河南省顶级名校2019-2020学年高二上学期10月阶段性检测数学（文）试题
2018级高二年级10月阶段性检测
数学试题（文科）
一．选择题
1.若实数，，，满足，，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式性质依次判断每个选项正误得到答案.
【详解】实数，，，满足，
则，A正确
取， B选项不满足，排除
取，C选项不满足，排除
取，D选项不满足，排除
故选：A
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用特殊值法可以快速得到答案.
2.设等差数列的前项和为，且．则过点的直线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵数列为等差数列，设其公差为，∵，∴，即；∴过点的直线斜率，故选：B．
考点：等差数列的性质．
3.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. 1 B. C. -1 D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设知：，所以，
所以，，故选A.
考点：三角函数的概念与性质.
4.若不等式的解集是R，则的范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：将问题转化为不等式在上恒成立解决，解题时注意对的取值要分类讨论．
详解：由题意得不等式在上恒成立．
①当时，不等式为，不等式恒成立．符合题意．
② 当时，由不等式恒成立得，解得．
综上，
所以实数的范围是．
故选A．
点睛：不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，
；当时，．
5.设，，是与的等比中项，则的最小值是（ ）
A. B. C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：是与的等比中项，，，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．故选B．
考点：1、正弦定理；2、和差角公式．
【思路点睛】先根据等比中项的概念得出，再将转化为，最后利用基本不等式求的最值．利用基本不等式求最值时，要注意①各项皆为正数，②和或积为定值，③注意等号成立的条件．可概括为：一“正”，二“定”，三“相等”．本题主要考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想，特别要注意的灵活运用，属于基础题．
6.已知三角形中，，，连接并取线段的中点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为，线段的中点为，，，故选B.
7.已知数列{an}的通项公式为an＝则数列{an}中的最大项为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
解法一 an＋1－an＝(n＋1) n＋1－nn＝·n，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1
a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.
解法二 ＝＝，
令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.又an>0，
故a1a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.
8.若满足，且的最大值为6，则的值为（）
A. -1 B. -7 C. 1 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.
【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：
则
若，则可行域不存在，不符合题意
若，则只有一个可行解，此时不合题意
当时，可行域如下图阴影部分所示：
可知当过点时，取得最大值
又 ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造方程求得结果.
9.设函数则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
当时，；
令
两式相加，得,则所求值为201.
考点：倒序相加法.
10.设各项均不为零等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由S10＝0及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得：，可得：，由可推得，利用的单调性即可得解。
【详解】解：在等差数列{an}中，由S10＝0，得，
则．
又∵，可知数列{an}递增数列，则．
又．
∴当n＝10时，0，
当n＝11时，，
∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题。
11.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）
A. 41 B. 45 C. 369 D. 321
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出，由此利用等差数列求和公式能求出结果．
【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
，
，
，
．
故.
故选：C
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题．
12.若直线通过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
依题意可得，点在单位圆上，所以直线与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离，即，故选D
二、填空题
13.已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是________。
【答案】
【解析】
【分析】
先求出的模，再利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】由题得，
由向量的夹角公式得与夹角的余弦为，
所以夹角的正弦值为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量数量积的计算和模的计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.已知等差数列的前项和是，如果，则=________。
【答案】40
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【详解】等差数列的前项和是，，，
，
解得，，
．
故答案为：40．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】，，且，在等式两边同时除以得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，
由于不等式恒成立，则，即，
解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.
【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.
16.设当时,函数取得最大值,则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得到，化简得到，代入式子得到答案.
【详解】，其中
当时，有最大值，即
故答案为：
【点睛】本题考查了三角函数求值，意在考查学生的计算能力.
三、解答题
17.已知等差数列，，为其前项的和，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）先解方程组得再求出数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用等比数列的前n项和公式求数列的前项的和.
【详解】（1）依题意
解得
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，
.
所以数列的前项的和为.
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列的判断和等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
18.已知圆的圆心为，且直线与圆相切，设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，切点为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若，试求点的坐标；
（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程.
【答案】(1) (2) 或.（3）或.
【解析】
【分析】
（1）先求出圆M的半径，再求圆的标准方程得解；（2）设，由题分析得到，解方程求出m的值即得解；（3）对直线CD的斜率分两种情况讨论，利用圆心到直线的距离为求出k的值得解.
【详解】（1）由题得圆的半径为，
所以圆M的标准方程为.
（2）∵点在直线上，可设，又，
由题可知，∴，∴，
解之得：，，故所求点的坐标为或.
（3）斜率不存在时，直线的方程为：，此时直线与圆相离，所以舍去；
斜率存在时，设直线的方程为：，
由题知圆心到直线的距离为，即，解得或，
故所求直线的方程为：或.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
19.在平行四边形中，，分别是，上的点且，，与交于点.
（1）求的值；
（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得向量模的比值。
（2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值。进而通过给出的三角形面积求出△BOC的面积。
详解：
（1）设，，据题意可得
，从而有 .
由，，三点共线，则存在实数，使得 ，即 ，由平面向量基本定理，解得，从而就有.
（2）由（1）可知，所以∴ .
点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题。
20.已知递增等比数列，，且，，成等差数列，设数列的前
项和为，点在抛物线上．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用等差数列等比数列公式和计算得到答案.
（2），利用错位相减法得到,得到，代入计算得到答案.
【详解】解：（1）由即 可得或．
因为数列为递增等比数列，所以，．
故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．
由点在抛物线上，所以
验证当时，也成立
故
（2）因为
所以，
．
两式相减有
．
所以，．
故数列单调递增，又
若恒成立，则．
解得：，所以，实数的取值范围是．
【点睛】本题考查了数列的通项公式，通项与前N项和的关系，错位相减法，数列的恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和对数列公式方法的灵活运用.
21.已知集合P＝，函数的定义域为Q.
（Ⅰ）若PQ ，求实数的范围；
（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.
【答案】 (1) （2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （Ⅱ）由题得在有解，即求的值域得解.
【详解】（Ⅰ）P＝，PQ，不等式在上有解，由得，而，
（Ⅱ） 在有解，即求值域，
设
【点睛】（1）本题主要考查集合的运算，考查不等式的有解问题和方程的有解问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2),
