018届二轮复习基本不等式学案(江苏专用)

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2018届二轮复习基本不等式学案(江苏专用)

‎【热身训练】‎ ‎1.已知实数x,y满足xy=1,且x>2y>0,则的最小值为________.‎ 解析:==x-2y+≥4,当且仅当x-2y=2时,等号成立.‎ ‎2. 已知a>0,b>0,且+=1,则a+2b的最小值是________.‎ 解析:令2a+b=x,b+1=y,有+=1,x>0,y>0,所以 a+2b=-=(x+3y)-=-≥(4+2)-=+,当且仅当x=y时,取等号.‎ ‎3. 已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为________.‎ ‎4. 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2 +b2+c2=1,则a的最大值为________.‎ 解析:由题意知,利用不等式(x+y)2≤2(x2+y2)得到a2≤2(1-a2),解得a2≤,那么实数a的最大值为.‎ ‎【热点追踪】‎ 基本不等式是高中数学的一个重要知识点,在全国各地的高考考纲中都属于C级(熟练掌握)要求,高考经常考查利用基本不等式求变量或者代数式的最值,具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.试题既能考查基本不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,还能考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养.‎ ‎(一)用基本不等式求代数式最值问题 例1. (2017·苏锡常镇二模)已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,求-+b2-的最小值.‎ 解析:-+b2-=-1,下面只要求a2+4b2的最小值即可:因为a+2b=ab≥2,所以ab≥8,当且仅当a=2b=4时取等;又a2+4b2≥2(a·2b)≥32,当且仅当a=2b=4时取等,则-1≥7.[ : ]‎ 另解1 -+b2-=-1=-1=-1=-1;因为a+2b=ab≥2,得ab≥8,当且仅当a=2b=4时取等,所以-1≥7.‎ 另解2 又ab-a-2b=0,有a=.‎ 那么a2+4b2=4b2+=4=4=4≥4(22+2·2)=32.‎ 说明 也可用c2++2≥2+2·2=6.‎ 另解3 因为ab-a-2b=0,有+=1,则a2+4b2=(a2+4b2)2≥4ab·=32.‎ 另解4 因为ab-a-2b=0,则+=1;‎ 则a2+4b2=(a2+4b2)=++++8≥32.‎ 另解5 因为ab-a-2b=0,令a=m+n,b=m-n,有m2-n2=4m,n2=m2-4m≥0得m≥4.‎ 则a2+4b2=2(m2+n2)=2(2m2-4m)=4(m-1)2-4≥4(4-1)2-4=32.‎ 另解7 因为ab-a-2b=0,则+=1,设a=,b=;‎ 那么a2+4b2=+ ‎=4 ‎=4 ‎=4≥32.‎ 说明 也可利用幂平均不等式得到如下结果:‎ +=4≥4=32.学 ‎ 变式1 若x>0,y>0,且x2+y2=1,则+的最小值是________.‎ 解析:+=+≥2=≥=2.‎ 变式2 (2017·苏北四市高三期中)已知正数a,b满足+=-5,求ab的最小值. ‎ ‎(二)与三角函数有关的最值问题 例2. (2017·江苏四校联考)在△ABC中,若+=3,则sin A的最大值为________.‎ 解析:由题意tan A=3,则 ‎===3,‎ 即a2=3bccos A=,有b2+c2=a2.‎ 又cos A==≥,‎ 那么有sin2 A≤,得sin A的最大值为.‎ 另解1 由题意tan A=3,则 = ‎==3,即a2=3bccos A=,有b2+c2=a2.又cos A==≥,那么有sin2 A≤,得sin A的最大值为.学 ‎ 另解2 由题意tan A·=3,tan A=-.令x=tan Btan C,y=tan B+tan C,则=-,即y2=3x(x-1).又由不等式可知y2≥4x,得x≤0或x≥‎ eq f(7,3).那么,tan A=,即tan2 A==≤.又cos2 A=≥,那么有sin2 A≤,得sin A的最大值为.‎ 另解3 由题意+=,tan C=-,‎ 消去tan C后有tan2 B(tan2 A-3)-3tan Atan B+tan2A=0,‎ 由判别式Δ=9tan2 A-4tan2 A (tan2 A-3)≥0得tan2 A≤,‎ 又cos2 A=≥,那么有sin2 A≤,得sin A的最大值为.‎ 变式1 在△ABC中,∠C=90°,点M满足B=3M,求sin∠BAM的最大值.‎ 解析:令MB=3k,MC=k,AC=h,那么AM=,AB=,那么cos∠BAM= ‎==,其中t=,‎ 又==≥,那么sin∠BAM≤.‎ 变式2 在△ABC中,tan2+tan2+tan2的最小值为________.‎ ‎(三)三角形中的最值问题 例3. 在Rt△ABC中,已知它的周长为10,求该三角形面积的最大值.‎ 解析:设C=90°,a,b,c分别为角A,B,C的对应边,则c(1+sin A+cos A)=10.‎ 有S=ab=c2sin Acos A=;‎ 令t=1+sin A+cos A,其中t∈(2,1+ ].‎ 则有S==25≤25(3-2),‎ 当t=1+,即A=45°时,取最大值.‎ 另解 设C=90°,a,b,c分别为角A,B,C的对应边,‎ 那么a+b+c=a+b+=10;‎ 又当且仅当a=b时,等号成立.‎ 故10≥2+,解得ab≤50(3-2),‎ 当且仅当a=b=5(2-)时,等号成立;则S≤25(3-2).学 …… ‎ 变式1 等腰三角形ABC的腰BC上的中线长为2,则三角形ABC的周长的最大值为________.‎ 解析:设AC=BC=2x,AB=y,由中线公式可知:2(4x2+y2)=4x2+42,则8x2+2y2=4x2 +16,化简得y2=8-2x2.令x=2cos θ,y=2sin θ,则周长C=4x+y=8cos θ+2sin θ=6=6sin (θ+φ)≤6.当且仅当sin θ=cos φ=,cos θ=sin φ=,即x=,y=时,等号成立.‎ 变式2 设a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使得≥k成立的最大k值.‎ 解析:设a=c cos θ,b=csin θ,则=,记为f (θ);‎ 则有f (θ)=,令t=sin θ+cos θ∈(1,),即sin θ+cos θ=;‎ 那么f (t)====-t.‎ 观察易知函数y=f (t)为(1, ]上的减函数,那么f (t)≥f ()=+2.‎ ‎ ‎ ‎【乘热打铁】‎ ‎1.已知x>0,y>0,且满足x+++=10,则2x+y的最大值为________.‎ 解析:设t=2x+y,则++=10,即有+=10-,‎ 那么(2x+y)=t≥(+2)2=18, ‎ 即(t-18)(t-2)≤0,得到2≤t≤18,当且仅当x=3,y=12取到最大值.‎ ‎2.(2017·江苏卷)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:函数f(x)的定义域为R,且f (-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),则f(x)为奇函数;又f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2≥0,可知f(x)为增函数;那么f (a-1)+f (2a2)≤0可化为f (2a2)≤f (1-a),有2a2≤1-a,解得-1≤a≤.‎ ‎3.若实数a,b满足a=+2,则a的最大值是________.‎ 解析:设x=,y=(x,y≥0),即a==x+2y,‎ 有a=≤=20.‎ ‎4.已知a>b,二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又∃x0∈R,使ax02+2x0+b=0成立,则的最小值为________.‎
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